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【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)[1]2


三角形“四心”向量形式的充要条件应用
在学习了《平面向量》一章的基础内容之后,学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有 关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下: 一. 知识点总结 1)O 是 ? ABC 的重心 ? O A? O B? O C ? 0 ; 若 O 是 ? ABC 的重心,则 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PG

? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心. 3

S ?BOC ? S ?AOC ? S ?AOB ?

1 S ?ABC 3 故 O A ? O B? O C ? 0 ;

2)O 是 ? ABC 的垂心 ? O A? O B ? O B? O C ? O C? O A; tanB: tanC 若 O 是 ? ABC (非直角三角形)的垂心,则 S ?BOC:S ?AOC:S ?AOB ? tanA: 故 tanAO A? tanBO B? tanCO C ? 0 3)O 是 ? ABC 的外心 ? | OA|?| OB|?| OC| (或 OA ? OB ? OC ) 若 O 是 ? ABC 的外心 : sin?AOC : sin?AOB? sin2A : sin2B : sin2C 则 S ?BOC:S ?AOC:S ?AOB ? sin?BOC 故 sin2AO A? sin2BO B? sin2CO C? 0 4)O 是内心 ? ABC 的充要条件是
2 2 2

OA ? (

AB | AB |

?

AC AC

) ? OB ? (

BA | BA |

?

BC | BC |

) ? OC ? (

CA | CA |

?

CB | CB |

)?0

引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记 AB, BC, CA的单位向量为 e1 , e 2 , e 3 ,则刚才 O 是
? ABC 内心的充要条件可以写成: O A? (e1 ? e 3 ) ? O B? (e1 ? e 2 ) ? O C? (e 2 ? e 3 ) ? 0

O 是 ? ABC 内心的充要条件也可以是 aO A? bO B? cO C ? 0 若 O 是 ? ABC 的内心,则 S ?BOC:S ?AOC:S ?AOB ? a:b:c 故 aO A? bO B? cO C ? 0或 sinAO A? sinBO B? sinCO C ? 0 ; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? | AB | PC? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P ?ABC 的内心; ???? ??? ? AB ??? ? ???? 向量 ? ( ? AC )(? ? 0)所在直线过 ?ABC 的内心 ( 是 ?BAC 的角平分 | AB | | AC | 线所在直线);

A

e1
二. 范例 (一).将平面向量与三角形内心结合考查 例 1.O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满 足 OP ? OA ? ? (
B C P

e2
C

C

AB AB

?

AC AC

) , ? ? ?0,??? 则 P 点的轨迹一定通过 ?ABC 的(



(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心

解析:因为

AB AB

??? ? ??? ? ???? 是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 e1和 e2 ,



OP ? OA ? AP ,则原式可化为 AP ? ? (e1 ? e2 ) ,由菱形的基本性质知 AP 平分 ?BAC ,那么在 ?ABC 中,AP 平分 ?BAC ,则知选 B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例 2. H 是△ABC 所在平面内任一点, HA? HB ? HB? HC ? HC ? HA ? 点 H 是△ABC 的垂心. 由 HA? HB ? HB? HC ? HB? (HC ? HA) ? 0 ? HB? AC ? 0 ? HB ? AC , 同理 HC ? AB , HA ? BC .故 H 是△ABC 的垂心. (反之亦然(证略) ) 例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ABC 的(D A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析:由 PA? PB ? PB ? PC得PA? PB ? PB ? PC ? 0 . 即 PB ? (PA ? PC) ? 0,即PB ? CA ? 0 则 PB ? CA,同理PA ? BC, PC ? AB 所以 P 为 ?ABC 的垂心. 故选 D. 变式:若 H 为△ABC 所在平面内一点,且 HA ? BC ? HB ? CA ? HC ? AB 则点 H 是△ABC 的垂心 证明:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2



? HA ? HB ? CA ? BC

A

? ( HA ? HB) ? BA ? (CA ? CB) ? BA (平方差公式) 得( HA ? HB ? CA ? CB) ? BA ? 0
即 ( HC ? HC) ? BA ? 0
B 图6 H

C

? AB ? HC
同理 AC ? HB , BC ? HA 故 H 是△ABC 的垂心

(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例 4. G 是△ABC 所在平面内一点, GA ? GB ? GC =0 ? 点 G 是△ABC 的重 心. 证明 作图如右,图中 GB ? GC ? GE 连结 BE 和 CE,则 CE=GB,BE=GC ? BGCE 为平行四边形 ? D 是 BC 的中 点,AD 为 BC 边上的中线. 将 GB ? GC ? GE 代入 GA ? GB ? GC =0, 得 GA? EG =0 ? GA ? ?GE ? ?2GD ,故 G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略) ) 例 5. P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心 ? PG ? ( PA ? PB ? PC) . 证明 PG ? PA? AG ? PB ? BG ? PC ? CG ? 3PG ? ( AG ? BG ? CG) ? (PA? PB ? PC) ∵G 是△ABC 的重心 ∴ GA ? GB ? GC =0 ? AG ? BG ? CG =0,即 3PG ? PA? PB ? PC
B A

