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降次解一元二次方程——因式分解法教学课件


22.2.3降次解一元二次方程---因式分解 法

新建中学 叶茂清 2013.09.25

一、复习引入 1、已学过的一元二次方程解法有哪些?

直接开平方法

配方法

公式法

2、请用已学过的方法解方程x2 =4(任选一种)

解方程x ? 4
2

解法一

(公式法):

移项,得
2

x ?4 ? 0
2

? a ? 1, b ? 0, c ? ?4, b ? 4ac ? 0 ? 4 ? (?4) ? 16 ? 0,
? b ? b ? 4ac 0 ? 16 0 ? 4 ?x ? ? ? , 2 2 2a
2

? x1 ? 2, x2 ? ?2.

解方程x ? 4
2

解法二

(直接开平方法):

x ? ? 4,

即x1 ? 2, x2 ? ?2.

二、探索新知

解方程x ? 4
2

解:原方程可变形为
X2-4=0 一移项 二分解 三降次

(x+2)(x-2)=0
X+2=0或

x-2=0

∴ x1=-2 ,x2=2

四求解

快速回答:下列各方程的根分别是多少?

(1) x( x ? 2) ? 0

x1 ? 0, x2 ? 2

(2)( y ? 2)( y ? 3) ? 0 y1 ? ?2, y2 ? 3
2 1 (3)(3x ? 2)( 2 x ? 1) ? 0 x1 ? ? , x2 ? 3 2 2 (4) x ? x x1 ? 0, x2 ? 1

例1、解下列方程 1、x2-3x-10=0 解:原方程可变形为 (x-5)(x+2)=0

2、(x+3)(x-1)=5 解:原方程可变形为 x2+2x-8=0

x-5=0或x+2=0
∴ x1=5 ,x2=-2

(x-2)(x+4)=0
x-2=0或x+4=0

∴ x1=2 ,x2=-4

例2、解下列方程

(1)3x( x ? 2) ? 5( x ? 2)
(2)(3x ? 1) ? 5 ? 0
2

(1)3x( x ? 2) ? 5( x ? 2)
解:移项,得 3x( x ? 2) ? 5( x ? 2) ? 0

? x ? 2?? 3x ? 5? ? 0
x ? 2 ? 0或3x ? 5 ? 0
5 x1 ? ?2, x2 ? 3

(2)(3x+1)2-5=0
解:原方程可变形为

(3x+1+ 5 )(3x+1- 5 )=0 3x+1+ 5 =0或3x+1- 5 =0
?1 ? 5 ?1 ? 5 ∴ x1= , x 2= 3 3

四、课堂延伸

1.用因式分解法解关于 x 的方程

(a ? b) x ? 2bx ? a ? b ? 0(a ? b ? 0)
2

解:原方程变形为

1 a?b

1 ? ( a ? b)

( x ? 1)[( a ? b) x ? (a ? b)] ? 0
? a ? b ? 0,?原方程的根为 a ?b x1 ? ?1, x2 ? . a?b

? x ? 1 ? 0或(a ? b) x ? (a ? b) ? 0

2.解关于x的方程x ? 2ax ? a ? b ? 0
2 2 2

1 1

? ( a ? b) ? ( a ? b)

解: ? (a ? b)][ x ? (a ? b)] ? 0 [x
x ? (a ? b) ? 0或x ? (a ? b) ? 0

? x1 ? a ? b, x2 ? a ? b.

3.解关于x的方程x ? 2ax ? a ? b ? 0
2 2 2

解:原方程可变形为: (x-a)2-b2=0 (x-a+b)(x-a-b)=0 x-a+b=0 或 x-a-b=0 ∴x1=a-b x2=a+b

4.已知 : 2 x ? 11xy ? 15 y ? 0. 1 求证 : x ? 3 y或2 x ? 5 y. 2
2 2

? 3y ? 5y

证明:由2 x ? 11xy ? 15 y ? 0,得
2 2

( x ? 3 y )(2 x ? 5 y ) ? 0,

? x ? 3 y ? 0或2 x ? 5 y ? 0,

? x ? 3 y或2 x ? 5 y.

五、课堂小结

用因式分解法解一元二次方程的步骤: 1.方程右边不为零的化为 零 。

一次因式 2.将方程左边分解成两个_____________ 的乘积。 3.至少 有一个 一次因式为零,得 到两个一元一次方程。 4.两个 一元一次方程的解 就是原方程 的解。

简记歌诀: 右化零
两因式

左分解
各求解


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