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2014届高三新课标理科数学一轮复习课件 第一章 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件


第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

考纲要求 1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形 式的命题及其逆命题、否 命题与逆否命题,会分析 四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条 件与充要条件的意义.

考纲研读 1.要理解命题之间的等价性,对于正面 证明比较困难的题目,可用“正难则 反”的策略进行解答. 2.会使用等

价命题化简条件和结论, 理解充分条件与必要条件的相对性, 能借助于集合间的包含关系判断充要 关系.

1.命题 真假 可以判断_____的陈述句叫做命题;命题就其结构而言分为 条件 结论 真命题 假命题 ______和______两部分;就其结果正确与否分为______和______. 2.四种命题 若q则p 原命题:如果 p,那么 q(或若 p 则 q);逆命题:_________; 若 q则 p 若 p则 q 否命题:______________;逆否命题:_____________.

3.四种命题之间的相互关系

逆否命题 否命题 如图,原命题与_________,逆命题与_______是等价命题. 4.充分条件与必要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的_____条件. 充分 (2)如果 q?p,则 p 是 q 的_____条件. 必要 (3)如果既有p?q,又有q?p,记作p?q,则p是q的_________ 充分必要 条件.

1.(2011 年福建)若 a∈R,则 a=2 是(a-1)(a-2)=0 的( A ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )条

2.(2012年广东惠州一模 )“a>0”是“a2 +a≥0”的( A 件.( ) B.必要不充分 D.既不充分又不必要

A.充分不必要 C.充要

3.若 a∈R,则“a(a-3)<0”是“关于 x 的方程 x2-ax+a =0 没有实数根”的( A ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.对于命题“正方形的四个内角相等”,下面判断正确的是 ( B ) A.所给命题为假 B.它的逆否命题为真

C.它的逆命题为真

D.它的否命题为真

5.(2011年陕西)设a,b是向量,命题“若a=-b,则 |a|=|b|”的逆命题是( D ) A.若a≠-b,则|a|≠|b| B.若a=-b,则|a|≠|b|

C.若|a|≠|b|,则a≠-b
D.若|a|=|b|,则a=-b

考点1

四种命题的关系及真假的判断

例1:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判 断真假: (1)面积相等的两个三角形是全等三角形;

(2)若 x=0,则 xy=0;
(3)当 c<0 时,若 ac>bc,则 a<b; (4)若 mn<0,则方程 mx2-x+n=0 有两个不相等的实数根.

解析:(1)逆命题:两个全等三角形面积相等(真命题). 否命题:面积不等的两个三角形不是全等三角形(真命题).

逆否命题:不全等的两个三角形面积不相等(假命题).
(2)逆命题:若xy=0,则x=0(假命题). 否命题:若x≠0,则 xy≠0(假命题). 逆否命题:若xy≠0,则x≠0(真命题). (3)逆命题:当c<0 时,若a<b,则ac>bc(真命题). 否命题:当 c<0 时,若ac≤bc,则a≥b(真命题).

逆否命题:当c<0 时,若a≥b,则ac≤bc(真命题).

(4) 逆命题:若方程mx2 -x +n =0 有两个不等实数根,则

mn<0(假命题).
否命题:若mn≥0,则方程mx2-x+n=0 没有两个不等实数 根(假命题). 逆否命题:若方程mx2 -x+n=0 没有两个不等实数根,则

mn≥0(真命题).
原命题与其逆否命题等价,逆命题与其否命题等 价,要理解命题之间的等价性,当判断一个命题的真假比较困难

时,可转化为判断它的逆否命题的真假,这就是常说的“正难则
反”.

【互动探究】

π 1.(2012年湖南)命题“若α= 4 ,则tanα=1”的逆否命题是 ( C ) π A.若α≠4,则tanα≠1 π C.若tanα≠1,则α≠4 π B.若α=4,则tanα≠1 π D.若tanα≠1,则α=4

考点2

充要关系的判断

例2:(1)(2012年安徽)设平面α与平面β相交于直线m,直线 a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b” 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:本题的条件命题为“α⊥β”,结论命题为“b⊥a”.
当α⊥β时,由线面垂直的性质定理可得a⊥b,所以条件具有 充分性;但当a⊥b时,如果a∥m,就得不出α⊥β,所以条件不 具有必要性.故条件是结论的充分不必要条件. 答案:A

