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复数在高中物理竞赛中的应用


2 0 1 3年 2月  

V o 1 . 3 1  N o . 0 3   由( 1 ) 、 ( 3 ) 得  z  + (  一  
●  

中 学 物理  

R, 故 只将圆心轨迹 向下平移 R 的图形 即为磁场 的边界 . 边  界线 为以 O。 为圆心 , R 为半径的左半圆周 , 界线方程为 


+(   十 R)   = R2  
/   一~ 、   :
x  x   x 


)  
●   ●J  

,   ≥ 

≥0  

( 2 )  
一 ●  ●  ●    

、  

x ( /  x : 、 、   _   : 二  
x 


O   2   一:


)  
、  


 

! 

● 

●  

● 

x 
●  ●  

O 
, 、

、  


:  

f  “   。 D l  
  .



, ● 

、  :   ?  
,  
, 
.  

:  

,  

幽 2  

由( 1 ) 、 ( 2 ) 得  +(  +   )   , z≤ 0 - ,  ≤ 0 ,  

评析  参考答案 中以某一粒 子为例 , 证 明 P点 是边界  线上的一点 , 由几何 关系找 出 P点坐标 , 用数学 消元法得 出  边界线方程 , 数学知 识的运 用大于物理情 景的分 析. 笔者提 

此边界线的示意图如图 2中粗线所示 .   同理 , 若磁场方 向垂直于 x y面向外 , 则磁场的边 界线 为  如图 3中粗线 所示 , 磁场 区域 的边界线的方程为 
+(   —R)  = R   ( 3 )  

供 的方法更 注重整个物理过程的分析 , 用作图的方法不仅 能  轻松快速解答此题 , 而且适 于课堂教学 中作为 例题 讲解 , 让 
学生感受到只要理清物理情景 , 竞赛题 也可轻松解答 .  

复 数 在 高 中 物 理 竞 赛 中 的 应 用 
谭 国锋 
( 浙江省 镇海 中学
1   问题 的提 出  

浙江 宁波

3 1 5 2 0 0 )  

析 此类 问题时 , 往往很难通过平面坐标对物理量 的正 交分解 

笔者在高 中的物理竞赛教学 中, 发 现学生对于一些 多维 
坐标 , 多维矢量 的问题 , 习惯采用平面坐标 、 矢量分解 的思 路  去分析 , 但过程 中又 缺乏 系统的分析 能力 , 往往 出现分析 不 

去分析 , 但如果将运动方 程表示成 复数的形 式 , 用复数作 为 
物体位 移的“ 方 向标签” , 直接进行 复数运算 , 会 使得这类 问  题 的分析变得简单明了.   具 体分析 方法 如 下 : 建立 极 坐标 系 , 根 据复 数 的指 数 
形 式 

全、 分析不 清的现象 . 如何能够用简单的方法 分析更加快速 、  
准确的分析这些问题 , 理 清思路 , 减少出错率 , 引起 了笔者 的 
思考 .  

v ' e  = r ( c o s O+ i s i n 0 ) ,  

2   复数在高 中物理分析 中的作用 

设物体在极坐标里的基本运动方程为  ,   则物体的速度为  d ? - e  +  
物体的加速度为 
t 2   e   (   d 十 

矢量是物理 中常常谈及 的量 , 竞赛 中不少物理量 之间的  分析计算都涉及到矢量 . 由于复 数是一个 二维 量 , 它 除了表 
示“ 数 ”的能 力 之 外还 被赋 予 了方 向 ; 然 而 它 仍然 是 一 个  “ 数” , 这使它能参与 到 比向量更 多的计算 中. 所 以在具 体的  多个方向的物理问题分析 中, 如果 引入 复数 , 就 能将方 向的 

?  
,  

d r




? 

)+ (   e  ?  d O+   口? (  

)  

改变直接呈现到具体的计算 中, 而不用 再通过复杂 的矢量分  解和代数运算来解决 问题 , 从而极 大的简化 了分析过程和方 
程形式 .  

  .

∞ 



十 

d   0、  

,’  

设 

n=   d 2   7 -
,c u = 

d O


卢= d 2   0
, 

3   复数在高 中物理竞赛 中的具体应用 
3 . 1   复数在运动学 中的运 用  

则物体 的加速度  A =( 口一m  )+i ( 2  ̄ o+   ) ,   其 中的 2 砌 就是科里奥 利加速度 , 其方 l h q   d r垂直 .  
df


运动学 中有一类相 对转 动参考 系运 动 的物 体的 运动学 
量求解的问题 , 由于 物体 在运动 过程 中 , 要 受 到是科 里奥利  力的作用 , 使得 物体 的运 动具有 一个 空间性 , 学生在 具体分 
?

从推导 中我们 可 以看 出 : 首先 , 我们理解匀加 速参考 系 

4 0 -  

中学物理

Vl o 1 . 3 1  N o . 0 3  

2 0 1 3年 2月  

里 的非惯性力 F :一m  d " r是个 一维 量 仅有一 个量 . 而转 


( ∞ 2 一   ) [ ∞ 2 一  

一o ,  

动参考系 中, 径向运 动 与横 向的运 动相互 影 响 , 如 由于径 向 

解得  =;  , ∞ ; =丛 
。, ∞ :

速度  使物体离坐标原点距离 r 增大 , r 增大又导致 了横 向  
速 度分量 7 ) 0=O J r 增大 , 横向速度分量这又使下一时刻 的  发生变化 , 我 们 可 以引入 复数 来 分 析这个 过 程 中 的具 体影  响. 我们对 一维量 r贴上 一个 “ 方 向标签 ” e   . 每当乘上一个 f   时便逆时针旋转 9 0 度. 接着 用求导的方法将  ,   的牵制影  响定量化 , 也就是 2 z x o , 再 引入 非惯性力 F, 便 可 以解 释身处  转动参考系里一些与牛顿第一运动定律 不符 的现象 ( 如 北半 
球 的河流会侵蚀右岸 ) .  