1 3

O E D C

由此可得 PG ? ( PA ? PB ? PC) .(反之亦然(证略) ) 3 ??? ? ??? ? ??? ? ? 例 6 若 O 为 ?ABC 内一点, OA ? OB ? OC ? 0 ,则 O 是 ?ABC 的(

1



A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解析:由 OA ? OB ? OC ? 0 得 OB ? OC ? ?OA ,如图以 OB 、 OC 为相邻两边构作平行四边形,则 ??? ? 1 ???? ??? ? ??? ? ???? OB ? OC ? OD ,由平行四边形性质知 OE ? OD , OA ? 2 OE ,同理可证其它两边上的这个性质, 2 所以是重心,选 D。 点评:本题需要扎实的平面几何知识,平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质:重心是三 2 角形中线的内分点,所分这比为 ? ? 。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形 1 的对角线互相平分及三角形重心性质等相 关知识巧妙结合。 变式:已知 D,E,F 分别为 △ ABC 的边 BC,AC,AB 的中点.证明 AD ? BE ? CF ? 0 . 证明:
3 ? ? AD ? ? 2 GA ? 3 ? ? ? BE ? ? GB 2 ? ?CF ? ? 3 GC ? 2 ?

???? ??? ? ??? ?

3 ? AD ? BE ? CF ? ? (GA ? GB ? GC ) 2

? GA ? GB ? GC ? 0
???? ??? ? ??? ? ? AD ? BE ? CF ? 0 . .

变式引申:如图 4,平行四边形 ABCD 的中心为 O , P 为该平面上任意一点,
??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 则 PO ? ( PA ? PB ? PC ? PD) . 4 ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 证明:? PO ? (PA ? PC) , PO ? (PB ? PD) , 2 2 ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? PO ? ( PA ? PB ? PC ? PD) . 4

点评: (1)证法运用了向量加法的三角形法则, 证法 2 运用了向量加法的平行四边形法则. (2) 若 P 与 O 重合,则上式变 OA ? OB ? OC ? OD ? 0. (四).将平面向量与三角形外心结合考查 ??? ? ??? ? ???? 例 7 若 O 为 ?ABC 内一点, OA ? OB ? OC ,则 O 是 ?ABC 的(
??? ? ??? ? ???? ????



A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析:由向量模的定义知 O 到 ?ABC 的三顶点距离相等。故 O 是 ?ABC 的外心 ,选 B。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查 例 8.已知向量 OP1 , OP2 , OP3 满足条件 OP1 + OP2 + OP3 =0,| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |=1, 求证 △P1P2P3 是正三角形.( 《数学》第一册(下) ,复习参考题五 B 组第 6 题)

证明

由已知 OP1 + OP2 =- OP3 ,两边平方得 OP1 · OP2 = ? ,
1 2

1 2

同理 OP2 · OP3 = OP3 · OP1 = ? , ∴| P1 P2 |=| P2 P3 |=| P3 P1 |= 3 ,从而△P1P2P3 是正三角形. 反之,若点 O 是正三角形△P1P2P3 的中心,则显然有 OP1 + OP2 + OP3 =0 且| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |. 即 O 是△ABC 所在平面内一点, OP 1 + OP2 + OP 1 |=| OP2 |=| OP 3 =0 且| OP 3 | ? 点 O 是正△P1P2P3 的中心. 例 9.在△ABC 中,已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证:Q、G、H 三点共线, 且 QG:GH=1:2。 【证明】 : 以 A 为原点, AB 所在的直线为 x 轴, 建立如图所示的直角坐标系。 设 A(0,0)、 B (x1,0) 、 C(x2,y2),D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点,则有: x x ?x2 y2 x y D( 1 , 0)、E ( 1 , )、F ( 2 , 2 ) 2 2 2 2 2 y C(x2,y2) x1 x1 ? x 2 y 2 ( , y 3 )、H (x 2 , y 4 ) , G ( , ) 由题设可设 Q 2 3 3 ???? ? ??? ? x x y F H ? AH ? (x 2 , y 4 ), QF ? ( 2 ? 1 , 2 ? y 3 ) E 2 2 2 ???? G BC ? (x 2 ? x 1, y 2 ) ???? ? ???? Q x ? AH ? BC ???? ? ???? D B(x1,0 A ? AH ? BC ? x 2 (x 2 ? x 1 ) ? y 2 y 4 ? 0 )
?y4 ? ?