(2)(2011年江西)已知α1,α2,α3是三个相互平行的平面,平 面α1,α2之间的距离为d1,平面α2,α3之间的距离为d2.直线l与α1,

α2,α3分别交于P1,P2,P3.那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:平面α1,α2,α3 平行,
由图D2 可以得知: 如果平面距离相等,根据两个三

角形全等可知P1P2=P2P3.
如果P1P2=P2P3,同样是根据两 个三角形全等可知d1=d2. 答案:C 图D2

判断p 是q 的什么条件,要从两方面来分析:一

是由p 能否推得q;二是由q 能否推得p;特别注意:判断命题的
充要关系一定要把该题看成两个独立的命题来推理,不能光看表 面现象,否则所有的结果都像“充分必要条件”.

【互动探究】 2.(2011年湖南)“x>1”是“|x|>1”的( A ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

解析:方法一:因“x>1”?“|x|>1”,反之; “|x|>1”?“x>1或x<-1”,不一定有“x>1”.故选A.

方法二:|x|>1?x<-1或x>1,
∵{x|x>1}?{x|x<-1或x>1},所以“x>1”是“|x|>1”的充分 不必要条件,故选A.

考点3

充要关系的应用

例3:已知 p:|1-2x|≤5,q:x2-4x+4-9m2≤0,若 p是

q的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围.
解析:解不等式得 p:-2≤x≤3. ①当 m>0 时,q:2-3m≤x≤2+3m. p 是 q 的充分不必要条件,即 p? q,等价于 q?p.

?2-3m≥-2, ? 1 从而?2+3m≤3, ?0<m≤3. ?m>0 ?

②当 m<0 时,q:2+3m≤x≤2-3m. p 是 q 的充分不必要条件,即 p? q,等价于 q?p.

?2+3m≥-2, ? 1 从而?2-3m≤3, ?-3≤m<0. ?m<0 ? ③当 m=0 时,q:x=2,显然合乎题意. 1 1 综上所述,实数 m 的取值范围为-3≤m≤3.
p 是 q 的充分条件,则q 是p 的充分条件,从
而避免求补集;充要关系的判定转化为集合的包含关系:A?B 即

A 是B 的充分条件、B 是A 的必要条件;A=B 即 A 是B 的充分必 要条件.

【互动探究】
3.已知函数y=lg(4-x)的定义域为A,集合B={x|x<a}, 若P:“x∈A”是Q:“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取

值范围______. a>4
解析:A={x|x<4},由图D3易得a>4.

图D3

易错、易混、易漏 2.误把必要条件当成充要条件 例题:已知点A的坐标为(1,2),点 B 的坐标为(3,5),点 C 的 坐标为(t,0),求使∠BAC 是钝角的充要条件.

→ → → → → → 正解:AB=OB-OA=(2,3),AC=OC-OA=(t-1,-2). → AC → 因使∠BAC是钝角的充要条件是 AB · <0,且A,B,C三点 不共线. ∴2(t-1)-6<0,2×(-2)≠3(t-1). 1 解得t<4且t≠-3.

【失误与防范】用向量研究一个角是钝角的充要条件的常见 → AC → 错误是忽视共线情况.即AB· <0 并不能确定∠BAC 是钝角.它 → 只是一个必要条件, 而不是充要条件. → , 反向, 如AB AC 夹角为 180° , → AC → 显然不是钝角,而AB· <0 成立.

判断命题时需注意充分、必要关系

(1)要分清命题的条件和结论. (2)要善于将文字语言转化为符号语言进行推理.
(3)要注意转化与化归思想的运用,通常把一个正面较难判断 的命题转化为它的等价命题进行判断. (4)当判断多个命题之间的关系时,常用图示法,它能使问题 更直观,更易于判断.

1.注重集合与逻辑问题的转化,如将充要关系的判定转化为 集合的包含关系:A?B 即 A 是 B 的充分条件、B 是 A 的必要条件;

A=B 即 A 是 B 的充分必要条件.
2.判断 p 与 q 之间的关系时,要注意 p 与 q 之间关系的方向 性,充分条件与必要条件方向正好相反,很容易混淆.


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