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江西师大附中2011届高三年级第三次模拟数学(理)试题


江西师大附中 2011 届高三年级第三次模拟数学(理)试题
命题人:占华平 审题人:朱涤非 2011.5

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 请把答案涂在答题卡上) 1.集合 A ? {(

x , y ) | y ? a } ,集合 B ? {( x , y ) | y ? b x ? 1, b ? 0, b ? 1 |} ,若集合 A ? B ? ? ,则实数 a 的 取值范围是( A. ( ? ? ,1) M 在第四象限”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 则左视图的面积为( A. C.
1 4 1 6

) B. ? ? ? ,1 ? ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B. D.
1 2

C. (1, ? ? )

D. R
? 1 ”是“点

2. 已知 i 为虚数单位,a 为实数,复数 z ? ( a ? 2 i )(1 ? i ) 在复平面内对应的点为 M,则“ a

3. 把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起形成三棱锥 C-ABD 的主视图与俯视图如图所示,

1 8
? a5 ? 0

4. 设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 8 a 2 A.
a5 a3

,则下列式子中数值不能确定的是( D.
S n ?1 Sn
开始
s ? 0, n ? 1



B.

S5 S3

C.

a n ?1 an

5.阅读如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值为( A.0 B.
3 2

) D. ?
3 2
??? ??? ? ? , AB ? OA ?

n ? 2011





C.

3

s ? s ? s in

n? 3

输出 s

6.已知 A、B、C A.
3 2

??? ??? ? ? ???? 是圆 O : x ? y ? 1 和三点, O A ? O B ? O C
2 2

n ? n?1

结束





B. ?

3 2

C. ?

3 2

D.

1 2

7.有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的编号互不相同 的概率( A.
5 21

) B.
2 7

C.
?1 ? x , x ? 0 ?
2

1 3

D.

8 21

8.已知分段函数 f ( x ) ? ? A.
7 3 ? 1 e

?e ?

?x

,x ? 0

,则 ? 13 f ( x ? 2 ) d x 等于( C. 3 ?
?
2 1 e


1 e

B. 2 ? e

D. 2 ?

9.将函数 f ( x ) ? sin(? x ? ? ) 的图象向左平移 能等于( A.4 ) B.6

个单位,若所得的图象与原图象重合,则 ? 的值不可

C.8

D.12

10.函数 f ( a ) ? (3 m ? 1) a ? b ? 2 m ,当 m ? ? 0 ,1? 时, 0 ? f ( a ) ? 1 恒成立, 则 小值之和为( A.18 ) B.16 C.14 D.
49 4

9a ? b
2

2

的最大值与最

ab

第Ⅱ卷
的相应横线上. 11. 已知 n 为正偶数, ( x 2 且 (用数字作答).
? 1 2x )
n

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 其中 15 题是选做题, 请把答案填在答题卡

的展开式中第 4 项的二项式系数最大, 则第 4 项的系数是_________

12. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? ? f ( x ) , f ( x ? 2 ) ? f ( x ? 2 ) , x ? ( ?1 且 ,0) 则
f (lo g 2 2 0 ) ? ____________.

时, f ( x ) ?

2 ?
x

1 5

13.直三棱柱 ABC—A1B1C1 各顶点在同一球面上,若 AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则球的表 面积为___________. 14.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F,准线为 l,点 M (4, 4) 是抛物线上一点,则经过点 F,M 且与 l 相切 的圆共有_________个. 15. (考生注意:请在下列两题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题评分)
( (1)在极坐标系中,过点 2 2, )作圆 ? ? 4 sin ? 4

?

的切线,则切线的极坐标方程为_________.

(2) 已知方程 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 1 |? a ? 1 http://www.7caiedu.cn/有实数解, a 的取值范围为______. 则 三、解答题(本大题共计 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (★请 在答题卡的指定区域内作答,否则该题计为零分. ) 16. (本小题满分 12 分)
) ) 已知 m ? ( a s in x, c o s x , n ? ( s inx, b s inx ,其中 a, b, x ? ?? ?
R

.若 f ( x ) ? m ? n 满足 f ( ) ? 2 ,且
6

?? ?

?

f (x)

的导函数 f ?( x ) 的图象关于直线 x ?

?
12

对称.

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x )
? log
2

k ?0

在区间[0 ,

?

