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2016高考新课标I预测密卷(数学文)


《2016 高考文数预测卷》新课标 I 卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知复数 z=1﹣i,则 的虚部是( )

A.0 B.2 C.-2i D.﹣2 2.“a=2”是“直线 l1: (a+2)x+(a﹣2)y=1 与直线 l2: (a﹣2)x+(3a﹣4)y=2 相互垂直” 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.抛物线 y ? ? A. (0,2)

1 2 x 的焦点坐标为( 8
B . (-2,0)

) C. (2,0) D.(0,-2) )

? x 2 ? 1 ( x ? 0) 4.已知函数 y ? ? ,使函数值为 17 的 x 的值是( ? ? 2 x ( x ? 0)
A. ?4 B. 4 或 ?

17 17 C. ?4或4 D. ?4或4或2 2
个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,

5.将函数 y=sin2x 的图象向右平移

纵坐标不变,则所得图象对应的函数解析式是( ) A.y=-cos4x B.y=-cosx C.y=sin(x+ ) D.y=-sinx

6.下列各式中最小值为 2 的是( ) A.

x2 ? 5 x ?4
2

B.

b a ? a b

C. 2 ?
x

1 2x

D. cos x ?

1 cos x

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )

A. 7 ? 2 B. 6 ? 2 C. 8.设曲线 y=

3 D.3 2

在点(2,3)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=( )

A.2

B.﹣2

C.﹣

D.

9.执行如图所示的程序框图,若输出 S=31,则框图中①处可以填入 ( )

A.n≥16?

B.n≥32?

C.n≥8?

D.n<32? )

10.在△ABC 中,若 A=30°,b=16,此三角形的面积 S=64,则△ABC 中角 B 为( A.75° B.30° C.60° D.90° 11. f(x)=ax+sinx 是 R 上的减函数,则实数 a 的范围是( ) A. (﹣∞,-1] B. (﹣∞,-1) C. (-1,+∞) D.[-1,+∞) 、 12.已知双曲线 C: ﹣

=1,若存在过右焦点 F 的直线与双曲线 C 相交于 A,B 两点且

=3 A.

,则双曲线在一、三象限的渐近线的斜率的最小值为( ) B. C.2 D.2

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 Sn=8an﹣1,则 a 5 =. ,则 log 2 ( x ? y ) 的最小值为.

14.设 x,y 满足

15. 已知 ?ABC 中, AB ? 7, AC ? 8, BC ? 9 , P 点在平面 ABC 内,且 PA? PC ? 7 ? 0 ,则

?

?

PB 的最小值为.

?

16. 如果椭圆

y 2 x2 (2,4) 平分,则这条弦所在的直线方程是_________ (请 ? ? 1 的某条弦被点 36 9

写出一般式方程) 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= (1)求通项公式 an 的表达式; 1 (2)若 b n ? ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. a n ? a n ?1 18.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形.∠DAB=60°, AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. n,

(Ⅰ)证明:PA⊥BD (Ⅱ)设 PD=AD=1,若 M 是 PB 的中点,求棱锥 M﹣ABC 的体积. 19. (本小题满分 12 分)在一次考试中,某班学习小组的五名学生的数学、物理成绩如下表

(1)要在这五名学生中选 2 名参加一项活动,求选中的同学中至少有一人的数学成绩不低于 95 分的概率. (2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图,并求出这些数据的线性回归直线方程.

(3)若该学习小组中有一人的数学成绩是 92 分,试估计其物理成绩(结果保留整数). 参考公式回归直线的方程是:y=bx+a,

其中对应的值.b=

,a= ﹣b .

(1,
20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)过点

2 3 ) 3 ,长轴长为 2 3 ,过

右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点.O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 P 在椭圆 C 上,且 OA ? BP ,求直线 l 的方程. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x)=ax﹣e (a∈R) ,g(x)= (Ⅰ)求函数 f (x)的单调区间; (Ⅱ) ? x∈(0,+∞) ,使不等式 f (x) ? g(x)﹣e 恒成立,求 a 的取值范围.
x x

??? ?

