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直线与圆知识点总结


直线和圆知识点总结 直线和圆知识点总结
直线的倾斜角: 定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l , 1、直线的倾斜角 (1)定义 定义 如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向转 逆时针方向转到和直线 l 重合 最小正角记为 α , 那么 α 就叫 逆时针方向转 直线 重合时所转的最小正角 最小正角 做直线的倾斜角。 当直线 l 与 x 轴重合或平行时, 规定倾斜角为 0; 倾斜角的范围 [0, π ) 。 (2) 如(1)直线 x cosθ + 3 y ? 2 = 0 的倾斜角的范围是____(答: [0, ] U [ 过点 P ( ? 3 ,1), Q (0, m) 的直线的倾斜角的范围 α ∈ [

π

π 2π
3 , 3

6

5π ,π ) )(2) ; 6

], 那么m 值的范围是______

(答: m ≤ ?2或m ≥ 4 ) 直线的斜率: 定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线 2、直线的斜率 (1)定义 定义 的斜率 k ,即 k =tan α ( α ≠90°);倾斜角为 90°的直线没有斜率; (2)斜率公式 斜率公式:经过 斜率公式 两点 P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率为 k = 1

y1 ? y 2 (x1 ≠ x2 ) ; 直线的方向向量 (3)直线的方向向量 x1 ? x 2 r 直线的方向向量与直线的斜率有何关系? 4) ( 应用 证明三点共线: k AB = k BC 。 应用: a = (1, k ) ,
y 的最大值、 最小值分别为______ (答: x

(答: 既不充分也不必要) ; 如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件 实数 x, y 满足 3 x ? 2 y ? 5 = 0 ( 1 ≤ x ≤ 3 ), 则 ( 2)

2 , ?1 ) 3
( 3 、 直 线 的 方 程 : 1 ) 点 斜 式 :已 知 直 线 过 点 ( x0 , y0 ) 斜 率 为 k , 则 直 线 方 程 为

y ? y0 = k ( x ? x0 ) ,它不包括垂直于 x 轴的直线。 2) ( 斜截式 已知直线在 y 轴上的截距为 b 斜截式: 和斜率 k ,则直线方程为 y = kx + b ,它不包括垂直于 x 轴的直线。 3)两点式 ( 两点式 两点式:已知直线经 y ? y1 x ? x1 过 P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 两点,则直线方程为 ,它不包括垂直于坐标轴 = 1 y 2 ? y1 x 2 ? x1
的直线。 4)截距式 ( 截距式 截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a, b ,则直线方程为

x y + = 1 ,它 a b

不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 5)一般式:任何直线均可写成 (

v Ax + By + C = 0 (A,B 不同时为 0)的形式。 (1) 经过点 2, ) ( 1 且方向向量为 v =(-1, 3 ) 如

的 直 线 的 点 斜 式 方 程 是 ___________ ( 答 : y ? 1 = ? 3( x ? 2) );( 2 ) 直 线 ( (m + 2) x ? (2m ? 1) y ? (3m ? 4) = 0 ,不管 m 怎样变化恒过点______(答: (?1, ?2) )(3) ; 若曲线 y = a | x | 与 y = x + a (a > 0) 有两个公共点, a 的取值范围是_______ 则 (答:a > 1 ) 提醒:(1) (1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还 提醒 (1) 有截距式呢?) (2) ;(2) (2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等 ? 直线 的斜率为-1 或直线过原点;直线两截距互为相反数 ? 直线的斜率为 1 或直线过原点;直线 两截距绝对值相等 ? 直线的斜率为 ±1 或直线过原点。如过点 A(1, 4) ,且纵横截距的绝对 如 值相等的直线共有___条(答:3) 4.设直线方程的一些常用技巧 设直线方程的一些常用技巧: ( 4.设直线方程的一些常用技巧 (1)知直线纵截距 b ,常设其方程为 y = kx + b ; 2) 知直线横截距 x0 ,常设其方程为 x = my + x0 (它不适用于斜率为 0 的直线); 3)知直线过 ( 点 ( x0 , y0 ) ,当斜率 k 存在时,常设其方程为 y = k ( x ? x0 ) + y0 ,当斜率 k 不存在时,则其 方程为 x = x0 ; 4)与直线 l : Ax + By + C = 0 平行的直线可表示为 Ax + By + C1 = 0 ; 5) ( ( 与直线 l : Ax + By + C = 0 垂直的直线可表示为 Bx ? Ay + C1 = 0 . 提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解。 提醒

