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辽宁省朝阳市三校协作体2015届高三下学期开学联考理数


辽宁省朝阳市三校协作体 2015 届高三下学期开学联考 数学(理)
时间:120 分钟 分值:150 分

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分)

1, 2,3, 4,5, 6? , B = ?3, 4,5? , 1.已知全集 U = ?0, 集合 A= ?0,1, 2,3? , 则(?U A )

B= (



A.

?3?

B. ?4,5?
1 ? 1 ,则 p 是 q 的 x

6? C. ?4,5,

D. ?0,1, 2?
( )

2.若 p : x ? 1, q :

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
?? ? 3 ? ? 3? ? 3.已知 cos ? ? ? ? ? ,且 ? ? ? , ? ,则 tan ? ? ?2 ? 5 ?2 2 ?





A.

4 3

B.

3 4

C. ?

3 4

D. ?

3 4

4.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是





A. 3

B. 4

C. 5

D. 6


5.某几何体三视图如下,其中三角形的三边长与圆的直径均为 2,则该几何体体积为(

A.

32 ? 8 3 π 3

B.

32 ? 3 π 3

C.

4?3 3 π 3

D.

4? 3 π 3

主视图

左视图

俯视图

(第 4 题图)

(第 5 题图)

?? ?1 ? ?1 ?? 6.设函数 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 3 cos ? x ? ? ?? ? ? ? ,且其图像关于 y 轴对称,则 2? ?2 ? ?2 ??
函数 y ? f ? x ? 的一个单调递减区间是
? ?? A. ? 0, ? ? 2? ?? ? B. ? , ? ? ?2 ? ? ? ?? C. ? ? , ? ? ? 2 4?
9


? 3? ? D. ? , 2? ? ? 2 ?



7.已知 a ? ?

?

2 0

1 ? ? 2 x 1? ? ? sin ? ?dx ,则 ? ax ? ? 展开式中, x 的一次项系数为( 2 2? 2ax ? ? ?



A. ?

63 16

B.

63 16

C. ?

63 8

D.

63 8

8. 抛物线 y 2 ? 2 px 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有相同焦点 F,点 A 是两曲线交点,且 a 2 b2

AF ⊥ x 轴,则双曲线的离心率为





A.

5 ?1 2

B.

2 2 ?1 2

C. 3 ? 1

D. 2 ? 1

9. 若曲线 y ?

a?
A. ?2

1 2 x 与曲线 y ? a ln x 在它们的公共点 P ? s, t ? 处具有公共切线,则实数 2e





B.

1 2

C. 1

D. 2

10. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ? x ? 满 足 f ? x ? 2 ? ? ? f ? x ? , 若 f ? ?1? ? ?2 ,
f ? ?7 ? ? a ?1 ,则实数 a 的取值范围为 3 ? 2a


?3 ? D. ? ??,1? ? , ?? ? ?2 ?



? 3 ? A. ? ? , ?1? ? 2 ?

B. ? ?2,1?

? 3? C. ?1, ? ? 2?

11.平面四边形 ABCD 中, AB ? AD ? CD ? 1 , BD ? 2 , BD⊥CD ,将其沿对角线 BD 折成四面体 A? ? BCD ,使平面 A?BD ? 平面 BCD , 若四面体 A? ? BCD 的顶点在同一 个球面上,则该球的体积为 ( )

A.

3 ? 2

B. 3?

C.

2 ? 3

D. 2?
1 1 ? ? AB CD

12. 过抛物线 y 2 ? 4 x ? p ? 0 ? 的焦点作两条互相垂直的弦 AB、CD ,则

A. 2

B. 4

C.

1 2

D.

1 4





二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知复数 z ?
3 ?i , z 是 z 的共轭复数,则 z ? z ? ___________. (1 ? 3i ) 2

?0 ? x ? 2 ? 14. 已知 M ( x, y ) 为由不等式组 ? y ? 2 ,所确定的平面区域上的动点,若点 ? ?x ? 2 y

A

?

2,1 ,则 z ? OM ? OA 的最大值为___________.

?

15.已知点 G 为 △ABC 的重心,过点 G 作直线与 AB , AC 两边分别交于 M , N 两点,

1 1 且 AM ? x AB, AN ? y AC , x, y ? R ,则 ? ? ___________. x y
16. 在 △ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,
b sin C 已知,且 ? 1? a?c sin A ? sin B

b ? 5, CA ? CB ? ?5 ,则 △ABC 的面积是___________.

