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等差数列的前n项和优质课比赛课件 11111


2.3 等差数列的 前n项和

高斯(Gauss,1777—1855), 德国著名数学家,他研究的内 容涉及数学的各个领域,是历 史上最伟大的数学家之一,被 誉为“数学王子”.

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创设情景
有一次,老师与高斯去买铅笔,在商店发 现了一个堆放铅笔的V形架, V形架的最下面一

层放 一支铅笔,往上每一层 都比它下面一层多放一 支,最上面一层放100支. 老师问:高斯,你知道这 个V形架上共放着多少支铅笔吗? 问题就是: 计算1+ 2+ 3 +… + 99 + 100
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高斯的算法
计算: 1+ 2+ 3 +… + 99 + 100 高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为50组: 中间的一 第一个数与最后一个数一组; 组数是什 首尾 么呢? 第二个数与倒数第二个数一组; 配对 第三个数与倒数第三个数一组,…… 相加 法 每组数的和均相等,都等于101,50个 101 就等于 5050 了。高斯算法将加法问题 转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.
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创设情景

平行四 三角形 边形

若V形架的的最下面一层放一支铅笔,往上每 一层都比它下面一层 多放一支,最上面 一层有很多支铅笔, 老师说有n支。问: 这个V形架上共放 着多少支铅笔? 问题就是: 1+ 2+ 3 +… + (n-1) + n 若用首尾配对相加法,需要分类讨论.
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倒序相加法
计算: 1 ?
分析:这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项 和.

2

?

3 ? ?? (n ?1) ? n ①
2 +1 ②

n + (n-1) + (n-2) +…+

2 ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ?1) ? n? ? n ? (n ? 1)
n ? (n ? 1) ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2

那么,对一般的等差数列,如何求它的 项和呢? 前n项和
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如何才能将 等式的右边 已知等差数列{ an }的首项为a1,项数 化简?

问题分析

是n,第n项为an,求前n项和Sn .

? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an Sn ? an ? a n?1 ?an?2 ? ?? a1

① ②

?2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? a n?1 ? ? ? a3 ? an?2 ? ? ?? ? an ? a1 ?

又? a1 ? an ? a2 ? a n?1 ? a3 ? an?2 ? ? ? an ? a1
n(a1 ? an ) ?2Sn ? n(a1 ? an ) 即S n ? 2
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倒序相加法 已知等差数列{ an }的首项为a1,项数 是n,第n项为an,求前n项和Sn .
? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an
? a1 ? ? a1 ? d ? ? ? a1 ? 2d ? ? ? ? ? ? a1 ? ? n ? 1? d ? ?
又? Sn ? an ? a n?1 ?an?2 ? ?? a1



?2Sn ? ? a1 ? an ?+? a1 ? an ?+? a1 ? an ?+… + ? a1 ? an ? n(a1 ? an ) ? 2Sn ? n(a1 ? an ), 即Sn ? 2 上页 下页

各项组成新 ? an ? ? an ? d ? ? ? an ? 2d ? ? ? ? ? ? ? n ? 1? d ? ② ? an 的等差数列 ?

求和公式

等差数列的前n项和的公式: n(a1 ? an ) Sn ? 不含d 2
思考:(1)公式的文字语言; (2)公式的特点;

可知三 求一

由于an ? a1 ? ? n ?1? d , 故

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2
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公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.

a1 n an

n(a1 ? an ) Sn ? 2

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公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.

a1 n a1 an (n-1)d

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.
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公式应用
根据下列各题中的条件,求相应的 等差数列{an}的Sn : 500 (1)a1=5,an=95,n=10 (2)a1=100,d=-2,n=50 2550 n(a1 ? an ) 10 ? (5 ? 95) ? 500 解: ? ?1? Sn ? 2 2 n(n ? 1) 解: d ? 2 ? Sn ? na1 ? 2 50 ? (50 ? 1) ? 50 ? 100 ? ? ? -2? ? 2550 2 上页 下页

例题讲解
例1、计算 提示: (1) 5+6+7+…+79+80 3230 n=76 (2) 1+3+5+?+(2n-1) n2 法二: (3)1-2+3-4+5-6+?+(2n-1)-2n -n
1 ? 3 ? 5 ? …+ ? 2n ?1? ? ?2? 解: 2 n ? 2n 2 ? ?n 2 1? 3 ? 5 ? …+ ? 2n ?1? ? ? 2+4+6+…+2n? ?3? 解:原式= n? 1 ? ? 2n ? 1?? n ? 2 ? 2n ? ? ? 2 ? ? ? n ? n ? n ?1? ? ?n 2 2
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n? ?1 ? ? 2n ? 1? ? ?