5、点到直线的距离及两平行直线间的距离: 点到直线的距离及两平行直线间的距离 (1)点 P ( x0 , y0 ) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离 d =

Ax0 + By0 + C A2 + B 2



(2)两平行线 l1 : Ax + By + C1 = 0, l2 : Ax + By + C2 = 0 间的距离为 d = 的位置关系: 6、直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 与直线 l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 的位置关系 (2)相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ≠ 0 ; (3)重合 ? A1 B2 ? A2 B1 = 0 且 B1C2 ? B2C1 = 0 。 提醒: 提醒 (1)

C1 ? C2 A2 + B 2



(1)平行 ? A1 B2 ? A2 B1 = 0 (斜率)且 B1C2 ? B2C1 ≠ 0 (在 y 轴上截距) ;

A1 B1 C1 A B A B C = ≠ 、 1 ≠ 1 、 1 = 1 = 1 仅是两直线平行、相交、重 A2 B2 C2 A2 B2 A2 B2 C2

合的充分不必要条件!为什么?(2)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能 ( 这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线; 3 ) 直线 ( l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 与直线 l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 垂直 ? A1 A2 + B1 B2 = 0 。如(1) 设 如 直线 l1 : x + my + 6 = 0 和 l2 : ( m ? 2) x + 3 y + 2m = 0 ,当 m =_______时 l1 ∥ l2 ;当 m = ________时 l1 ⊥ l2 ;当 m _________时 l1 与 l2 相交;当 m =_________时 l1 与 l2 重合(答:-

1 ; m ≠ 3且m ≠ ?1 ;3)(2)已知直线 l 的方程为 3 x + 4 y ? 12 = 0 ,则与 l 平行,且 ; 2 过点(—1,3)的直线方程是______(答: 3 x + 4 y ? 9 = 0 )(3)两条直线 ax + y ? 4 = 0 ; 与 x ? y ? 2 = 0 相交于第一象限,则实数 a 的取值范围是____(答: ?1 < a < 2 )(4)设 ; a, b, c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 sin A x + ay + c = 0 与 bx ? sin B y + sin C = 0 的位置关系是____(答:垂直) ( 5 ) 已知点 P ( x1 , y1 ) 是直线 ; 1
1;

l : f ( x, y ) = 0 上一点,P2 ( x2 , y2 ) 是直线 l 外一点, 则方程 f ( x, y ) + f ( x1 , y1 ) + f ( x2 , y2 ) = 0 所表示的直线与 l 的关系是____(答:平行)(6)直线 l 过点(1,0) ; ,且被两平行直 线 3 x + y ? 6 = 0 和 3 x + y + 3 = 0 所截得的线段长为 9,则直线 l 的方程是________(答: 4 x + 3 y ? 4 = 0和x = 1 ) 到角和夹角公式: 7、 到角和夹角公式 (1)l1 到 l2 的角是指直线 l1 绕着交点按逆时针方向转到和直线 l2 重