x 2 (x 2 ? x 1 ) y2 ??? ? ???? ? ?QF ? AC ??? ? ???? ? x x y ?QF ? AC ? x 2 ( 2 ? 1 ) ? y 2 ( 2 ? y 3 ) ? 0 2 2 2 x (x ? x 1 ) y 2 ?y3 ? 2 2 ? 2y 2 2

???? ? x 2x ? x 1 3x 2 (x 2 ? x 1 ) y 2 ?QH ? (x 2 ? 1 , y 4 ? y 3 ) ? ( 2 ,? ? ) 2 2 2y2 2 ???? x ? x1 x1 y 2 2x ? x 1 y 2 x 2 ( x 2 ? x 1 ) y 2 ?QG ? ( 2 ? , ? y 3) ? ( 2 , ? ? ) 3 2 3 6 3 2y2 2
2x 2 ? x 1 3x 2 (x 2 ? x 1 ) y 2 1 2x ? x 1 3x 2 (x 2 ? x 1 ) y 2 ,? ? )? ( 2 ,? ? ) 6 6y2 6 3 2 2y2 2 ? 1 ???? = QH ???? ? 3 ???? ?(

即 QH =3QG ,故 Q、G、H 三点共线,且 QG:GH=1:2 例 10.若 O、H 分别是△ABC 的外心和垂心. 求证 OH ? OA ? OB ? OC . 证明 若△ABC 的垂心为 H,外心为 O,如图. 连 BO 并延长交外接圆于 D,连结 AD,CD. ∴ AD ? AB ,CD ? BC .又垂心为 H,AH ? BC ,CH ? AB , ∴AH∥CD,CH∥AD, ∴四边形 AHCD 为平行四边形, ∴ AH ? DC ? DO ? OC ,故 OH ? OA ? AH ? OA? OB ? OC . 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——

外心、重

心、垂心的位置关系: (1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线” ; (2)三角形的重心在“欧拉线”上,且为外——垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距 离是重心到外心距离的 2 倍。 “欧拉定理”的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题. 例 11. 设 O、G、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心. 求证 证明
1 OG ? OH 3

按重心定理 按垂心定理

G 是△ABC 的重心 ? OG ? (OA ? OB ? OC)
OH ? OA ? OB ? OC

1 3

由此可得

1 OG ? OH . 3

三、与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用 例 1: ( 2003 年全国高考题) O 是平面上一定点, A 、 B 、 C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足
OP ? OA ? ? ( AB AB
(A)外心 (C)重心

?

AC AC

) , ? ? ?0,???,则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A F C T

(B)内心 (D)垂心

E

事实上如图设 AE ?

AB AB

, AF ?

AC AC

都是单位向量

B

易知四边形 AETF 是菱形

故选答案 B

例 2: (2005 年北京市东城区高三模拟题) O 为△ABC 所在平面内一点,如果 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA , 则 O 必为△ABC 的( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 故选答案 D

事实上 OA? OB ? OB ? OC ? (OA ? OC) ? OB ? 0 ? CA ? OB ? 0 ? OB⊥CA 例 3:已知 O 为三角形 ABC 所在平面内一点,且满足

OA ? BC ? OB ? CA ? OC ? AB ,则点 O 是三角形 ABC 的(
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心

2

2

2

2

2

2



事实上由条件可推出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA 例 4:设 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三点, 动点 P 满足 OP ? OA ? ? (

故选答案 D

AB AB cos B

?

AC AC cos C

) , ? ? ?0,???,则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )

(A)外心

(B)内心

(C)重心

(D)垂心

事实上 ? (

AB AB cos B

?

AC AC cosC

) ? BC ? ? ? (? BC ? BC) ? 0

故选答案 D

例 5 : 2005 年 全 国 ( I ) 卷 第 15 题 “ ?ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 为 O , 两 条 边 上 的 高 的 交 点 为 H ,

???? ??? ? ??? ? ??? ? OH ? m(OA ? OB ? OC) ,则实数 m =________”
先解决该题: 作直经 BD , 连 DA ,DC ,有 OB ? ?OD ,DA ? AB ,

??? ?

????

DC ? BC



AH ? BC , CH ? AB ,故 CH // DA , AH // DC ???? ???? 故 AHCD 是 平 行 四 边 形 , 进 而 AH ? DC , 又

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? D C? O C ? OD ? O? C OB
∴ OH ? OA ? AH ? OA ? DC

????

??? ? ????

??? ? ????
图3

故 OH ? OA ? OB ? OC ,所以 m ? 1 例 6.已知向量 OP 1 , OP2 , OP 1 + OP2 + OP 1 |=| OP2 |=| OP 3 满足条件 OP 3 =0,| OP 3 |=1, 求证: △P1P2P3 是正三角形.( 《数学》第一册(下) ,复习参考题五 B 组第 6 题) 证明: 由已知 OP 1 + OP2 =- OP 1 · OP2 = ? 3 ,两边平方得 OP 同理 OP2 · OP3 = OP3 · OP 1 =?
1 , 2

????