,  

; =0 ( 舍去) ,  

便是所求 的结果 .  
:一   ,   A1= A3:一   =0 ;   A2 .  

对于 ∞。 :   对于 ∞ 2 :  

‘ , , ‘1  

通过以上计算 过程 , 不难发现 , 引入复数形 式以后 , 我们 
可以将一个二 阶微分方程化为一个三元一次方 程 , 将多次求  导化为矢 量的旋转 与缩放 , 通过 复数运算 分析 , 大 大的降低 

了分析此类 问题 的数学要求 .   3 . 3   复数在 电学中的运用   对于竞赛 中遇 到的一些简单的交流电题 目, 学生往往能  够通过相位差 , 画出一些 简单 的矢量 图( 通常 【 , , ,为垂 直关  系) , 就可得 出答案 . 但 是有些 题 目如果 用此 方法处理 , 却 相 
当复杂 , 但是如果 能够 引入 复数 , 就能  找 到一种更加规范 、 简便 的计算方法 .   一  
例  如 图 1所 示 ,已 知 : E1 =  

3 . 2   复数在 动力学 中的运 用 

简谐运动是物理竞赛 动力学问题 中的重点 内容 , 很 多竞 
赛题 目都需要通 过求 出简谐运 动 的运 动学 和动力学 方程进  行求解 , 但 是学 生在一些 问题 中碰 到二 阶偏 微分方程 , 往往  就束手无 策 . 其实简谐运动 的物 体运动方程为  =  。 c o s ( w t   +  ) , 与 复数 的实部非 常相 似 , 这又 为复数 提供了舞台. 在这  类问题 中, 同样 可以通过引入复数进行分析求解 .   以二氧化 碳分子 为例 , 我们 知道 它是线 形分子 , 并 假设  碳原子与氧原子 问的结合力为 弹性 力 , 求解分子可 能的运动  形式和相应 的角频率 .   将简谐运动设为复数形式 Ae  , 设碳原子 的质量为  。 ,   氧原子的质量为 m: , 左边 碳原 子的 坐标为  , 氧原子 坐标 


E o c o s ( _ }   +3 0 。 ) , E 2 =E 0 ∞6 (  +  

4 5 . ) , E 3  E 0 o 。 s (  +  ) , 乩  壶 
=R。 求通过 R 的电流 .  

£j  

C 

图1  

分析  由于 3 个 电源各 自独立 , 故可 以用 电流叠加 原理 

右 边碳原子的坐标为 。 , 弹性结合 系数为 七 .  


般的做法首先是表示 出运 动方程 :  

求 出通过 R 的电流 . 具体求解如下 :   假设只有电源 E   ( 此时 E : , E 出看做导 线) , 由于 电感 
上 电压超前 电流 9 0 度, 电容上电流超前电压 9 0度, 此时电感  与 电容为并联( 电压相位相 同) , 设 
: i   ,   : 一 i. 2 R,  

I l   m 1 .   d ' X l = 一 是 (   l —   2 ) ,  

{ I   m : ?   : ‘   = 一 k ( x   一 x 2 ) 一 k ( x : 一 3 7 3 ) ,  
f   l T 1 . 1 .   = 一 是 (   3 一 z 2 )  
对于中学 阶段的我们 , 这是个 棘手 的微分 方程组 , 但 如 

则瓦 一凝 一≤ 


果引入简谐振动 的复数形式 , 令 


R( 1 十- W ‘i ) ,  

A  ?   , 其中   =1 , 2 , 3 ,  

将最 终结果取实部即可 .  

l =a r c t a n 专 =3 3 . 7 . ,  

譬 :   .   . (  )   = 一   . e   ,  
代 入 原 方 程 组 得 

J 。 : 乒o 0 6 ( 告  + 3 0 ? 一 3 3 . 7 。 )  

f ( c o   一  )   t + 砉   z = 0 ,  

=   c o s ( 丢   - 3 .  
同 理当 E : 、 E , 单独存在时可以求得 J : , J , , 累加即可得 
到通过 R 的 电流 , 这里不再赘述 .   复数在数学中本是 因解方程的需要产 生的 , 但是在高 中 

{   + (   2   2 k : ) a : +   = 0 ,  
【  : + ( ∞   一  )   , = 0 .  
原子 间显然 不可 能没有 相对振 动 , 故方 程要 有非零 解.   观察 易知  ,  : ,   中若有一 个为零 , 则 其余 的均为零 , 因  
此不妨解 出一个令其不为零 即可 . 即:  
(  2一  
因式 分 解 后 为 :  

物理竞赛中, 引入复数。 对一些复杂题目的求解却起到了巨  
大作用. 由于复数是是 个二维 量 , 所 以我 们可 以将 一些具有  方 向的物理量表示成复数形式 , 进而将由于矢量方 向导致 的   复杂运动 和受力分析 , 转换到 简单 的数 学计算 中. 正是通过  复数所起到的“ 方 向标签” 的作用 , 才使得物理 问题的分析变 
=o ,  

∞ 2 一   )一2 ( 叫2 一   )  

得十分简单明了, 也为 一些竞赛 中复杂 问题 的简化 , 提供 了   种有效 的方 法.  



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