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例题讲解
例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在 中小学实施“校校通”工程的通知》,某市据此提出 了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年 的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测 算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万 元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金 都比上一年增加50万元。那么,从2001年起的未来10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 解:由题意,该市在“校校通”工程中每年投入 分析:①找关键句;②求什么,如何求; 的资金构成等差数列{an},且a1=500,d=50,n=10. 故,该市在未来10年内的总投入为:
10 ? ?10 ? 1? S10 ? 10 ? 500 ? ? 50 ? 7250 ?万元? 2



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变式练习
一个屋顶的某一斜面成等腰梯形,最 上面一层铺瓦片21块,往下每一层多铺1 块,斜面上铺了19层,共铺瓦片多少块?
解:由题意,该屋顶斜面每层所铺的瓦 片数构成等差数列{an},且a1=21,d=1, n=19. 于是,屋顶斜面共铺瓦片:
19 ? ?19 ? 1? S19 ? 19 ? 21 ? ?1 ? 570 ? 块 ? 2

答:屋顶斜面共铺瓦片570块.
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例题讲解
例3、已知一个等差数列的前10项的和是 310,前20项的和是1220,由此可以确定 求其前n项和的公式吗?
解:由于S10=310,S20=1220,将它们代 入公式 n(n ? 1) 可得 所以

2 ?a1 ? 4 ? 10a1 ? 45d ? 310 于是, ? ? d ?6 ? 20 a ? 190 d ? 1220 ? 1 n(n ? 1) 2 Sn ? n ? 4 ? ? 6=3n ? n 2

Sn ? na1 ?

d

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例题讲解
例3、已知一个等差数列的前10项的和是 310,前20项的和是1220,由此可以确定 求其前n项和的公式吗?

10( a ? a ) 1 10 另解: S10 ? ? 310 ? a1 ? a10 ? 62 ① 2 20(a1 ? a20 ) S 20 ? ? 1220 ? a1 ? a20 ? 122② 2

两式相减得

?d ? 6

a20 ? a10 ? 60 ?10d ? 60

( n n ?1 ) S n ? a1n ? d ? 3n 2 ? n 2

a1 ? 4

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课堂练习
练习1、 在等差数列?an ?中, 仍是 知三 求一

a1 ? 20, an ? 54, Sn ? 999, 求n. n ? 20+54 ? 答案: 27 提示: 999 ?
2

练习2、等差数列-10,-6,-2,2, …的前______项的和为54?
提示: ? d ? 4,? 54 ? ?10n ?

答案: n=9,或n=-3(舍去) n ? n ? 1?
2 ?4
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课堂小结
(两个) 1.等差数列前n项和的公式;

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

2.等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法;

3.公式的应用(知三求一);
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课后作业

? 教材P46 A组2、5 ? 到网上查找有关数学家高斯的故事,你 能从这些故事中得到什么启示呢? ? 到网上查找等差数列前n项和公式的应用, “发现”生活中的数学。 ? 推荐网址: http://www.cas.cn/html/Dir/2001/11/23/436 2.htm中国科学院网站 http://news.juren.com/200711/20531.html 巨人奥数网
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趣味数学

在右图中,每个最小 的等边三角形的面积是 12厘米2,边长是1根火 柴棍。问:(1)最大 三角形的面积是多少平 方厘米?(2)整个图 形由多少根火柴棍摆成?

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真诚地感谢各位老师、 各位评委的到来!
2009-10-20

E-mail: xiaojun2008@yeah.net


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