] 2

上总有实数解,求实数 k 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 小白鼠被注射某种药物后,只会表现为以下三种症状中的一种:兴奋、无变化(药物没有发生 .. 作用) 、迟钝.若出现三种症状的概率依次为
1 1 1 、 、 , 现对三只小白鼠注射这种药物. 2 3 6

(Ⅰ)求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率; (Ⅱ)用 ? 表示三只小白鼠共表现症状的种数,求 ? 的分布列及数学期望. ..

18. (本小题满分 12 分) 己知三棱柱
AC ? BC ? 2
A B C ? A1 B1 C
1



A1

在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D, ? B C A

? 90?



,又知 B A1
?

? A C1

(Ⅰ)求证: A C 1

平面 A1 B C ;
A1 B ? C

(Ⅱ)求点 C 到平面 A1 A B 的距离; (Ⅲ)求二面角 A ? 余弦值的大小.

19. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 (2 n ? 1) S n ? 1 ? (2 n ? 1) S n ? 4 n 2 ? 1 ( n ? N ) .
*

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)求证:
1 a1 ? 1 a2 ?? ? 1 an ? 1 2 ( 4 n ? 1 ? 1)

.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ax 2 ? 2 x ? ln x . (Ⅰ)若 f ( x ) 无极值点,但其导函数 f ?( x ) 有零点,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 有两个极值点,求 a 的取值范围,并证明 f ( x ) 的极小值小于 ?
3 2



21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C
: x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率为

2 2

,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆

与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 M ( 2, 0 ) 的直线与椭圆 C 相交于两点 A , B ,设 P 为椭圆上一点,且满足
??? ??? ? ? ??? ? OA ? OB ? tOP

( O 为坐标原点) ,当 | P A ? P B |?

??? ?

??? ?

2 5 3

时,求实数 t 的取值范围.

参考答案
题号 答案 11. ?
5 2

1 B

2 A 12. ? 1

3 A 13. 2 0 ?

4 D

5 B 14.2

6 C

7 D

8 A

9 B

10 B

15. (1) ? co s ? ? 2
?? ?

? (2) ? ? 3, 1 ?
a 2 (1 ? co s 2 x ) ? b 2 sin 2 x

16.解:(Ⅰ) f ( x ) ? m ? n ? a sin 2 x ? b sin x cos x = 由 f ( ) ? 2 得, a
6

?

?

3b ? 8


?
12

∵ f ?( x ) ? a sin 2 x ? b cos 2 x ,又∵ f ?( x ) 的图象关于直线 x ? ∴b ?
3 2 a? 1 2
? 2, b ? 2 3
? 2 sin ( 2 x ?

对称,∴

f ? (0 ) ? f ? (

?
6

)



b

,即 b

?

3a



由①、②得, a

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ? 1 ? co s 2 x ? 3 sin 2 x ∵ x ? ? 0,
? ?

?
6

)?1

? ?
2? ?

,?

?
6

? 2x ? )? 2

?
6

?

5? 6



∴ ?1 ? 又∵

2 sin ( 2 x ?

?
6

3 , f ( x ) ? ? 0,? .

f ( x ) ? lo g 2 k ? 0 有解,即 f ( x ) ? ? lo g 2 k lo g 2 k ? 0

有解,

∴ ?3 ?

,解得

1 8

1 ? k ? 1 ,即 k ? [ ,1] . 8

2, 17.解: (Ⅰ)用 Ai ( i ? 1, 3) 表示第一只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝,用 2, 表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝,用 C i ( i ? 1, 3) 表示第 三只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝.三只小白鼠反应互不相同的概率为 B i ( i ? 1, 3) 2,

P ? A3 P ( A1 B 2 C 3 )
3

? 6?

1 2

?

1 3

?

1 6

?

1 6
3 3 3

2 3 (Ⅱ) ? 可能的取值为 1,, .
1 ?1? ?1? ?1? P (? ? 1) ? P ( A1 B1 C 1 ? A 2 B 2 C 2 ? A3 B 3 C 3 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 ?2? ?3? ?6?

, .

P (? ? 3) ?

1 6



P (? ? 2 ) ? 1 ? P (? ? 1) ? P ( ? ? 3) ? 1 ?

1 6

?

1 6

?

2 3

所以, ? 的分布列是
?
P

1
1 6 1 2 ? 2

2
2 3

3
1 6

所以, E ?

? 1?

1 6

? 2?

2 3

? 3?



18.解法一 (1) ? B C A 因为 B A1 所以 A C
1

A1
? 90? 得 BC ? AC

C1

,因为 A1 D ,所以 A C 1

?

底 A B C ,所以 A1 D
? A C1

? BC

, E O
B1

A1 D ? A C ? D

,所以 B C

?

