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用换元法求值域


用换元法求值域
一、 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是无理函数、三角函数(用三 角代换)等

二、例题讲解
1、求函数 y ? 2x ? 3 ? 13 ? 4x 的值域。 由 于 题 中 含 有 13? 4 x 不 便 于 计 算 , 但 如 果 令 : t ? 13? 4 x 注 意 t ? 0 从 而 得 :

x?

13 ? t 2 13 ? t 2 ?y ? ? 3 ? t (t ? 0) 变形得 2 y ? ?(t ? 1) 2 ? 8(t ? 0) 即: y ? (??,4] 4 2

注意:在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围,否则将会发生错误。 2、已知 p ( x, y ) 是圆 x 2 ? y 2 ? 4 上的点,试求 t ? x 2 ? y 2 ? 3xy 的值域。
2 2 在三角函数章节中我们学过: sin ? ? cos ? ? 1注意到 x 2 ? y 2 ? 4 可变形为:

x y x y ( ) 2 ? ( ) 2 ? 1 令 ? cos ?, ? sin ?, ? ? [0, 2?)则 2 2 2 2

t ? 4 ? 3 ? 2 cos ? ? 2 sin ? ? 4 ? 6 sin 2? 又2? ? [0,4 ?)即 sin 2? ? [?1,1] 故 t ? [?2,10]
3、试求函数 y ? sin x ? cos x sin x ? cos x 的值域。
2 2 2 题中出现 cos x ? sin x ,而 sin x ? cos x ? 1, (sin x ? cos x) ? 1 ? 2 sin x cos x 由此联想

到将 cos x sin x 视为一整体,令 t ? sin x ? cos x ? [? 2 , 2 ] 由上面的关系式易得

t 2 ? 1 ? 2 sin x cos x ? sin x cos x ?

t 2 ?1 故原函数可变形为: 2

y?t?

t 2 ?1 1 (t ? [? 2, 2 ])即2 y ? (t ? 1) 2 ? 2, y ? (t ? 1) 2 ? 1? t ? [? 2 , 2 ] 2 2

1 ? y ? [?1, ? 2 ] 2


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