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第九节竞赛专题求递推数列通项的特征根法


第九节

求递推数列通项的特征根法

一、形如 an?2 ? pan?1 ? qan ( p, q 是常数)的数列 形如 a1 ? m1, a2 ? m2 , an? 2 ? pan?1 ? qan ( p, q是常数)的二阶递推数列都可用特征根 法求得通项 an ,其特征方程为 x2 ? px ? q …① 若①有二异根 ? , ? ,则可令 an ? c1? n ? c2 ? n (c1, c2 是待定常数) 若①有二重根 ? ? ? ,则可令 an ? (c1 ? nc2 )? n (c1, c2 是待定常数) 再利用 a1 ? m1 , a2 ? m2 , 可求得 c1 , c2 ,进而求得 an 例 1 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an 解:其特征方程为 x2 ? 3x ? 2 ,解得 x1 ? 1, x2 ? 2 ,令 an ? c1 ?1n ? c2 ? 2n ,

?c1 ? 1 ? a1 ? c1 ? 2c2 ? 2 ? 由? ,得 ? 1, a ? c ? 4 c ? 3 c ? ? 2 1 2 2 ? ? 2

?an ? 1 ? 2n?1

例 2 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, 4an?2 ? 4an?1 ? an (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an
1 ?1? 解:其特征方程为 4 x ? 4 x ? 1 ,解得 x1 ? x2 ? ,令 an ? ? c1 ? nc2 ? ? ? , 2 ?2?
2

n

1 ? a1 ? (c1 ? c2 ) ? ? 1 ? ?c1 ? ?4 ? 2 由? ,得 ? , c ? 6 1 ? 2 ? a ? ( c ? 2c ) ? ? 2 2 1 2 ? ? 4

? an ?

3n ? 2 2n ?1

二、形如 an ? 2 ?

Aan ? B 的数列 Can ? D
Aan ? B , a1 ? m, n ? N * ( A, B, C, D 是常数且 C ? 0, AD ? BC ? 0 ) Can ? D
Ax ? B ,变形为 Cx2 ? ( D ? A) x ? B ? 0 …② Cx ? D

对于数列 an ? 2 ?

其特征方程为 x ?

若②有二异根 ? , ? , 则可令 值可求得 c 值。

an ?1 ? ? a ?? ? c? n (其中 c 是待定常数) , 代入 a1 , a2 的 an?1 ? ? an ? ?

? a ?? ? a1 ? ? 这样数列 ? n ,公比为 c 的等比数列,于是这样可求得 an ? 是首项为 a1 ? ? ? an ? ? ?

若②有二重根 ? ? ? , 则可令 的值可求得 c 值。

1 1 , 代入 a1 , a2 ? ? c(其中 c 是待定常数) an?1 ? ? an ? ?

? 1 ? 1 这样数列 ? ,公差为 c 的等差数列,于是这样可求得 an ? 是首项为 an ? ? ? an ? ? ?

例 3 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ? 解: 其特征方程为 x ? 由 a1 ? 2, 得 a2 ?

an?1 ? 2 (n ? 2) ,求数列 {an } 的通项 an 2an?1 ? 1

x?2 a ?1 a ?1 , 化简得 2 x2 ? 2 ? 0 , 解得 x1 ? 1, x2 ? ?1 , 令 n ?1 ? c? n 2x ?1 an ?1 ? 1 an ? 1

4 1 ,可得 c ? ? , 5 3
n ?1

? a ? 1? a ?1 1 ? 1 ? 1 a ?1 1 ? ?? ? ? , ? 数列 ? n ? 是以 1 ? 为首项,以 ? 为公比的等比数列,? n an ? 1 3 ? 3 ? 3 a1 ? 1 3 ? an ? 1 ?

? an ?

3n ? (?1)n 3n ? (?1)n
2an ? 1 (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an 4an ? 6

例 4 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an?1 ? 解: 其特征方程为 x ?

1 2x ?1 , 即 4 x2 ? 4 x ? 1 ? 0 , 解得 x1 ? x2 ? ? , 令 2 4x ? 6

1 1 an?1 ? 2

?

1 1 an ? 2

?c

3 ,求得 c ? 1 , 14 ? ? ? 1 ? 1 2 是以 ? 数列 ? ? 为首项,以 1 为公差的等差数列, ? 1 5 ? an ? 1 ? a1 ? ? 2? 2 1 2 3 ? ? ? (n ? 1? ) ?1 n? , 1 5 5 an ? 2 13 ? 5n ? an ? 10n ? 6

由 a1 ? 2, 得 a2 ?


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