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2013年杭州市第二次高考科目教学质量检测(理科)数学试题参考答案及评分标准


2013 年杭州市第二次高考科目教学质量检测
数学(理科)试题参考答案及评分标准

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的): 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 A 5 B 6 C 7 C 8 B 9 A 10 D

二、填空题(本大题共 7 小题

,每小题 4 分,共 28 分): 11.

1 15 . ? 3 6

12. 60 16. ?

13. 6 17. 2 3

14. 50(1 ? 3)

15. 22

3 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分) a 2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 7 7 ?b? ? , (Ⅰ) ∵ a cos B ? b cos A ? ,根据余弦定理得, a ? 2ac 2bc 2 2 ∴ 2a 2 ? 2b2 ? 7c ,又∵ c ? 2 ,∴ a 2 ? b 2 ? 7 , b2 ? c2 ? a2 3 ?? . ∴ b cos A ? 2c 4 7 3 11 (Ⅱ) 由 a cos B ? b cos A ? 及 b cos A ? ? ,得 a cos B ? . 4 4 2 3 15 11 又∵ a ? 4 ,∴ cos B ? ,∴ sin B ? 1 ? cos2 B ? , 16 16 1 3 ∴ S?ABC ? ac sin B ? 15 . 2 4 19. (本题满分 14 分) C1 ? C1 ? C1 ? C1 9 (Ⅰ) P= 3 3 4 3 3 ? . C12 55 (Ⅱ) P( X ? 1) ?
P( X ? 3) ?
1 2 3 1 C3 1 C 2 (C1C 3 ? C4 C 2 ? C4 C4 ) 68 , P( X ? 2) ? 3 4 4 4 4 , ? ? 4 C12 165 C12 165 1 1 2 3C4C4C4 32 . ? 4 C12 55

7分

14 分

5分

分布列为: X P 1 2 3

1 165

68 165

32 55
12 分

E( X ) ?

1 2? 6 8 ?3 3 2 8 5 ? ? ? . 165 165 55 33

14 分

理数评 ·第 1 页(共 4 页)

20. (本题满分 15 分) (Ⅰ) 连接 HC,交 ED 于点 N,连结 GN, 由条件得:DHEC 是矩形,∴N 是线段 HC 的中点,又 G 是 PC 的中点, ∴ GN//PH, 2分 又 ∵ GN ? 平面 GED,PH 不在平面 GED 内, 4分 ∴ PH//平面 GED. 5分 (Ⅱ) 方法 1:连结 AE,∵?BAD ? 120? , ∴ △ABE 是等边三角 形,设 BE 的中点为 M,以 AM、AD、AP 分别为 x, y, z 轴建立空间直 角坐标系. 则 B(
3 3 3 1 , ? ,0), C( , ,0),D(0,2,0),P(0,0, 3 ), 2 2 2 2

则 E(

3 1 3 3 3 3 1 3 , ,0), F( ,? , ),G( , , ). 4 4 2 2 2 4 2 4 3 3 3 5 3 , ,0) , DG ? ( ,? , ). 2 2 4 4 2

(第 20 题)

设 Q(0,0, t ) , ED ? (?

8分

设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 GED 的一个法向量,

? 3 3 ? x1 ? 3 y1 x1 ? y1 ? 0 ?n1 ? ED ? ? ? ? 2 2 则? ,得 ? 3 , 3 5 3 y1 ? z1 ? ? 3 ? ?n1 ? DG ? 4 x1 ? 4 y1 ? 2 z1 ? 0 ?
令 y1 ? 1 ∴ n1 ? ( 3 ,1,
3 ). 3

10 分

设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 ? 的一个法向量,

? 3 3 ? x2 ? 3 y2 x2 ? y2 ? 0 ?n2 ? ED ? ? ? ? 2 2 则? ,得 ? ,令 y2 ? 1 ,得 1 y2 3 1 3 ? z2 ? ? 2t ? 3 ? ?n2 ? QF ? 4 x2 ? 4 y2 ? ( 2 ? t ) z2 ? 0 ? 1 n2 ? ( 3 ,1, ), 12 分 2t ? 3
当平面 GED⊥平面 ? 时, n1 ? n2 ? 3 ? 1 ? 得t ?
3 1 ? ?0, 3 2t ? 3

11 3 13 3 11 11 3 ? ? ,则 PQ 的长为 3 ? . 15 分 24 24 24 8 3 方法 2:连接 BH,则 BH//ED,又∵ PB//GE,∴ 平面 PBH//平面 GED, 设 BH 与 AE 交于点 K,PK 的中点为 M, ∵ 是 PB 的中点,∴ F FM//BK, ∵ ABEH 是菱形,∴ AE⊥ BK, ∵ PA⊥ 平面 ABCD,∴ PA⊥ BK ,∴BK⊥ 平面 PAK. ∴ FM⊥ 平面 PAK, (第 20 题) 过 M 作 MQ⊥ PK,交 PA 于 Q,设 MQ 与 FM 所确定的平面为 ? , ∵ ED//BH// FM,∴ ED//平面 ? ,又平面 ? ⊥ 平面 PBH,∴ 平面 ? ⊥ 平面 EDG . 得平面 ? 满足条件. 9分
理数评 ·第 2 页(共 4 页)

