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对勾函数


对勾函数图象性质
对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图

一、对勾函数 f(x)=ax+

的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要 注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如 f(x)=a

x+ (接下来写作 f(x)=ax+b/x) 。 当 a≠0,b≠0 时,f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点, 对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。 当 a,b 同号时,f(x)=ax+b/x 的图象是由直线 y=ax 与双曲线 y= b/x 构成,形状酷似双勾。故称“对勾函 数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示:

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像(ab 同号)

当 a,b 异号时,f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。 (请自己在图上完成:他是如何叠加而成 的。 )

对勾函数的图像(ab 异号)

一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的焦点和 渐进线的位置有所改变罢了。 接下来,为了研究方便,我们规定 a>0,b>0。之后当 a<0,b<0 时,根据对称就很容易得出结论了。
1

(二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到: 当 x>0 时, 当 x<0 时, 。 。

即对勾函数的定点坐标: (三) 对勾函数的定义域、值域 由(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性 y

(五) 对勾函数的渐进线 O y=ax 由图像我们不难得到: (六) 对勾函数的奇偶性 二、类耐克函数性质探讨 函数 y ? ax ?
b x

X

:对勾函数在定义域内是奇函数,

,在 a ? 0 或 b ? 0 时 为简单的单调函数,不予讨论。 (2) a ? 0 , b ? 0 (3) a ? 0 , b ? 0 (4) a ? 0 , b ? 0

在 a ? 0 且 b ? 0 时 有如下几种情况:(1) a ? 0 , b ? 0 设 y 1 ? ax , y 2 ?
b x

,则 y

? y 1 ? y 2 ? ax ?

b x

,其定义域为 ?x | x ? R , 且 x ? 0 ?

(1) a ? 0 , b ? 0 时, y 1 ? ax , y 2 ?

b x

在 ( ?? , 0 ), ( 0 , ?? ) 上分别单调递增。
b x

故 y ? y 1 ? y 2 ? ax ? (2) a ? 0 , b ? 0 时, y 1 ? ax , y 2 ?
b x

在 ( ?? , 0 ), ( 0 , ?? ) 为单调递增函数。

在 ( ?? , 0 ), ( 0 , ?? ) 上分别单调递减。
b x

故 y ? y 1 ? y 2 ? ax ? (3) a ? 0 , b ? 0 图像略
b

在 ( ?? , 0 ), ( 0 , ?? ) 为单调递减函数

1 当 x ? 0 时, y 1 ? ax ? 0 , y 2 ?

?

b ? 0 y ? y 1 ? y 2 ? ax ? b ? 2 ax ? b ? 2 ab 。当且仅当 ax ? ,即 x ? x x x x
? 0
?b x

b a
b x

取等号。

2 当x ? 0 时

?

y 1 ? ax ? 0 , y 2 ?
b a

b x

y ? y 1 ? y 2 ? ax ?

b x

? ? ( ? ax ?

) ? ? 2 ax ?

b x

? ? 2 ab

,当且仅当 ax ?

,即 x

? ?

b a

(因为 x ? 0 ,故舍掉 x

?

)取等号。
2

4) a ? 0 , b ? 0
? 1 当 x ? 0 时, y1 ? ax ? 0 , y 2 ? b ? 0

x

y ? y 1 ? y 2 ? ax ?

b x

? ? ( ? ax ?

?b x

) ? ? 2 ax ?

b x

? ? 2 ab

。当且仅当 ax ?
b x

b x

,即 x

?

b a

取等号。

2 当x ? 0 时

?

y 1 ? ax ? 0 , y 2 ?
? x? 1 x

b x

?0

y ? y 1 ? y 2 ? ax ?

b x

?? 2 ax ?

b x

? 2 ab

,当且仅当 ax ?

,即 x ? ?

b a

取等号。

三、关于求函数 y
1. 均值不等式
? x ? 0 ,? y ? x ?

?x

? 0 ? 最小值的十种解法

1 x

? 2 ,当且仅当 x ?

1 x

,即 x ? 1 的时候不等式取到“=” ? 当 x ? 1 的时候, y min ? 2 。

2. ? 法
y ? x? 1 x ? x ? yx ? 1 ? 0
2

若 y 的最小值存在,则 ? ? y ? 4 ? 0 必需存在,即 y ? 2 或 y ? ? 2 (舍)
2

找到使 y ? 2 时,存在相应的 x 即可。通过观察当 x ? 1 的时候, y min ? 2 3. 单调性定义 设 0 ? x1 ? x 2
f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ? ? x 1 ? x 2 ?? 1 ? ? x1 x 2 ?

x1 x 2 ? 1 ? ? ? ? x1 ? x 2 ? ? x1 x 2 ?

当对于任意的 x 1 , x 2 ,只有 x 1 , x 2 ? ? 0 ,1? 时, f ? x 1 ? ? f ? x 2 ? ? 0 ,? 此时 f ? x ? 单调递增; 当对于任意的 x 1 , x 2 ,只有 x 1 , x 2 ? ?1, ?? ? 时, f ? x 1 ? ? f ? x 2 ? ? 0 ,? 此时 f ? x ? 单调递减。
? 当 x ? 1 取到最小值, y min ? f ?1 ? ? 2

4. 复合函数的单调性
y ? x? 1 ? ? ? ? x ? x ? 1 ? ? ?2 ? x ?
2

t ?

x ?