k 2 ? k1 ( k1k2 ≠ ?1 ); (2) l1 与 l2 的夹角是指不大于直 1 + k1 k 2 k ? k1 π 角的角 θ , θ ∈ (0, ] 且 tan θ =︱ 2 ︱( k1k2 ≠ ?1 )。提醒 提醒:解析几何中角的问题常用到 提醒 2 1 + k1 k 2 角公式或向量知识求解。如已知点 M 是直线 2 x ? y ? 4 = 0 与 x 轴的交点,把直线 l 绕点 M 如 逆时针方向旋转 45°,得到的直线方程是______(答: 3 x + y ? 6 = 0 ) 对称(中心对称和轴对称)问题——代入法 如(1)已知点 M ( a, b) 与点 N 关于 x 问题——代入法:如 8、对称 问题——代入法 轴对称,点 P 与点 N 关于 y 轴对称,点 Q 与点 P 关于直线 x + y = 0 对称,则点 Q 的坐标 为_______(答: (b, a ) )(2)已知直线 l1 与 l2 的夹角平分线为 y = x ,若 l1 的方程为 ; ax + by + c = 0(ab > 0) ,那么 l2 的方程是___________(答: bx + ay + c = 0 )(3)点A ; (4,5)关于直线 l 的对称点为B(-2,7),则 l 的方程是_________(答: y=3x+3 )(4) ; 已知一束光线通过点A (-3, , 5) 经直线 l :3x-4y+4=0 反射。 如果反射光线通过点B (2, 15) ,则反射光线所在直线的方程是_________(答: 18x+y ? 51 = 0 )(5)已知ΔABC ;
合所转的角 θ , θ ∈ (0, π ) 且 tan θ = 顶点 A(3,-1),AB边上的中线所在直线的方程为 6x+10y-59=0,∠B 的平分线所在的

方程为 x-4y+10=0,求BC边所在的直线方程(答: 2x + 9 y ? 65 = 0 )(6)直线 2x―y― ; 4=0 上有一点P,它与两定点A(4,-1) 、B(3,4)的距离之差最大,则P的坐标是______ (答: (5,6); 7)已知 A ∈ x 轴, B ∈ l : y = x ,C(2,1) ABC 周长的最小值为______ )( , (答: 10 ) 提醒 。提醒 提醒:在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。 简单的线性规划: 9、简单的线性规划 (1) 二元一次不等式表示的平面区域: ①法一: 先把二元一次不等式改写成 y > kx + b 或 y < kx + b 的形式,前者表示直线的上方区域,后者表示直线的下方区域;法二:用特殊 点判断;②无等号时用虚线表示不包含直线 l ,有等号时用实线表示包含直线 l ;③设点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,若 Ax1 + By1 + C 与 Ax2 + By2 + C 同号,则 P,Q 在直线 l 的同侧, 异号则在直线 l 的异侧。如已知点 A(—2,4) ,B(4,2) ,且直线 l : y = kx ? 2 与线段 AB 如 恒相交,则 k 的取值范围是__________(答: (-∞,-3] U [1,+∞ ) ) (2)线性规划问题中的有关概念: ①满足关于 x, y 的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。 ②关于变量 x, y 的解析式叫目标函数,关于变量 x, y 一次式的目标函数叫线性目标函 数; ③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,称为线性规划问题; ④满足线性约束条件的解( x, y )叫可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域; ⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解; (3)求解线性规划问题的步骤是什么?①根据实际问题的约束条件列出不等式;②作 出可行域,写出目标函数;③确定目标函数的最优位置,从而获得最优解。如(1)线性目 如 标函数 z=2x-y 在线性约束条件

{|| xy ||≤ 11 ≤

下,取最小值的最优解是____(答: (-1,1); 2) )(

2 )(3) ; 3 (答: ; 4) 8) 不等式 | x ? 1 | + | y ? 1 |≤ 2 表示的平面区域的面积是_________ ( 如果实数 x, y
点(-2, t )在直线 2x-3y+6=0 的上方,则 t 的取值范围是_________(答: t > 满足 ? x + y ? 4 ≥ 0 ,则 z =| x + 2 y ? 4 | 的最大值_________(答:21)

?x ? y + 2 ≥ 0 ?

?2 x ? y ? 5 ≤ 0 ?

(4)在求解线性规划问题时要注意 在求解线性规划问题时要注意:①将目标函数改成斜截式方程;②寻找最优解时 在求解线性规划问题时要注意 注意作图规范。 10、圆的方程: 10、圆的方程 ⑴圆的标准方程: ( x ? a ) + ( y ? b ) = r 。
2 2 2 2 2 2 2 特别提醒:只有当 ⑵圆的一般方程: x + y + Dx + Ey + F = 0(D +E -4F > 0) ,特别提醒 特别提醒

D 2+E 2-4F > 0 时,方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 才表示圆心为 (?