三、解答题: (共 6 小题,共 70 分)
1 17. (12 分)已知数列 ?an ? 满足 an ? 0 , a1 ? , an ?1 ? an ? 2an ? an ?1 ? n ? 2, n ? N ? ? . 3

?1? (1)求证: ? ? 是等差数列; ? an ?
(2)证明: a12 ? a2 2 ? ??? ? an 2 ?
1 . 4

18. (本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AB ? 侧面BB1C1C ,

AB ? BC ? 1 , BB1 ? 2 , ?BCC1 ?
(1)求证: C1 B ? 平面ABC ;

?
3

.

(2)设 CE ? ? CC1 (0≤?≤1),且平面 AB1 E 与 BB1 E 所 成的锐二面角的大小为 30°,试求?的值.

19.(本小题满分 12 分)在一次考试中,5 名同学数学、物理成绩如下表所示:

学生

A

B

C

D

E

数学(x 分) 89 91 93 95 97 物理(y 分) 87 89 89 92 93 (1)根据表中数据,求物理分 y 对数学分 x 的回归方程: (2)要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选出 2 名参加一项活动, 以 X 表示选中 的同学中物理成绩高于 90 分的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E ? X ? .

?? ? ?a ? ? bx ? 中, b ( 附:回归方程 y

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (x ? x )
i ?1 i

n

? ) ? ? y ? bx ,a

2

20.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A ? ?1,1? 关于原点 O 对
1 称, P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率 之积等于 ? . .. 3

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x ? 3 交于点 M , N ,问:是否存在点 P 使得 △PAB 与 △PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? ax ? ? a ? 1? ln ? x ? 1? ,其中 a ? 0 .
x ? ln ? x ? 1? ? x ; 1? x 1 (2)设 f ? x ? 的最小值为 g ? a ? ,证明 ? ? g ? a ? ? 0 . a

(1)当 x ? 0 时,证明不等式

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲如图,△ABC 内接于圆 O , AD 平 分 ?BAC 交圆 O 于点 D ,过点 B 作圆 O 的切线交直线 AD 于点 E . (1)求证: ?EBD ? ?CBD ; (2)求证: AB ? BE ? AE ? DC .
O E D C A B

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程

? x ? 2 cos ? 已知曲线 C1 的参数方程是 ? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为 ? y ? sin ?
极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? . (1)写出 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程;
? ?? (2) 已知点 M 1 、 M 2 的极坐标分别为 ?1, ? 和 ? 2, 0 ? ,直线 M 1M 2 与曲线 C2 相交于 ? 2?
P, Q 两点,射线 OP 与曲线 C1 相交于点 A ,射线 OQ 与曲线 C1 相交于点 B ,求

1 OA
2

?

1 OB
2

的值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? a . (1)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? 4 ? x ? 1 ; (2)若 f ? x ? ? 1 的解集为 ? 0, 2? ,
1 1 ? ? a ? m ? 0, n ? 0 ? ,求证: m ? 2n ? 4 . m 2n

高三数学试题(理科)参考答案及评分标准
一、选择题: 1.B 2.A 3.B 4.B 5.D 6.C 7.A 8.D 9.C 10.D 11.A 12.D

二、填空题: 13. 三、
1 4

14. 4

15. 3

16. 15 3

解答题:

17.证明: (1)
?

an ?1 ? an ? 2an ? an ?1 ? n ? 2 ?

1 1 ? ? 2 ? n ? 2? an an ?1

?1? ? ? ? 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列. ? an ?
………………6 分

(2)由(1)知:
1

1 ? 3 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 an

? an ?

1 2n ? 1

…………8 分

? an 2 ?

? 2n ? 1?

2

?

1 1?1 1 ? 1 ? ? ? ? ?, 4n ? n ? 1? 4 ? n n ? 1 ? 4n ? 4n
2

? a12 ? a2 2 ? ??? ? an 2 ?

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 4 ?1 2 ? 4 ? 2 3 ? 4 ? n n ?1 ?

1 ?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 4 ?1 2 2 3 n n ?1 ? 1? 1 ? 1 . ? ?1 ? ?? 4 ? n ?1 ? 4
………………12 分

18. 解: (1)因为侧面 AB ? BB1C1C , BC1 ? 侧面 BB1C1C ,
故 AB ? BC1 , 在 △BCC1 中, BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ? ………………2 分

?
3

由余弦定理得:

BC12 ? BC 2 ? CC12 ? 2 BC ? CC1 ? cos ?BCC1 ? 12 ? 22 ? 2 ? 1? 2 ? cos

?
3

?3


所以 BC1 = 3 故 BC 2 ? BC12 ? CC12 ,所以 BC ? BC1 , 而 BC

………………4 分 ………………6 分

AB ? B,? BC1 ? 平面ABC

(2)由(1)可知, AB, BC , BC1 两两垂直.以 B 为原点, BC , BA, BC1 所在直线为

x, y, z 轴建立空间直角坐标系.