面 A1 A C ,所以 B C
?

? A C 1 , B A1 ? B C ? B

底 A1 B C
A D B C

(2)由(1)得 A C 1

? A1 C

,所以 A1 A C C 1 是菱形,
2 21 7
? A1 B

? A A1 ? A1 C ? 2

, A B ? A1 B ? 2 2 ,
?

由 V C ? A A B ? V A ? A B C ,得 h
1

(3)设 A C 1 ? 平面角,

A1 C ? O

,作 O E

于 E ,连 A E ,由(1)所以 A1 B
14 2
/ / BC

? AE

,所以 ? A E O 为二面角
7 7

在 R t ? A1 B C 中 O E

?

2 2

, AO ?

3, AE ?

,所以 co s ? ,因为 B C

?

7 7

,所以二面角余弦 ,所以 D E
? AC

解法二 (1) 如图,取 A B 的中点 E ,则 D E
C 1 ? 0, 2, t ? , ???? ? ???? (2) A C 1 ? ? 0, 3, t ? , B A1 ? ? ? 2, ? 1, t ? ???? ??? ? ? 由 A1 C ? C B ? 0 ,知 A1 C ? C B ,

? AC

,又 A1 D

?

平面 A B C ,

以 D E , D C , D A1 为 x , y , z 轴建立空间坐标系,则 A ? 0, ? 1, 0 ? , C ? 0,1, 0 ? , B ? 2,1, 0 ? , A1 ? 0, 0, t ? , , C B ? ? 2, 0, 0 ? ,
??? ?

? A C 1 ,从而 A C 1 ? 平面 A1 B C ; ???? ???? ? (2)由 A C 1 ? B A1 ? ? 3 ? t 2 ? 0 ,得 t ? 3 ? ???? 设平面 A1 A B 的法向量为 n ? ? x , y , z ? , A A1 ? 0,1, 3 ??? ? A B ? ? 2, 2, 0 ? ,所以 ? ???? ? ? n ? A A1 ? y ? 3 z ? 0 ? ,设 z ? 1 ,则 n ? 3 , ? 3 ,1 ? ? ? ??? ? n ? AB ? 2 x ? 2 y ? 0 ? ???? ? ? A C1 ? n 2 21 ? 所以点 C 到平面 A1 A B 的距离 d ? ? 7 n

又 B A1

?

?,

?

?

(3)再设平面 A1 B C 的法向量为 m

??

? ? x, y, z ?

, C A1

????

? 0, ? 1,

?

3

? , C B ? ? 2, 0, 0 ? ,

??? ?

?? ???? ?? ? m ? C A1 ? ? y ? 3 z ? 0 ? 所以 ? ,设 z ? 1 ,则 m ? 0, 3 ,1 , ?? ??? ? m ? CB ? 2x ? 0 ? ? ?? ? ?? ? m ?n 7 故 co s ? m , n ? ? ?? ? ? ? ,根据法向量的方向可知二面角 A ? A1 B ? C 7 m ? n

?

?

的余弦值大小为

7 7

19.(Ⅰ)由 (2 n ? 1) S n ? 1 ? (2 n ? 1) S n ? 4 n 2 ? 1 ,得 ∴? ∴
? ? ? 是公差为 ? 2n ? 1? Sn

S n ?1 2n ? 1

?

Sn 2n ? 1

?1,

1 的等差数列, ① .

Sn 2n ? 1

?

S1 1

? ( n ? 1) ? 1 ? S 1 ? n ? 1 , S n ? (2 n ? 1)( S 1 ? n ? 1)
? a3 ? 2 a 2

又∵ ? a n ? 等差数列,∴ a1 解得 a1 当n
? 2

,即 a1

? ( S 3 ? S 2 ) ? 2( S 2 ? S 1 )

由①得 a1 ? ? 5( a1 ? 2) ? 3( a1 ? 1) ? ? 2 ? 3( a1 ? 1) ? a1 ? ,
? 1 ,代入①得 S n ? 2 n ? n
2
2

.
? 4n ? 3 ,

2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 n ? n ? ? 2 ? n ? 1 ? ? ( n ? 1) ? ? ?

上式对 n

? 1 也适用,∴ a n ? 4 n ? 3 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
? 1 2 ( 4n ? 1 ?

1 an

?

1 4n ? 3

?

2 4n ? 3 ? 4n ? 3

?

2 4n ? 3 ? 4n ? 1

4n ? 3) ,


? 1 2

1 a1

?

1 a2

?? ?

1 an

?

1 2

( 5 ?1?

