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第52届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试试题


1

6

A L TEX

52

2011
1. TA △ABC BC T TB . TC TA BC > CA > AB

3

16

8 : 00 ? 12 : 30
T TA TB TC

TB

TC

2.

S mi di

n i = 1, 2, · · · , k
k

{d1 , d2 , · · · , dk } P Q = di m2 i
i=1

S {P, Q} ? S

n3 ? n2

3.

n

n n 10k > n 1010

k = 1, 2, · · · , 9 n

{x}

x

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52

2

6

A L TEX

52

2011
4. A B 1 A O1 O2 BP P

3

17

8 : 00 ? 12 : 30
O1 O2

O1 O2 A

C

AP ⊥P C

B P

O1

C

O2

1

5.

n

α ( n) n 22n?α(n)

1
n

:
n+k 2r C2 n k k =? n

r

6.

n ai + aj 0

2 i j n

a0 , a1 , · · · , an

0 = a0 < a1 < · · · < an = 2 n ? 1

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52

3

6

A L TEX

52

2011
1. n 2

3

21

8 : 00 ? 12 : 30
x y

f :R→R

f (x ? f (y )) = f (x + y n ) + f (f (y ) + y n ) . 2. l m n m n {1, 2, · · · , l } m+n

A1 , A2 , · · · , Am 1 m n A B } n i m 1 j n Ai △Bj

B1 , B2 , · · · , Bn {1, 2, · · · , l }

. A△B = {x|x 3. d

d (n!) ? 1

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4

6

A L TEX

52

2011
4. P BC Z 2 AA′ CA AB C′ F △ABC A BB ′ CC ′

3

22
△ABC

8 : 00 ? 12 : 30
P X A′ D △ABC Y B′ E

D

E

F

△XY Z

C′ E F X P Y B Z A′ D

B′

C

2

5.

{bn } (n

1) a 1 ∈ N+ 3 q u l v 2 q

{an } (n an+1 = (an ) m m?1 n

1)
bn

+1

n

1 n = 1, 2, 3, · · ·

{an (mod m)}

{bv+ut (mod q ) t = 1, 2, · · · N {xn } (n 1)

. N =1 6. n

N

xn = xn+l

λ 1 2n
2n 2n

(xi + 2)n
i=1 i=1

xi

x1 , x2 , · · · , x2n 1 2n
2n 2n

(xi + 1)n
i=1

λ
i=1

xi .

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5

6

A L TEX

52

2011
1. y1 , y2 , · · · , yn
n

3
M

27

8 : 00 ? 12 : 30
x1, x2 , · · · , xn

n

3

y2 i=1 i+1 yn+1 = y1 2. n>1 G 1 . vi G vi+1 u v yn+2 = y2 k n 3 n2 n

2 yi 2 ? yi+1 yi+2 + yi +2

M

a 2 G 3 k

1<a<

n +1 k

n a2 ? a

3.

4n G u = v0 v1 ··· 7 2 3 n ? n 2 2 vk = v

i = 0, 1, · · · , k ? 1

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6

6

A L TEX

52

2011
4. ? AB J 3 H K △KM J △ABC KM

3

28
P P

8 : 00 ? 12 : 30
? BC △ABC QP PH BC ? AC KQ M BC

K A M

H B C

J

Q

P

3

5.

a1 , a2 , · · · ( A0 , A1 , · · · , An ) OA0 , OA1 , · · · , OAn 1 2 (A0 , A1 , · · · , An ) (A0 , · · · , Ai , A, Ai+1 , · · · , An ) Ai Ai+1 A O

i Ai

(ai , ai+1 )

3 i 4

6.

△OAi Ai+1 (0

i

n ? 1)

OA = OAi + OAi+1

(A0 , A1 , · · · , An ) (B0 , A1 , · · · , Bm )

A0 = B0

An = Bm

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