∵PA ? 3 , AK ? 由

1 13 1 ,∴PK ? 3 ? ? , 4 2 2

PQ PM , ? PK PA
15 分

13 13 ? PK ? PM 4 ? 13 3 . 得 PQ ? ? 2 PA 24 3

21. (本题满分 15 分) ? y ? 2x ? 2 (Ⅰ) 由 ? 2 ,整理得 x 2 ? 4 px ? 4 p ? 0 ,设M 1 ( x1 , y1 ),M 2 ( x2 , y2 ), x ? 2 py ?
R R R R

?? ? 16 p 2 ? 16 p ? 0 ? 则 ? x1 ? x2 ? 4 p , ?x ? x ? 4 p ? 1 2 p ∵ 直线 y ? 平分 ?M 1 FM 2 ,∴ kM1F ? kM 2F ? 0 , 2 p p p p y1 ? y2 ? 2 x1 ? 2 ? 2 x2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ,即: 2 ? 2 ? 0, ∴ x1 x2 x1 x2 p x ? x2 ? 0 ,∴ p ? 4 ,满足 ? ? 0 ,∴ p ? 4 . ∴ 4 ? (2 ? ) ? 1 2 x1 ? x2

(第 21 题)

7分

2 2 ? x ? x2 ? 16 x x (Ⅱ) 由(1)知抛物线方程为 x 2 ? 8 y ,且 ? 1 , M 1 ( x1 , 1 ) , M 2 ( x2 , 2 ) , 8 8 ? x1 x2 ? 16 2 x 设 M 3 ( x3 , 3 ) ,A (t ,2) , B(a,2) , 8 由A、M 2 、M 3 三点共线得 kM2M3 ? k AM 2 ,
R R R R

x2 ?2 x2 ? x3 2 2 ∴ ,即: x2 ? x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? x2 ? 16 , ? 8 8 x2 ? t 整理得: x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? ?16 , ……①

2

由B、M 3 、M 1 三点共线,同理可得 x1 x3 ? a( x1 ? x3 ) ? ?16 , ……②
R R R R

②式两边同乘 x 2 得: x1x2 x3 ? a( x1x2 ? x2 x3 ) ? ?16x2 , 即: 16x3 ? a(16 ? x2 x3 ) ? ?16x2 , ……③ 由①得: x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? 16 ,代入③得: 16x3 ? 16a ? ta( x2 ? x3 ) ? 16a ? ?16x2 , 即: 16( x2 ? x3 ) ? at( x2 ? x3 ) ,∴ at ? 16 . ∴ OA ? OB ? at ? 4 ? 20 . 15 分

22. (本题满分 14 分) (Ⅰ) ∵ a ? 0 , a ? b ? 0 ,∴ b ? ? a ,则 f ( x) ? ax3 ? ax , ∴ f ?( x) ? 3ax2 ? a ,设切点 T( x0 , y0 ),则 f ?( x0 ) ? k PT , 即:切线方程为 y ? y0 ? (3ax02 ? a)( x ? x0 ) ,又∵切线过点 P( ?1,0 ),
理数评 ·第 3 页(共 4 页)

∴ ? (ax03 ? ax0 ) ? (3ax0 2 ? a)(?1 ? x0 ) ,解得: x0 ? ?1 或 x0 ?

当 x0 ? ?1 时, f ?( x0 ) ? 2a ,切线方程为 y ? 2ax ? 2a , 1 1 1 1 当 x0 ? 时, f ?( x0 ) ? ? a ,切线方程为 y ? ? ax ? a . 4 4 4 2 (Ⅱ) ① 当 a ? 0 , b ? 0 时, f ( x) ? bx 在[0,1]上递增,∴ b ? 1 . ② 当 a ? 0 , b ? 0 时,令 f ?( x) ? 3ax2 ? b ? 0 ,得 x ? ? ?
f (x) 在[0, ?

1 . 2

7分

b , 3a

b ]上递增, 3a

(i) 若 ?

b ? 1 时, f (x) 在[0,1]上递增,∵ f (0) ? 0 , 3a

? b ?? 3a ? 1 ?3a ? b ? 0 ? 3 ? ∴ ?a ? b ? 1 ,即: ?a ? b ? 1 ,由线性规划知: b ? . 2 ?a ? 0, b ? 0 ?a ? 0, b ? 0 ? ? ?

( ii ) 若 ?

b b b ? 1 时, f (x) 在[0, ? ]上递增,在[ ? ,1]上递减,又 3a 3a 3a

? b ?? 3a ? 1 ? ? b f (0) ? 0 , 由题意得: ? f ( ? ) ? 1 , 3a ? ?a ? b ? 0 ? ?

由 f( ?

b b b b ) ? 1 得, a ? (? ) ? ? ?b? ? ? 1, 3a 3a 3a 3a

2 b ? 1 ,得 4b 3 ? ?27a . 即: b ? ? 3 3a 又 a ? b ? 0 ,∴ a ? ?b , 3 ∴ 4b 3 ? 27b ,得 0 ? b ? 3. 2 3 3 3 b 当b ? ,满足 ? 3 时, a ? ?b ? ? ?1. 2 2 3a

综上所述: b 的最大值为

3 3 . 2

14 分

理数评 ·第 4 页(共 4 页)


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