9 ?

5 ?? ?

4n ? 1 ?

4n ? 3)

( 4 n ? 1 ? 1)

,故原不等式成立.
1 x ? 2ax ? 2 x ? 1
2

20.解(I)

f ?( x ) ? 2 a x ? 2 ?

x
? 0

f ? ( x ) 有零点而 f ( x )

无极值点, 表明该零点左右 f ?( x ) 同号, a 故

, 2a 且 x

2

?2 ? ?0 x 1

的?

? 0.

由此可得 a

?

1 2

.
? 0, a ? 0

(Ⅱ)由题意, 2 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 有两不同的正根,故 ? 解得: 0 ?
2

.

a ?

1 2
? x2

设 2 ax ? 2 x ? 1 ? 0 的两根为 x1 , x 2 ,不妨设 x1 ∴ 2 a x 22 ? 2 x 2 ? 1 ? 0 ∴a ? ∴
2 x2 ? 1 2 x2
2

,因为在区间 (0, x1 ), ( x 2 , ? ? ) 均有 f ?( x ) ? 0 ,

而在区间 ( x1 , x 2 ) 上, f ?( x ) ? 0 ,故 x 2 是 f ( x ) 的极小值点. 由0 ?
2

a ?

1 2

知 x2 ?

1 2
2

且 x2
2

?1

f ( x 2 ) ? a x 2 ? 2 x 2 ? ln x 2 ?
1 2

2 x2 ? 1 2 x2

? x 2 ? 2 x 2 ? ln x 2

? ln x 2 ? x 2 ?

( x2 ?

1 2

且 x2
1 2

? 1)

构造函数 Q ( x ) ?
Q ?( x ) ? 1 x ?1?

ln x ? x ?

(x ?

1 2

且x

? 1)

1? x x 3 2

∴ Q (x) ?

Q (1) ? ?

∴ f ( x ) 的极小值 f ( x 2 ) 21.解: (Ⅰ)由题意知 e ?

? ?

3 2

.
2 2

c a

?

, 所以 e ?
2
2

c a

2 2

?

a ?b
2

2

a
2

2

?

1 2



2 2 即 a ? 2 b .又因为 b ?

2 1?1
2

? 1 ,所以 a ? 2 , b ? 1 .

? 1. 2 (Ⅱ)由题意知直线 A B 的斜率存在.

故椭圆 C 的方程为

x

2

? y

设 A B : y ? k ( x ? 2 ) , A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , P ( x , y ) ,
? y ? k ( x ? 2 ), ? 2 2 2 2 由? x2 得 (1 ? 2 k ) x ? 8 k x ? 8 k ? 2 ? 0 . 2 ? y ? 1. ? ? 2 1 2 4 2 2 ? ? 6 4 k ? 4 (2 k ? 1)(8 k ? 2 ) ? 0 , k ? . 2

x1 ? x 2 ?

8k

2 2

1 ? 2k

, x1 ?x 2 ?

8k ? 2
2

1 ? 2k

2

.
x1 ? x 2 t ? 8k
2 2

∵ OA ? OB ? t OP ,∴ ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) ? t ( x , y ) , x ?
y ? y1 ? y 2 t ? 1 t [ k ( x1 ? x 2 ) ? 4 k ] ?
(8 k )
2 2 2 2 2

t (1 ? 2 k )



?4k t (1 ? 2 k )
2

.
? 2,
2 5 3

∵点 P 在椭圆上,∴

t (1 ? 2 k )

?2

(?4k )
2

2 2 2

t (1 ? 2 k )

2 2 2 ∴ 16 k ? t (1 ? 2 k ) ∵ PA ? PB <

2 5 3

,∴ 1 ? k

2

x1 ? x 2 ?



∴ (1 ? k )[( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 ?x 2 ] ?
2 2

20 9

∴ (1 ? k )[
2

8k ? 2 20 ? 4? ]? , 2 (1 ? 2 k ) 1 ? 2k 9 64k
4 2 2 2
2

2 2 ∴ ( 4 k ? 1)(1 4 k ? 1 3) ? 0 ,∴ k ?

1 4

.
2



1 4

? k

2

?

1 2

,∵ 16 k ? t (1 ? 2 k ) ,∴ t ?
2 2 2

16k

2 2

1 ? 2k

?8?

8 1 ? 2k
2



∴ ?2 ? t ? ?

2 6 3



2 6 3

?t ? 2,

∴实数 t 取值范围为 ( ? 2 , ?

2 6 3

)?(

2 6 3

,2 ) .


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