??? ?



请考生在地 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题计分。 22.(本小题满分 10 分)如图所示,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的平分线, ?ACD 的外接圆 交 BC 于点 E ,且 AB ? 2 AC .

(1)求证: BE ? 2 AD ; (2)当 AC ? 1 , BC ? 2 时,求 AD 的长.

23. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 数) ,直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ,

(θ 为参

(1)若以直角坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,写出直线 l 的极坐标 方程与参数方程; (2)设 l 与圆 C 相交于两点 A,B,求点 P 到 A,B 两点的距离之和. 24. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? 3 x ? 1 ? ax ? 3 . (1)若 a ? 2 ,解不等式 f ( x) ? 4 ; (2)若函数 f ( x) 有最小值,求实数 a 的取值范围.

《2016 高考文数预测卷》新课标 I 卷 参考答案
1.D【解析】∵z=1﹣i,∴ = .

所以虚部是-2,故选 D. 2.A【解析】当 a=2 时,两条直线分别化为:4x=1,y=1,此时两条直线相互垂直; 当 a= 时,两条直线分别化为:10x﹣2y=3,x=﹣3,此时两条直线不相互垂直,舍去; 当 a≠ ,2 时,由两条直线相互垂直,∴﹣ × =﹣1,解得 a= .

综上可得:两条直线相互垂直的充要条件为:a= 或 2. ∴“a=2”是“直线 l1: (a+2)x+(a﹣2)y=1 与直线 l2: (a﹣2)x+(3a﹣4)y=2 相互垂直” 的充分不必要条件.故选 A. 3.D【解析】将抛物线方程化为标准形式 x 2 ? ?8 y ,所以其焦点坐标为 (0, ?2) ,故选 D. 4.B【解析】令 f ? x ? ? 17 ? ?

? x 2 ? 1 ? 17 ? x?0

或?

??2 x ? 17 17 , ,解方程得 x 的值为 x ? 4 或 x ? ? 2 ? x?0
个单位,得到函数 y=sin2(x)=-cos2x

故选 B. 5.B【解析】 :将函数 y=sin2x 的图象向右平移

的图象,再将其图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=-cosx 的 图象,故选 B. 6.C【解析】A. 确; C.? 2 ? 0 ? 2 ?
x x

=

+

>2,不正确;B.ab<0 时,其最小值小于 0,不正

1 ? 2 ,当且仅当 x=0 时,取等号.D.cos<0 时,其最小值小于 0,不正 2x

确.故选:C. 7.A【解析】由三视图可知该几何体是一个正方体与三棱柱的组合体,正方体的棱长为 1,三 棱柱的底面为等腰直角三角形,直角边为 1,斜边为 2 ,棱柱的高为 1.所以几何体的表面 积 S ? 6 ? (1? 1) ? 2 ? ( ? 1? 1) ? (1? 2) ? 7 ? 2 .故选 A. 8.C【解析】∵y= ,∴y′= = ,

1 2

∴曲线 y=

在点(2,3)处的切线的斜率 k=﹣2,

∵曲线 y=

在点(2,3)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,

∴直线 ax+y+1=0 的斜率 k′=﹣a,﹣a×(-2)=﹣1,即 a=- .故选:C. 9.B【解析】第一次执行循环体后,S=1,n=2,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S=3,n=4,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S=7,n=8,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S=15,n=16,满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S=31,n=32,满足退出循环的条件;故判断框中的条件应为 n≥32?, 故选:B 10.A【解析】由 可得 c=16,所以△ABC 是等腰三角形,因此 B=75°,故选 A.

11.A【解析】∵f(x)=ax+sinx 是 R 上的减函数,∴f′(x)≤0 恒成立,即 f′(x)=a+cosx≤0, 即 a≤﹣cosx,∵﹣1≤﹣cosx≤1,∴a≤-1,故选:A 12.B【解析】由题意,A 在双曲线的左支上,B 在右支上, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,右焦点 F(c,0) ,则∵ =3 ,∴c﹣x1=3(c﹣x2) ,

∴3x2﹣x1=2c∵x1≤﹣a,x2≥a,∴3x2﹣x1≥4a,∴2c≥4a,∴e= ≥2,

b2 ? e ? 1 ? 2 ? 1 ? k 2 ? 2, 即k ? 3或k ? ? 3 a
∴双曲线在一、三象限的渐近线的斜率的最小值为 13. ,故选:B.