D E , ? ) ,半径为 2 2

1 D 2 + E 2 ? 4 F 的圆(二元二次方程 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的充要 2 2 2 条件是什么? ( A = C ≠ 0, 且 B = 0 且 D + E ? 4 AF > 0 ); ) x = a + r cos θ ( θ 为参数) ⑶圆的参数方程: ,其中圆心为 (a, b) ,半径为 r 。圆的参 y = b + r sin θ
数方程的主要应用是三角换元: x 2 + y 2 = r 2 → x = r cos θ , y = r sin θ ; x 2 + y 2 ≤ t

{

→ x = r cos θ , y = r sin θ (0 ≤ r ≤ t ) 。

⑷ A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 为直径端点的圆方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) = 0

2 2 则圆 C 的方程为____________ (答: ( 圆 如 1) C 与圆 ( x ? 1) + y = 1 关于直线 y = ? x 对称,

x 2 + ( y + 1) 2 = 1 )(2)圆心在直线 2 x ? y = 3 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 ;
; ( 已知 P ( ?1, 3) 是 __________ (答:( x ? 3) 2 + ( y ? 3) 2 = 9 或 ( x ? 1) 2 + ( y + 1) 2 = 1 ) 3) 圆

θ 值 为 _______ , 过 P 点 的 圆 的 切 线 方 程 是 ___________ ( 答 : x 2 + y 2=4 ;


2π ; 3 x ? 3 y + 4 = 0 )(4)如果直线 l 将圆:x2+y2-2x-4y=0 平分,且不过第四象限,那么 l 的 ; 1 x = 3cos θ ( θ 为参数,0 < θ < π )} , )(6)若 M = {( x, y ) | ; y = 3sin θ 2 N = {( x, y ) | y = x + b} ,若 M I N ≠ φ ,则 b 的取值范围是_________(答: -3,3 2 ? ) ?

{xy = rr cosθθ = sin

( θ 为参数, 0 ≤ θ < 2π ) 上的点,则圆的普通方程为________,P 点对应的

斜率的取值范围是____(答:[0,2])(5)方程 x2+y -x+y+k=0 表示一个圆,则实数 k 的 ; 取值范围为____(答:k <

{

(

11、 点与圆的位置关系 已知点 M ( x0 , y0 ) 及圆 C:x-a ) + ( y ? b ) = r 11、 点与圆的位置关系: 关系 (
2 2 2 2 2

2

(1) ( r > 0) ,

(2)点 M 在圆 C 内 ? 点 M 在圆 C 外 ? CM > r ? ( x0 ? a ) + ( y0 ? b ) > r ;

CM < r ? ( x0 ? a ) + ( y0 ? b ) < r 2 ; (3)点 M 在圆 C 上 ? CM = r ? ( x0 ? a )
2 2 2

2

+ ( y0 ? b ) = r 2 。 点 P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1 的内部,则 a 的取值范围是______ 答: ( 如 | a |< 1 ) 13
2 2 2

(1)代数方法(判断直线 ( r > 0 ) 有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断: 与圆方程联立所得方程组的解的情况) ? > 0 ? 相交; ? < 0 ? 相离; ? = 0 ? 相切; : (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小) :设圆心到直线的距离为 d ,则 d < r ? 相交; d > r ? 相离; d = r ? 相切。提醒 提醒:判断直线与圆的位置关系一般用几 提醒

12、直线与圆的位置关系 12、直线与圆的位置关系:直线 l : Ax + By + C = 0 和圆 C:x ? a ) + ( y ? b ) = r (

+ kπ , ∈ z ) k 2 的位置关系为____(答:相离) (2)若直线 ax + by ? 3 = 0 与圆 x 2 + y 2 + 4 x ? 1 = 0 切于 ;
2 2 点 P ( ?1, 2) , ab 的值____ 则 (答: ; 3) 2) ( 直线 x + 2 y = 0 被曲线 x + y ? 6 x ? 2 y ?15 = 0