1 x

在 ?0 , ?? ? 单调递增, y ? t ? 2 在 ? ? ? , 0 ? 单调递减;在 ?0 , ?? ? 单调递增
2

又? x ? ? 0 ,1 ? ? t ? ? ? ? , 0 ? x ? ?1, ?? ? ? t ? ?0 , ?? ? 即当 x ? 1 取到最小值, y min ? f ?1 ? ? 2

? 原函数在 ? 0 ,1 ? 上单调递减;在 ?1, ?? ? 上单调递增

5. 求一阶导
y ? x? 1 x ? y ?1?
'

1 x
2

当 x ? ?0 ,1 ? 时, y ? 0 ,函数单调递减;当 x ? ?1, ?? ? 时, y ? 0 ,函数单调递增。
' '

? 当 x ? 1 取到最小值, y min ? f ?1 ? ? 2

6. 三角代换
令 x ? tan ? , ? ? ? 0 , ? ? ,则 1 ? ?
? 2?
? cot ? x

y ? x?

1 x

? tan ? ? cot ? ?

2 sin 2 ?

? ? ? 0,
?

?

? ?
? 2 ?

? 2? ? ?0 , ?

?

? 当? ?

?
4

,即 2 ? ?

?
2

时, ?sin 2? ? max ? 1 , y min ? 2 ,显然此时 x ? 1
3

7. 向量
y ? x? 1 x ? x ?1 ? 1 x ?1 ? a ? b ,

? 1? a ? ? x , ? , b ? ?1,1 ? ? x?

a ? b ? a ? b cos ?

2 a cos ?
1 x

根据图象, a 为起点在原点,终点在 y ?

?x

? 0 ? 图象上的一个向量, a cos ? 的几何意义为 a 在 b 上的投影,
2? 2 ? 2

显然当 a ? b 时, a cos ? 取得最小值。此时, x ? 1 , y min ?

8.图象相减
y ? x? 1

1 ? 1? ? x ? ? ? ? ,即 y 表示函数 y ? x 和 y ? ? 两者之间的距离 x x ? x?

求 y min ,即为求两曲线竖直距离的最小值 平移直线 y ? x ,显然当 y ? x 与 y ? ?
y ? ? 1 x 1 x

相切时,两曲线竖直距离最小。
1 x 1 x

关于直线 y ? ? x 轴对称,若 y ? x 与 y ? ?

在 x ? 1 处有一交点,根据对称性, 相交。显然不是距离最小的情况。

在 0 ? x ? 1 处也必有一个交点,即此时 y ? x 与 y ? ? 所以,切点一定为 ?1, ? 1 ? 点。

此时, x ? 1 , y min ? 2

9.平面几何
依据直角三角形射影定理,设 AE ? x , EB ? 显然, x ?
1 x 1 x

,则 AB ? AD ? x ?

1 x

为菱形的一条边,只用当 AD ? AB ,即 AD 为直线 AB 和 CD 之间
1 x

的距离时, x ? 此时, x ?
1 x

取得最小值。即四边形 ABCD 为矩形。

,即 x ? 1 , y min ? 2

10. 对应法则
设 ? f ? x ??min ? t
2

f x

? ??
2

x ?
2

1 x
2

? x ? ? 0 , ?? ? , x ? ?0 , ?? ? ,对应法则也相同 ? f x

? ? ??
2

min

? t

f ?x ? ? x ?

1 x

? f

2

?x ? ?

x ?
2

1 x
2

?2

? 左边的最小值 ? 右边的最小值 ? t
2

? t ? 2 ? t ? ? 1 (舍)或 t ? 2

当 x ? P ? x ,即 x ? 1 时取到最小值,且 y min ? 2
2

4

四、对勾函数练习: 1.若 x>1.求 y ? x ?
2

1 x ?1

的最小值

2. 若 x>1. 求 y ?

x ? 2x ? 2 x ?1 x ? x ?1
2

的最小值

3. 若 x>1. 求 y ?

x ?1
2 x

的最小值

4. 若 x>0. 求 y ? 3 x ?
2

的最小值

5.已知函数 y ?
(1) 求 a ?
1 2

x ? 2x ? a x

( x ? [1, ?? ))

时,求 f ( x )的最小值

(2)若对任意 x∈[1,+∞],f(x)>0 恒成立,求 a 范围
5

?
6.: 方程 sin2x-asinx+4=0 在[ 0 ,
7. 函数 y ? x ?
10 x

2

]内有解 ,则 a 的取值范围是__________
10 x

?2 ?
4 x

x ? 7 ? 的最小值为____________;函数 y ? x ?

?2 ?

x ? 7 ? 的最大值为_________。

8.函数 y ? 2 ? 3 x ?

的最大值为
x ? 2x ? 2
2



9、若 ? 4 ? x ? 1 ,则 y ? 10.函数 y ? 11.若不等式
t 9 sin
2 2

2x ? 2
2

的最值是



? 4 sin x ? a ? 1 x

x 的最小值是

。 。

t ?9

t?2 t ?
2

在 t ? ?0 , 2 ? 上恒成立,则 a 的取值范围是

12. 求函数 f ? x ? ? x ?

16 x x ?1
2

?x
x

? 1 ? 的最值。

1 13. 当 x ? ( 0,)时,求 f ( x ) ?
1

2
x

4 ?1

的值域

14. 求 f ( x ) ? x ? x ?
2

x ? x?3
2

的值域

6


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