B(0, 0, 0), A(0,1, 0), B1 ( ?1, 0, 3) , C (1, 0, 0) , C1 (0, 0, 3) . CC1 ? (?1, 0, 3) ,所以 CE ? (?? , 0, 3? ) ,? E (1 ? ? , 0, 3? )

所以 则

AE ? (1 ? ? , ?1, 3? ), AB1 ? (?1, ?1, 3) . 设平面 AB E 的法向量为 n ? x, y, z , ? ? 1

? ( ? n ? AE ? n ? AE ? 0 ? 1-? ) x ? y ? 3? z ? 0 ? ? ? ? ? n ? AB1 n ? AB1 ? 0 ? ? ? ? ?? x ? y ? 3z ? 0 则由 ,得 ,即 ? ,
令 z ? 3 ,则

x?

3 ? 3? 3 3 ? 3? 3 ,y? ,? n ? ( , , 3) 2?? 2?? 2?? 2?? 是平面 AB1 E 的一个法向量.

AB ? 侧面 BB1C1C , BA ? (0,1, 0) 是平面 BEB1 的一个法向量,

? cos? n, BA? ?

n ? BA n BA

? 1? (

3 ? 3? 2 3 2 ) ?( ) ? ( 3) 2 2?? 2??
2

3 2??

?

3 2
. ………………12 分

2 3 两边平方并化简得 2? -5? +3=0 ,所以 ? =1 或 ? ? (舍去)

19.解: (1) x ?

89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 ? 93 , 5 87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93 y? ? 90 5

………………2 分

? ? xi ? x
i ?1
5

5

?
i

?

2

? ? ?4 ? ? ? ?2 ? ? 02 ? 22 ? 42 ? 40 ,
2 2

? ? x ? x ?? y ? y ? ? ? ?4 ? ? ? ?3? ? ? ?2 ? ? ? ?1? ? 0 ? ? ?1? ? 2 ? 2 ? 4 ? 3 ? 30
i ?1 i

?? ?b

30 ? ? 20.25 . ? ? y ? bx ? 0.75, a 40
………………6 分

? ? 0.75 x ? 20.25 ; 所以,物理分 y 对数学分 x 的回归方程为 y

(2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2
2 1 1 2 C2 C2 C2 2 C2 1 1 P ? X ? 0 ? ? 2 ? ; P ? X ? 1? ? 2 ? ; P ? X ? 2 ? ? 2 ? C4 6 C4 3 C4 6

…………9 分

故 X 的分布列为

X
P

0

1

2

1 6

2 3

1 6
………………12 分

1 2 1 ? E ? X ? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 6 3 6

20.解: (1)点 P 的轨迹方程为 x 2 ? 3 y 2 ? 4 ? x ? ?1?

………………5 分

(2)设点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,点 M , N 的坐标分别为 ? 3, yM ? , ? 3, y N ? ,
则直线 AP 的方程为 y ? 1 ?

y0 ? 1 ? x ? 1? , x0 ? 1

直线 BP 的方程为 y ? 1 ?

y0 ? 1 ? x ? 1? . x0 ? 1

令 x ? 3 ,得 yM ?

4 y0 ? x0 ? 3 2y ? x ? 3 , , yN ? 0 0 x0 ? 1 x0 ? 1

于是 △PMN 的面积 S△PMN

x ? y0 ? 3 ? x0 ? 1 ? yM ? y N ? 3 ? x0 ? ? 0 2 x0 2 ? 1

2

……………8 分

直线 AB 的方程为 x ? y ? 0 , AB ? 2 2 , 点 P 到直线 AB 的距离 d ?

x0 ? y0 2



于是 △PAB 的面积 S△PAB ?

1 AB ? d ? x0 ? y0 , 2

……………10 分

当 S△PAB ? S△PMN 时,得 x0 ? y0 ?
2

x0 ? y0 ? 3 ? x0 ? x0 2 ? 1
2

2



又 x0 ? y0 ? 0 ,所以 ? 3 ? x0 ? ? x0 ? 1 ,解得 x0 ? 因为 x0 2 ? 3 y0 2 ? 4 ,所以 y0 ? ?

5 , 3

33 , 9

故存在点 P 使得 △PAB 与 △PMN 的面积相等,
此时点 P 的坐标为 ? , ?

?5 ?3 ?

