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2.3.4平面与平面垂直的性质


问题提出

1.平面与平面垂直的定义是什么? 如何判定平面与平面垂直?
定义:如果两个相交平面所成的二面角 是直二面角,则称这两个平面互相垂直. 判定定理:一个平面经过另一个平面 的的垂线,则这两个平面垂直.

2.平面与平面垂直的判定定理,解 决了两个平面垂直的条件问题;反之, 在平面与平面垂直的条件下,能得到哪 些结论?

2.3.4

平面与平面垂直的性质

知识探究(一)面面垂直的性质定理 思考1:如果平面α与平面β互相垂直, 直线l在平面α内,那么直线l与平面β的 位置关系有哪几种可能?
α β l α β α

l

l
β

平行

相交

l??

知识探究(一)面面垂直的性质定理

思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直,在黑板上是否存在直线与地面垂直? 若存在,怎样画线?
α

β

思考3:如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中, 平面A1ADD1与平面ABCD垂直,其交线为 AD,直线A1A,D1D都在平面A1ADD1内,且 都与交线AD垂直,这两条直线与平面 ABCD垂直吗? C1 D1
B1 C B

A1
D

A

? ? ? ,? ? ? ? CD, AB ? ? , AB ? CD,

? ? ? ,? ? ? ? CD 思考4:一般地, AB ? ? , AB ? CD ,垂足为B,那么直线 AB与平面 ? 的位置关系如何?为什么?
β E D B C A

AB ? ?

α

思考5:据上分析可得什么定理?试用文 字语言表述之. β
D
B C A

α

面面垂直的性质定理:两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直.

思考6:结合下图,如何用符号语言描述 这个定理? 符号语言
α
l m

? ?? ? ? ? ? ? m? ? l ? ? ? β l ?? ? ? l ?m

简写成 面面垂直 ? 线面垂直

知识探究(二)面面垂直的性质探究 思考1:若α⊥β,过平面α内一点P作 平面β的垂线,垂足为C,那么点C在什 么位置?PC与α的位置关系是什么?
β P

C在交线上
B

PC ? ?

α A

C O

结论1:如果两个平面互相垂直,那么 经过第一个平面内一点且垂直于第二个 平面的直线,必在第一个平面内. 注:点可在交线上,也可不在交线上. 符号语言 β P ? ??? C B ? ? PC ? ? P ? ? ? C P PC ? ? ? ?

α

作用: 证明线在面内

思考2:对于三个平面α、β、γ, ? ? ? ? l ,那 如果α⊥γ,β⊥γ, 么直线l与平面γ的位置关系如何? 为什么? l ??
l
α b β

a

γ

结论2:如果两个相交平面都垂直于另一 个平面,那么这两个平面的交线垂直于 这个平面. 符号语言
l
α γ β

? ? ?? ??l ?? ? ?? ?l ? ?

? ?? ?

理论迁移 例1 如图,已知α⊥β,l⊥β, l ?? 试判断直线l与平面α的位置关系,并说 明理由.
α a m β l

l / /?

例2 如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形, AB=2, ,侧面 BC ? 2 PAB是等边三角形, 且侧面PAB⊥底面ABCD. (1)证明:侧面PAB⊥侧面PBC; (2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
P

A B

D

C

P

A

E B

? PE ? 面ABCD ? ? BC ? 面PAB ? BC ? 面ABCD BC ? 面PBC ? ? 面PAB ? 面PBC ? PE ? BC ? AB ? BC PE ? AB ? E ?

(1)解: 取AB中点E,连接PE ?PAB是等边三角形 ? D ? PE ? AB ? 面PAB⊥面ABCD ? 面PAB∩面ABCD=AB ? C ? PE ? 面PAB

?

P

(2)解: 由(1)知 PE ? 面ABCD 连接CE D ? ?PCE为所求角 A

?

E B

在 Rt ?PEC中

? PE ? CE
?

C

在 Rt ?BCE中
1 BE ? AB ? 1 2

BC ? 2
? CE ? 3

? ? ?

? ?PCE ? 45 PC与面ABCD所 成的角为450.

在 ?PAB中 PE ? 3


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