1 84 【解析】∵Sn=8an﹣1,∴当 n=1 时,a1=8a1﹣1,解得 a1= . 5 7 7

当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(8an﹣1)﹣(8an﹣1﹣1) ,化为

an 8 1 ? .所以数列{an}是以 a1= 为 an ?1 7 7

首项,

8 84 为公比的等比数列,所以 a 5 ? a1q 4 ? 5 。 7 7

14.1 【解析】如图作出不等式组表示

的可行域,如下图所示:

令 z=x+y,则直线 z=x+y 的斜率大于直线 2x+y=4 的斜率,因此当 z=x+y 过点(2,0)时,z 有最小值, 因此 log 2 ( x ? y ) 的最小值为 1. 15.

4



??? ? ??? ? BA ? BC ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 BA ? BC ? BA ? BC cos B ? (7 2 ? 92 ? 82 ) ? 33 , 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? BA ? BC ? 2 BA ? BC ? 14 , 由 PA ? PC ? 7 ? 0 可 得 PA ? PC ? ?7 , 则
解 析 】 :

??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ( PB ? BA)( PB ? BC ) ? ?7 ,即 PB ? PB( BA ? BC ) ? BA ? BC ? ?7 ,设 PB与BA ? BC 的
??? ?2 ??? ? ??? ? ?40 ? PB 夹角为 ? ,则有 cos ? ? ??? ? ? [?1,1] ,可求得 4 ? PB ? 10 ,故 | PB | 的最小值为 4 . 14 PB
16.2x+y-8=0【解析】设这条弦的两端点为 A ? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ? ,斜率为 k, 则

x ?x y ? y2 y12 x12 y2 x2 ? 0 ,又弦中点为(2,4) , ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 ,两式相减再变形得 1 2 ? k 1 9 36 36 9 36 9
n﹣ (n﹣1) ﹣ (n﹣1)=n, ???????????? 3 分
2

故 k= ?2 ,故这条弦所在的直线方程 y-4= ?2 (x-2) ,整理得 2x+y-8=0. 17.解: (1)当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=

当 n=1 时,a1=S1=1 也适合上式, ???????????? 4 分 ∴通项公式 an 的表达式为 an=n, ???????????? 5 分 1 1 1 ?( ? ) , ???????????? 8 分 (2)由(1)可得 b n ? n ? (n ? 1) n n ?1 ∴ Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ???( ?

1 2

1 1 2 3

1 n

1 1 n ) ? 1? ? . n ?1 n ?1 n ?1

???????????? 12 分

18.【解析】 (Ⅰ)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得 BD= , 2 2 2 从而 BD +AD =AB ,故 BD⊥AD 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD 所以 BD⊥平面 PAD.故 PA⊥BD. ???????????? 5 分 (II)解:因为 M 是 PB 的中点,所以点 M 到平面 ABC 的距离是点 P 到面 ABC 的距离的一半, ???????????? 6 分 因为 PD=AD=1,所以 AB=2,

S? ABC ?

1 1 3 . S? ABCD ? S? ABD ? AB ? AD ? sin ?DAB ? 2 2 2

???????????? 9 分

又因为 PD⊥平面 ABCD, 所以 VM ? ABC ?

1 1 1 3 1 3 . S ABC ? ( PD) ? ? ? ? 3 2 3 2 2 12

???????????? 12 分

19. 【解析】 (1)从 5 名学生中任取 2 名学生的所有情况为: (A4,A5) 、 (A4,A1) 、 (A4,A2) 、 (A4,A3) 、 (A5,A1) 、 (A5,A2) 、 (A5,A3) 、 (A1,A2) 、 (A1,A3) 、 (A2,A3)共种情 10 况. 其中至少有一人数学成绩不低于 95 分的情况有: (A4,A5) 、 (A4,A1) 、 (A4,A2) 、 (A4,A3) 、 (A5,

A1) 、 (A5,A2) 、 (A5,A3)共 7 种情况, 故从 5 人中选 2 人,选中的学生的数学成绩至少有一人的成绩不低于 95 分的概率 .