33 ? ? 9 ? ?
x , x ? (0, ??) , 1? x

……………12 分

21.证明: (1)设 ? ? x ? ? ln ? x ? 1? ?
则??? x? ?

1 1 x , ? ? 2 2 1 ? x ?1 ? x ? ?1 ? x ?
………2 分

当 x ? 0 时, ? ? ? x ? ? 0 , ? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数;

? 当 x ? 0 时, ? ? x ? ? ? ? 0 ? ? 0 ,即 ln ? x ? 1? ? ?

x ? 0, 1? x
……………4 分

x ? ln ? x ? 1? 成立, 1? x
同理可证 ln ? x ? 1? ? x ,

所以,

x ? ln ? x ? 1? ? x . 1? x

……………6 分

(2)由已知得函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1, ?? ? ,
且 f ?? x? ? 当 x ? ? ?1,

ax ? 1 1 ? a ? 0 ? ,令 f ? ? x ? ? 0, 得 x ? . x ?1 a

……………8 分

? ?

1? 1? ? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ? 上单调递减; a? a? ?

当 x ??

?1 ? ?1 ? , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在 ? , ?? ? 上单调递增. ?a ? ?a ? ?1? ?1 ? ? ? 1 ? ? a ? 1? ln ? ? 1? , ?a? ?a ?
……………10 分

所以, f ? x ? 的最小值 g ? a ? ? f ?

将x?

1 x 代入 ? ln ? x ? 1? ? x , a 1? x
即 1 ? ? a ? 1? ln ?



1 ?1 ? 1 ? ln ? ? 1? ? a ?1 ?a ? a

1 ?1 ? ? 1? ? 1 ? ; a ?a ?
……………12 分

所以 ?

1 1 ?1 ? ? 1 ? ? a ? 1? ln ? ? 1? ? 0 ,即 ? ? g ? a ? ? 0 a a ?a ?

22. (1)∵BE 为圆 O 的切线
∠EBD=∠BAD 又∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD ∴∠EBD =∠CAD 又∵∠CBD=∠CAD ∴∠EBD=∠CBD (2)在△EBD 和△EAB 中,∠E=∠E,∠EBD=∠EAB ∴△EBD∽△EAB ∴ ………………7 分 ………………5 分 ………………4 分 ………………2 分

B O

BE BD ? AE AB
………………9 分

∴AB?BE=AE?BD

A C

又∵AD 平分∠BAC ∴BD=DC 故 AB?BE=AE?DC ………………10 分

E

D

x2 23.解: (1)曲线 C1 的普通方程为 ? y 2 ? 1 , 4
化成极坐标方程为

? 2 cos 2 ?
4

? ? 2 sin 2 ? ? 1
2

………3 分

曲线 C2 的直角坐标方程为 x 2 ? ? y ? 1? ? 1

……………5 分

(2)在直角坐标系下, M 1 ? 0,1? , M 2 ? 2, 0 ? ,
线段 PQ 是圆 x ? ? y ? 1? ? 1 的一条直径
2 2

? ?POQ ? 90

由 OP ? OQ

得 OA ? OB

A, B 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的两点, 4
? ?

在极坐标下,设 A ? ?1 , ? ? , B ? ? 2 , ? ?

??
? 2?

分别代入

?12 cos 2 ?
4

? ?12 sin 2 ? ? 1 中,



? cos ?
2 1 2

4
1 ?
?

? ?12 sin 2 ? ? 1 和
1

? 2 2 cos 2 ? ? ?

? ? 4

??
? 2?

?? ? ? ? 2 2 sin 2 ? ? ? ? ? 1 2? ?

?

?12
1

cos 2 ? ? sin 2 ? , 4
1

?22
1
2

?
1

sin 2 ? ? cos2 ? 4
? 5 . 4
……………10 分



?

2 1

?2

2

?

5 4



OA

?

OB

2

24. 解: (1)当 a=2 时,不等式为 x ? 2 ? x ? 1 ? 4 ,
不等式的解集为 ? ??, ? ? 2

? ?

1? ?

?7 ? , ?? ? ; ? ?2 ?

……………5 分

(2) f ? x ? ? 1 即 x ? a ? 1 ,解得 a ? 1 ? x ? a ? 1 ,而 f ? x ? ? 1 解集是 ? 0, 2? ,

?a ? 1 ? 0 1 1 ,解得 a=1,所以 ? ? 1? m ? 0, n ? 0 ? ?? m 2n ?a ? 1 ? 2
所以 m ? 2n ? (m ? 2n) ?

?1 1 ? ? ? ? 4. ? m 2n ?

……………10 分


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