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等差数列前n项和公式的几个性质和与应用


等差数列前 n 项和公式的几个性质和与应用
等差数列是高中数学的一项重要内容, 其中心是通项公式与前 n 项和公式。 透彻理解并 掌握他们的相关性, 能使我们的解题简洁方便。 现就等差数列前 n 项和的几个性质与应用略 举几个例子供大家参考。 性质 1:设等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式和为 S n ,公差为 d , m.n ? N 则①
*

S N Sm 1 ? ? ?n ? m ?d n m 2
m?n ?S m ? S n ? ? S m ? S n ? mnd m?n
*

② S m? n ?

性质 2:设等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式和为 S n , m.n.k ? N 若 m.n.k 成等差数列,则

Sm Sn Sk , , 成等差数列 m n k
*

性质 3:设等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式和为 S n , p.q.m.n. ? N 若 p ? q ? m ? n ,则

Sm ? Sn S p ? Sq ? m?n p?q

性质 4:设等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式和为 S k ①当 n ? 2k ?k ? N *? 时, S 2k ? k ?ak ? ak ?1 ? ②当 n ? 2k ? 1?k ? N *? 时, S 2k ?1 ? ?2k ? 1?a2k ?1 例 1: (人教版高中数学第一册上 P123 7 题)如果等差数列 ?an ? 的前 4 项和是 2,前 9 项和是

? 6 ,求其前 n 项和公式。

? S9 S 4 1 ? ? ?9 ? 4 ?d ? ?9 4 2 解:由性质 1 得: ? ? S n ? S 4 ? 1 ?n ? 4 ?d ?n 4 2 ?

?1? ?2 ?
7 2 43 n ? n 30 30 1 3 1 S 4 的等比 4

将 S 4 ? 2, S 9 ? ?9 代入 ?1?, ?2? 得: S n ? ?

例 2: (97 年全国高考文科卷)设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 S 3 和 中项为

1 1 1 S 5 , S 3 和 S 4 的等差中项为 1,求等差数列 ?an ? 的通项公式 an 。 5 3 4

解:由性质 1 和题意知,

1 ? S4 S3 1 ? 4 ? 3 ? 2 ?4 ? 3?d ? 2 d ? ? S4 S3 ?2 ? ? 3 ?4 ? S5 S4 1 1 ? 5 ? 4 ? 2 ?5 ? 4 ?d ? 2 d ?
2
2

(1) ( 2) (3)

1 ? S3 ? 3 ? 1? 4 d ? 1 ?S 解得: ? 4 ? 1 ? d 4 ?4 3 ? S5 ? 5 ? 1? 4 d ?

S S 12 ?S ? ? 3 ? ? 1 ?? 1 ? 又 ? 5 ? ? 4 ? 3 ,即 ?1 ? d ? ? ?1 ? d ??1 ? d ? ,∴ d ? 0或d ? ? 5 4 3 ? 4 ? ? 4 ?? 4 ? ? 5 ?
当 d ? 0 时, S 3 ? 3 ,∴ an ? 1, n ? N * 当d ? ?

12 ? 1 ? 12 ?? 24 时, S 3 ? ?1 ? ? ? ?? ? 3 ? 5 5 ? 4 ? 5 ??

又 S 3 ? 3a1 ?

3? 2 ? 12 ? 24 d ,即 3a1 ? 3? ? ? ? ,∴ a1 ? 4 2 ? 5? 5

故 a n ? 4 ? ?n ? 1?? ?

? 12 ? 32 12 ? n, n ? N * ?? ? 5 ? 15 5

例 3:(人教版高中数学第一册上 P122 )一等差数列前 4 项和是 24,前 5 项和的差是 27,求这 个等差数列的通项公式。

5?2 ? ?S 5 ? S 2 ? ? 7 ? 27 ? 63 S7 ? ? ? 5?2 3 解:由性质 1 知: ? ? S 7 ? S 4 ? 1 ?7 ? 4 ?d ? 3 d ? 4 2 2 ?7
又 S 4 ? 24 ,代入上式: d ? 2 ,则 S 4 ? 4a1 ?

?1? ?2 ?

4?3 d ? 4a1 ? 12 ? 24 2
?

解有 a1 ? 3 ,∴ an ? a1 ? ?n ? 1?d ? 2n ? 1 , n ? N

例 4:首项为 25 的等差数列的前 9 项和等于前 17 项和,问此数列的前多少项和最大,并求 此最大项。 解:由性质 1 得: S 9 ?17 ?

9 ? 17 S 9?17 ? 0 9 ? 17

由 S n 的对称性知 S13 最大,又 S17 ? S 9

17 ? 16 9?8 d ? 9 ? 25 ? d ,∴ d ? ?2 2 2 13 ? 12 ? ?? 2? ? 169 故所求最大项为 S13 ? 13 ? 25 ? 2
即 17 ? 25 ? 例 5: (人教版高中数学第一册上 P an ? 是等差数列, S n 是其前 n 项和, 123 10 题)已知数列 ?

设 k ? N , S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 成等差数列吗? 解:由 k ,2k ,3k 成等差数列,据性质 1 可知:

?

S k S 2 k S 3k , , 成等差数列。 k 2k 3k

则2?

S 2 k S k S 3k ? ? ,∴: 3S 2k ? 3S k ? S3k 2k k 3k

即 2?S 2k ? Sk ? ? Sk ? ?S 3k ? S 2k ?,故, S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 成等差数列。 例 6: (人教版高中数学第一册上 P142 第 4 题)两个等差数列 ?an ?, ?bn ?。 且

a1 ? a 2 ? ? ? a n 7n ? 2 a ,求 5 。 ? b1 ? b2 ? ? ? bn n?3 b5

解:设 ?an ?, ?bn ?的前 n 项和分别为 Sn, Tn ,由性质 4 有: S9 ? 9a5 , T9 ? 9b5 ∴

a5 S 9 7 ? 9 ? 2 65 ? ? ? b5 T9 9?3 12 a5 5 S ? ,求 9 a3 9 S5

例 7:已知等差数列 ?an ? 的前 n 项的和为 S n ,若 解:由性质 4: S9 ? 9a5 , S5 ? 5a3 ∴

S 9 9a5 9 5 ? ? ? ?1 S 5 5a3 5 9


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