??? ? ??? ? ??? ?

1 , ∴| P1 P2 |=| P2 P3 |=| P3 P1 |= 3 ,从而△P1P2P3 是正三角形. 2

反之,若点 O 是正三角形△P1P2P3 的中心,则显然有 OP 1 + OP2 + OP 1 |=| OP2 |=| OP 3 =0 且| OP 3 |,即 O 是△ABC 所在平面内一点,
OP 1 + OP2 + OP 1 |=| OP2 |=| OP 3 =0 且| OP 3 | ? 点 O 是正△P1P2P3 的中心.

四、练习
??? ? 1 1 ??? ? 1 ??? ???? ? 1. 已知 A、 B、 C 是平面上不共线的三点, O 是三角形 ABC 的重心, 动点 P 满足 OP = ( OA + OB +2 OC ), 3 2 2 则点 P 一定为三角形 ABC 的( B) A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB 边的中点 ??? ? ??? ? ???? ? 分析:取 AB 边的中点 M,则 OA ? OB ? 2OM , ??? ? 1 1 ??? ? 1 ??? ???? ??? ? ???? ? ???? ? ? 由 OP = ( OA + OB +2 OC )可得 3 OP ? 3OM ? 2MC , 3 2 2

∴ MP ? MC ,即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点,且点 P 不过重心。 2.在同一个平面上有 ?ABC 及一点O满足关系式: OA 2+ BC 2= OB 2+ CA 2= OC 2+ AB 2,则O为△ABC 的( D ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 3.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足: PA ? PB ? PC ? 0 ,则 P 为△ABC 的( A.外心 B. 内心 C.重心 D.垂心
??? ? ??? ? ??? ? ?
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ????
??? ?

????

? 2 ???? 3

C )

4.已知 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足: ??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? OA ? ? ( AB ? AC) ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的(C ) A.外心 B. 内心 C. 重心 D.垂心 5.已知△ABC,P 为三角形所在平面上的动点,且满足: PA ? PC ? PA ? PB ? PB ? PC ? 0 ,则 P 点为三 角形的 ( D ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 6.已知△ABC,P 为三角形所在平面上的一点,且点 P 满足: a ? PA ? b ? PB ? c ? PC ? 0 ,则 P 点为三角 形的(B ) A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 7.在三角形 ABC 中,动点 P 满足: CA ? CB ? 2 AB ? CP ,则 P 点一定通过△ABC 的(B ) A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
??? ? ???? ??? ? AB ? 8.非零向量 AB 与 AC 满足( ??? | AB | ???? ??? ? AC + ???? )· BC =0 | AC | ??? ? ???? AB AC 1 ? · ???? = ,则△ABC 且 ??? | AB | | AC | 2
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ?2

??? ?2

??? ? ??? ?

为(D)

A.三边均不相等的三角形

??? ? ???? ??? ? AB AC ? ? ???? )· BC =0,即角 A 的平分线垂直于 解析:非零向量与满足( ??? | AB | | AC | ??? ? ???? AB AC 1 ? ? ? ???? = ,∠A= ,所以△ABC 为等边三角形. ∴AB=AC,又 cos A ? ??? 3 | AB | | AC | 2

B.直角三角形

C.等腰非等边三角形

D.等边三角形 BC,

9.△ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH ? m(OA ? OB ? OC) ,则实数 m = 1 10.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则点 O 是△ABC 的(B) (A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高的交点 11.如图 1, 已知点 G 是△ABC 的重心, 过 G 作直线与 AB, ???? ? ??? ? ???? ???? AC 两边分别交于 M,N 两点,且 AM ? x AB , AN ? y AC , 则 ? ?3。
??? ? ??? ? ???? ? 证 点 G 是△ABC 的重心,知 GA ? GB ? GC ? 0 ,得 ???? ??? ? ???? ???? ???? ? ???? 1 ??? ? ???? ? AG ? ( AB ? AG) ? ( AC ? AG) ? 0 ,有 AG ? ( AB ? AC ) 。 3
B A M G 图1

???? ?

??? ? ??? ? ????

??? ? ??? ?

??? ? ????

???? ??? ?

1 x

1 y

N C

又 M,N,G 三点共线(A 不在直线 MN 上), ???? ???? ? ???? 于是存在λ ,μ ,使得 AG ? ? AM ? ? AN (且? ? ? ? 1) ,
?? ? ? ? 1 ???? ??? ? ???? 1 ??? ? ???? 1 1 有 AG ? ? xAB ? ? y AC = ( AB ? AC ) ,得 ? 1 ,于是得 ? ? 3 。 ? ?x ? ? y ? 3 x y ? 3 ?


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