???????????? 4 分
(2)散点图如图所示.

???????????? 6 分
可求得: = (89+91+93+95+97)=93, = (87+89+89+92+93)=90,

=30,

=(﹣4) +(﹣2) +0 +2 +4 =40,

2

2

2

2

2

∴b=0.75, a=20.25, 故 y 关于 x 的线性回归方程是:

.

???????????? 10

分 (3)将 x=92 代入线性回归方程,可得 y=89.25 ? 89. 所以该学习小组中若有人数学成绩是 92 分,其物理成绩约为 89 分. 分 20.【解析】 (1)由已知得 2a= 2 3 .得 a= 3 ,又由椭圆过点 (1, 解得 b ?

???????????? 12

1 4 2 3 ) ,所以 ? 2 ? 1 , 3 3b 3

2,
; ???????????? 4 分
2 2

所以,椭圆方程为

(2)椭圆 C 的方程可化为 2x +3y =6.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 若点 P 在椭圆 C 上, 且 OA ? BP , 则有 OA ? OP ? OB, 即OP =OA+OB , 分 (ⅰ)当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=k(x﹣1) . 点P使 =
2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

???????????? 5

+

成立的充要条件是 P 点坐标为(x1+x2,y1+y2) ,
2

且 2(x1+x2) +3(y1+y2) =6, 2 2 2 2 整理得 2x1 +3y1 +2x2 +3y2 +4x1x2+6y1y2=6,

又 A、B 在椭圆 C 上,即 2x1 +3y1 =6,2x2 +3y2 =6, 故 2x1x2+3y1y2+3=0.① 2 2 将 y=k(x﹣1)代入 2x +3y =6,并化简得 2 2 2 2 (2+3k )x ﹣6k x+3k ﹣6=0, 于是 x1+x2= ,x1×x2= , ???????????? 8 分

2

2

2

2

y1×y2=k (x1﹣1) (x2﹣1)=
2

2



代入①解得 k =2, 因此,当 k=﹣ 时,l 的方程为 x+y﹣ =0; 当 k= 时,l 的方程为 x﹣y﹣ =0. ???????????? 10 分 (ⅱ)当 l 垂直于 x 轴时,由 C 上不存在点 P 使 = + + =(2,0)知,

成立. ???????????? 11 分

综上,l 的方程为 x±y﹣ =0. ???????????? 12 分 x 21.【解析】解: (Ⅰ)∵f′(x)=a﹣e ,x∈R. ???????????? 1 分 当 a≤0 时,f′(x)<0,f(x)在 R 上单调递减; ???????????? 3 分 当 a>0 时,令 f′(x)=0 得 x=lna. 由 f′(x)>0 得 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,lna) ; 由 f′(x)<0 得 f(x)的单调递减区间为(lna,+∞) . ???????????? 6 分 (Ⅱ)∵ ? x∈(0,+∞) ,使不等式 f(x) ? g(x)﹣e ,则 ax ?
x

ln x ln x 恒成立,即 a ? 2 恒 x x

成立. 设 h(x)=

ln x ln x ,则问题转化为 a ? ( 2 ) max , ???????????? 8 分 2 x x
,令 h′(x)=0,则 x= .

由 h′(x)=

当 x 在区间(0,+∞) 内变化时,h′(x) 、h(x)变化情况如下表:

由上表可知,当 x=

时,函数 h(x)有极大值,即最大值为

. ???????????? 10 分

a?