何方法较简捷。 (1) 2 x 2 + 2 y 2 = 1 与直线 x sin θ + y ? 1 = 0(θ ∈ R, θ ≠ 如 圆

π

所截得的弦长等于 (答: 4 5 ) ( 4) 一束光线从点 A(-1,1)出发经 x 轴反射到圆 ; 2 2 C:(x-2) +(y-3) =1 上 的 最 短 路 程 是 ( 答 : 4 ) ( 5 ) 已 知 M ( a, b)( ab ≠ 0) 是 圆 ;

O : x 2 + y 2 = r 2 内一点,现有以 M 为中点的弦所在直线 m 和直线 l : ax + by = r 2 ,则 A. m // l ,且 l 与圆相交 B. l ⊥ m ,且 l 与圆相交 C. m // l ,且 l 与圆相离 2 D . l ⊥ m , 且 l 与 圆 相 离 ( 答 : C ) ( 6 ) 已 知 圆 C : x + ( y ? 1) 2 = 5 , 直 线 L: ; mx ? y + 1 ? m = 0 。①求证:对 m ∈ R ,直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点;②设 L 与圆
C 交于 A、B 两点,若 AB = 17 ,求 L 的倾斜角;③求直线 L 中,截圆所得的弦最长及 最短时的直线方程. (答:② 60 或 120 ③最长: y = 1 ,最短: x = 1 ) 13、圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断) :已知两圆的圆心分 13、圆与圆的位置关系 别为 O1,O 2 , 半径分别为 r1 , r2 , (1) |O1O 2 |> r1 + r2 时, 则 当 两圆外离; 2) |O1O 2 |= r1 + r2 ( 当
o o

时,两圆外切; (3)当 r1 ? r2 <|O1O 2 |< r1 + r2 时,两圆相交; (4)当 |O1O 2 |=| r1 ? r2 | 时,两 圆内切; (5)当 0 ≤ |O1O 2 |<| r1 ? r2 | 时,两圆内含。如双曲线 如

x2 y2 ? = 1 的左焦点为 F1, a2 b2

顶点为 A1、A2,P 是双曲线右支上任意一点,则分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆位置

关系为 (答:内切) 14、圆的切线与弦长: 14、圆的切线与弦长 圆的切线方程是: xx0 + yy0 = R 2 ,过圆 (1)切线:①过圆 x 2 + y 2 = R 2 上一点 P( x0 , y0 ) 圆的切线方程 过圆

( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = R 2






2

P( x0 , y0 )







线









( x ? a )( x0 ? a ) + ( y ? a )( y0 ? a ) = R ,一般地,如何求圆的切线方程?(抓住圆心到直线的
距离等于半径) ;②从圆外一点引圆的切线一定有两条 圆外一点引圆的切线一定有两条 圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条 件,运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求;③过两切点的直线(即“切点 弦” )方程的求法:先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与已知圆的公共弦 就 是 过 两 切 点 的 直 线 方 程 ; ③ 切 线 长 : 过 圆 x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2

( ( x ? a) 2 + ( y ? b) 2 = R 2 ) 外 一 点 P( x0 , y0 ) 所 引 圆 的 切 线 的 长 为

x0 2 + y0 2 + Dx0 + Ey0 + F ( ( x0 ? a)2 + ( y0 ? b) 2 ? R 2 ) 如设 A 为圆 (x ?1)2 + y2 =1上动 ;如
点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程为__________(答: ( x ? 1) 2 + y 2 = 2 ) ; (2)弦长问题 弦长问题:①圆的弦长的计算: (垂径定理)常用弦心距 d ,半弦长 弦长问题
2 2

1 a 及圆的半 2

径 r 所构成的直角三角形来解:r = d + ( a ) ; ②过两圆 C1 : f ( x, y ) = 0 、C2 : g ( x, y ) = 0
2

交点的圆(公共弦)系为 f ( x, y ) + λ g ( x, y ) = 0 ,当 λ = ?1 时,方程 f ( x, y ) + λ g ( x, y ) = 0 为两 圆公共弦所在直线方程.。 5.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用 平面几何性质的作用(如半径、半弦 15. 平面几何性质的作用 长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!

1 2


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