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《函数的单调性》的教学设计


《§3 函数的单调性》教学设计
一、 教学背景分析 1、 学习任务分析 内容:函数的单调性。 地位与作用: 《函数的单调性》是《高中数学北师大版》 (必修 1)第二章第 3 节的内容。它既 是在学生学过函数概念等知识后的延续和拓展,又是后面研究指数函数、对数函数、三角函数等各 类函数的单调性的基础,在整个高中数学中起着承上启下的作用。研究函数单调性的过程体现了数 学的数形结合和归纳转化的思想方法,反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式,这对培养学生的 创新意识、发展学生的思维能力,掌握数学的思想方法具有重大意义。函数的单调性是函数的四个 基本性质之一,在比较几个数的大小、对函数作定性分析(求函数的值域、最值,求函数解析式的参 数范围、绘函数图象)以及与不等式等其它知识的综合应用上都有广泛的应用;同时在这一节中利 用函数图象来研究函数性质的数形结合的思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 2、 学生情况分析 从知识储备方面,首先,学生已经学习了函数的基本概念,及初中所学的一次函数与二次函数 为本节课的进一步学习准备好了必要的知识基础;另外,由于学生初学,因此在课堂上需要多给学 生思考及动手操作的时间,适当的时候也需要老师加以引导。 二、 教学目标的确定 1、教学目标: 知识与技能:理解函数单调性的概念,掌握证明函数单调性的方法和步骤。 过程与方法:通过观察图像,归纳,概括出函数的单调性等概念,能用数学单调性解决简单问 题,使学生领会数形结合的思想,培养学生观察、分析、归纳等思维能力。渗透数形结合、特殊到 一般等数学思想方法。培养学生提出问题,分析问题以及数学表达的能力 情感态度与价值观:通过对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考,逐步认识数学的科学价 值和应用价值,提高数学学习兴趣,树立学好数学的信心。 2、教学重、难点 教学重点:(1)领会函数单调性概念,体验函数单调性的形式化过程,深刻理解函数单调性的 本质,并明确单调性是一个局部概念;(2)函数单调性的概念的理解 教学难点::判断和证明函数单调性

三、 教学方法与手段 教学方法:采用“三主教学法”教师主导,学生主体,思维主线;充分调动学生学习的积极性 和主动性渗透数学思索方程;启发探究相结合 四、授课类型: 五、教学课时: 新授课 一课时

六、教学用具:计算机、投影仪、彩色粉笔 七、 教学过程的设计

(一)、创设情境,引入新课
【活动】:多媒体展示图片,让学生观看图片,引入新课,

(二) 、归纳探索,形成概念
1、借助图象,直观感知 回顾一次函数与二次函数图像特征,为本节课研究函数单调性做好准备。

4

y=x
4

y=x 2

2

1 -2 -1 1 -1 2

2

1

1

-2
-2

-1

1

2

[具体教学安排] 【活动 1】:请同学们回顾一次函数与二次函数的图像特征,师:大家一起来观察函数图像,在其 定义域内,函数值与自变量有什么关系?图像从左往右看有什么趋势?(教师用多媒体展示) 学生 1:函数值随自变量的增大而增大。图像从左往右是上升的 师:类似的我们在来观察 y=x2 图像,发现规律学生齐答:在(-∞,0)内,函数值随自变量 的增大而减小,从图像上看,在 y 轴的左侧,从左往右是下降的;在(0,+∞)内,函数值随自变 量的增大而增大,在 y 轴的右侧,图像从左往右看是下降的.

教师:其实随自变量的增大,函数值是增大还是减小,初中同学们就有了一定的认识,但是没 有严格的定义,今天我们来学习函数单调性的定义。 【活动 2】:教师板书课题,口述教学目标 2、讲授新课(多媒体展示) 【活动 1】多媒体展示, 教师提问:怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢?即描述随着 x 的增大,相应的 f(x)随着 减小(或增大),师生共同探究,得出递增函数定义,然后学生类比得出递减函数的定义。 多媒体展示如下图:

【活动 2】教师板书定义,学生口述递减函数的定义。 【活动 3】安排学生看课件,学习单调性,单调区间,即增(减)函数的定义,并安排学生阅 读课本第 37 面来巩固概念 【活动 4】多媒体展示问题,通过阅读和分析你认为我们应该注意哪些关键词才能更透彻的理 解定义,教师总结注意: (1) 函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的性质。 (2) 有的函数不具备单调性,如常数函数。区间端点的写法。对于单独一点没有增减变化, 写单调区间是可包括也可不包括。 (3) 区间端点的写法。对于单独一点没有增减变化,写单调区间是可包括也可不包括。 (4) x1,x2 的三个特征: 一是任意取, 二是有大小, 通常设 x1<x2,三是同属于一个单调区间。

设计意图: 巩固单调区 间的概念, 突 出重点

(三)例题讲解:例 1 、求函数 y=f(x)在[-5,5]上的单调区间(多媒

体展示):
【活动 1】:教师启发学生观察图像,请学生 3 回答,多媒体展示解答 过程。教师总结判断函数单调性的方法—图像法并板书 【活动 2】:师生用图像归纳三类简单函数的单调性。多媒体展示:

例 2:画出函数 f(x)=3x+2 的图像,判断它的单调性,并加以证明。 【 具体教学安排】 【活动 1】:安排学生阅读课本第 37 页例 2。安排学生画图,判断单调性, 教师板书证题过程。 例题:证明 f(x)=3x+2 在(-∞,+∞)上是增函数 证明:任取 x1,x2? R ,且 x1<x2,则,x1-x2<0. 所以 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)<0, 即 f(x1)<f(x2) 由单调函数的定义可知,函数 f(x)=3x+2 是 R 上的增函数. 【活动 2】:多媒体展示例题,教师先安排学生小组间相互讨论,总结解题 步骤,多媒体展示解答过程,后安排学生回答。 【活动 3】:师生共同总结用定义证明单调性的步骤,多媒体展示。 【活动 4】:教师板书:取值----作差变形----判断符号----得出结论 (四)针对性练习 1.课本第 39 页练习 2、3 2、函数的 y ? A.b≥0 巩固定义, 突破难点 设计意图: 达标学习

x

2

? bx ? c, x ? ?0,?? ? 是单调函数等价条件( )
C.b>0 D.b<0

B.b≤0

3、函数 f ( x) ? (2a ? 1) x ? b 是 R 上的减函数,则有( )

1 1 1 C. a ? D. a ? 2 2 2 2 4、已知函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,0)上是减函数, 求实数 a 的取值范围————
A. a ?

1 2

Ba ?

备 注: 此处课后反 思——

5、判断函数 f ( x ) ? 明。

[学生合作交 流的效果如 何?] 【活动 5】:安排学生针对性:练习 1 请同学生们完成(见课本 P39 页第 2、 3 题),再安排同位之间,相互检查,纠错。 【活动 6】:多媒体展示练习 2、3、4、5,教师安排学生口述 2、3、4 题,

x

2

? 2 在(0,+∞)上是增函数还是减函数?并给予证


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