1 2e . ???????????? 12 分

22.【解析】 (1)证明:连接 DE ,因为四边形 ACDE 为圆的内接四边形,

BE DE ∴ ?BDE ? ?BCA , 又 ?DBE ? ?CBA , ∴ ?BDE ~ ?BCA ,∴ , ???????????? 5 ? BA CA
分 ∵ AB ? 2 AC ,∴ BE ? 2 DE ,又 CD 是 ?ACB 的平分线, ∴ AD ? DE ,∴ BE ? 2 AD . (2)由已知得 AB ? 2 AC ? 2 ,设 AD ? t ,由割线定理得

BD ? BA ? BE ? BC ? (2 ? t ) ? 2 ? 2t ? 2 ? t ?

2 2 即 AD ? . 3 3
,即

???????????? 10 分
, ???????????? 2 分

23.【解析】 (1)直线 l 的参数方程为

直线 l 的普通方程为: 3 x ? 3 y ? 3 ? 3 ? 0 , 所以极坐标方程为 2 ? cos(? ?

?
3

) ? 3 ?1 ? 0 .

???????????? 5 分
(2)圆 C 的参数方程 化为普通方程为 x +y =4,把直线
2 2

代入 x +y =4,可得 t1+t2= ?( 3 ? 1) ,t1×t2=﹣2, 则点 P 到 A,B 两点的距离之和 t1 ? t2 ? 分

2

2

,∴



(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 12 ? 2 3 .

???????????? 10

24.【解析】 (1)当 a ? 2 ,不等式 f ( x) ? 4 即为 3 x ? 1 ? 1 ? 2 x ? 2 x ? 1 ? 3 x ? 1 ? 1 ? 2 x , 所以 0 ? x ? (2)

2 ? ,即不等式的解集为 ? x | 0 ? x ? 5 ?

2? ?. 5?

???????????? 5 分

1, ? ?(a ? 3) x ? 2, x ? 3 f ( x) ? ? 1 ?(a ? 3) x ? 4, x ? 3 ?

当 a ? ?3 时, f ( x) 在 R 上递减,无最小值. 当 ? 3 ? a ? 3 时, f ( x) 在 (??, ) 单调递减,在 ( ,??) 递增,所以 f ( x) 在 x ? 小值. 当 a ? 3 时, f ( x) 在 R 上递增,无最小值.

1 3

1 3

1 处取得最 3

综上: ? 3 ? a ? 3 .

文数典题透析 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x)=ax﹣e (a∈R) ,g(x)= (Ⅰ)求函数 f (x)的单调区间; (Ⅱ) ? x∈(0,+∞) ,使不等式 f (x) ? g(x)﹣e 恒成立,求 a 的取值范围.
x x



透析如下:研究函数的单调性时,先求其导数,通过导函数的符号判断其在相应区间上的单 调性,本题涉及到了含参问题的讨论,函数中有参数,求其导数时也有参数,所以参数直接 影响到了原函数的单调性,另外,此题还涉及到了不等式的恒成立问题,一般处理的方法是 独立参数,转化为求相应函数的最值,进而求出参数的范围,这类问题在高考中经常出现, 所以学习过程中,要多加注意。 x 附答案: (Ⅰ)∵f′(x)=a﹣e ,x∈R. ???????????? 1 分 当 a≤0 时,f′(x)<0,f(x)在 R 上单调递减; ???????????? 3 分 当 a>0 时,令 f′(x)=0 得 x=lna. 由 f′(x)>0 得 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,lna) ; 由 f′(x)<0 得 f(x)的单调递减区间为(lna,+∞) . ???????????? 6 分 (Ⅱ)∵ ? x∈(0,+∞) ,使不等式 f(x) ? g(x)﹣e ,则 ax ?
x

ln x ln x 恒成立,即 a ? 2 恒 x x

成立. 设 h(x)=

ln x ln x ,则问题转化为 a ? ( 2 ) max , ???????????? 8 分 2 x x
,令 h′(x)=0,则 x= .

由 h′(x)=

当 x 在区间(0,+∞) 内变化时,h′(x) 、h(x)变化情况如下表:

由上表可知,当 x=

时,函数 h(x)有极大值,即最大值为

. ???????????? 10 分

a?


1 2e . ???????????? 12 分


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