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棱柱、棱锥和棱台结构特征(第一课时)


1.1.2 棱柱、棱锥和棱台 结构特征
第一课时

一、多面体:由若干个平面多边形围成的
几何体称为多面体。
多面体的面——各多边形 多面体的棱——两个面的公共边 多面体的顶点——棱与棱的公共点

多面体的对角线——连结不在同一面上的两个顶点的线段

食盐

明矾

/>
石膏

(1)凸多面体:
把多面体的任何一个面伸展为平面,如 果所有其他各面都在这个平面的同侧,这样 的多面体叫做凸多面体。
V

C D α E A B

问:以上多面体,哪个为凸多面体?

(2)多面体分类:
按多面体面数分类有四面体、五面体、 六面体等。

有没有三面体?

二、棱柱:
观察下列几何体并思考:具备哪些性质 的几何体叫做棱柱?
D1 A1 D A B B1 C A C1 A1 C B C1 A1 B1 B1 E E1 C1 D B C

D1

A

①有两个面互相平行; ②其余每相邻两个面的交线互相平行。

(1)棱柱的定义:
一个多面体有两个面 互相平行 ,其余 每相邻两个面的交线 互相平行 ,这样的多 面体叫做棱柱。

问题1:观察下面的几何体,哪些是棱柱?

(1) (2) (3) (4)

(5)

(6)

(7)

(1)、(3)、(5)是棱柱,(2)、(4)、(6)、(7)不是棱柱。

问题2:用过BC的平面去截如图的棱柱,所 得的多面体是否还是棱柱?
D1 F1 C1 D1

D

C F1

A1 D
A

E1

B1 C A

B E1

B

A1

问题3:有两个面互相平行, 其余各面都是四边形的几何体是 棱柱吗?
答:不一定是。 如右图所示,不是棱柱。

问题4:有两个面互相平行, 其余各面都是平行四边形的几何 体是棱柱吗?
答:不一定是。 如右图所示,不是棱柱。

(2)棱柱的基本概念:
E’ 不在同一个 面上的两个顶点 其余各面叫做 两个侧面的 的连线叫做棱柱 棱柱的侧面 公共边叫做 的对角线 棱柱的侧棱


D’ C’ 两个互相 平行的面 叫做棱柱 的底

A’
B’

E A B C D



顶点

底面

侧棱

侧面


对角线

(3)棱柱的表示法:
1.用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,

如图:记作棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1
2.用表示一条对角线端点的两个字母表示,

如图:记作棱柱A C1
A1 B1 E1 D1 C1

E
A B C D

(4)棱柱的分类:

按侧棱与底面是否垂直分类:
1.侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱
E’ A’ C’ B’ D’

E

A
B C

D

2.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱

3.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱

按底面多边形的边数分类:
棱柱的底面可以是三角形、四边形、 五边形、…… 把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱 柱、五棱柱、……

三棱柱

四棱柱

五棱柱

正方体 (4)棱柱的分类: 是哪一 根据底面边数分为: 类棱柱 ? 三棱柱、四棱柱、五棱柱等 根据侧棱与底面是否垂直分为: 正四棱柱就 是正方体, 斜棱柱 对吗?

{

直棱柱(正棱柱)

问题1:斜棱柱、直棱柱和正棱柱的 底面、侧面各有什么特点?

1. 斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。 正棱柱的底面为正多边形。 2. 斜棱柱的侧面为平行四边形。直棱柱的 侧面为矩形。正棱柱的各个侧面为全等的 矩形。

问题2:棱柱集合、斜棱柱集合、直 棱柱集合、正棱柱集合之间存在怎样 的包含关系?
棱柱集合 斜棱柱集合 正棱柱集合 直棱柱集合

4.特殊的四棱柱:
(1)底面是平行 四边形的棱柱叫做 平行六面体; (2)侧棱与底面 垂直的平行六面体 叫做直平行六面体;

(3)底面是矩形 的直平行六面体叫 做长方体; (4)棱长都相等 的长方体叫做正方 体.

几种四棱柱(六面体)的关系:
底面是 平行四边形 侧棱与底面 垂直

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

底面是 矩形

底面为
正方形

侧棱与底面 边长相等

长方体

正四棱柱

正方体

1.在棱柱中



D )

A.只有两个面平行 B.所有棱都相等 C.所有的面均是平行四边形 D.两底面平行,且各侧棱相等

2.一个棱柱成为正四棱柱的条件是( D )

A.底面是正方形,有两个侧面是矩形的四棱柱
B.底面是正方形,有两个侧面垂直底面的四棱柱 C.每个侧面都是全等的矩形的四棱柱 D.底面是正方形,相邻两个侧面是矩形的四棱柱

3.正确的是



A )

A.侧棱不垂直于底面的棱柱不是正棱柱
B.斜棱柱的侧棱有时垂直底面

C.底面是正多边形的棱柱为正棱柱
D.正棱柱的高可以与侧棱不相等

4.下列命题中正确的是( D ) A、有两个面平行,其余各面都是四边 形的几何体叫棱柱。 B、有两个面平行,其余各面都是平行 四边形的几何体叫棱柱。 C、有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱。 D、有两个相邻侧面垂直于底面的棱柱 是直棱柱。

5.下列命题之中的假命题是( B ) A、直棱柱的侧棱是直棱柱的高。 B、有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱。

C、直棱柱的侧面是矩形。
D、有一条侧棱垂直与底面的棱柱是直棱柱。

(5)棱柱的重要截面:
截面: 用一个平面去截棱柱,与各面的交线 组成一个封闭的图形.

1.和侧棱垂直,与侧棱都相交的截面叫直截面. 2.过不相邻的两条侧棱组成的平面叫对角面. 3.过高的中点,且和底平行的截面叫中截面.
E1
E1
A1 B1
D1

D1

E1

A1
C1

D1

C1 B1

A1 B1

C1

E A B

D C A

E

D C A

E B

D C

B

(6)棱柱的性质:
1.棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧 棱都相等;直棱柱的各个侧面都是矩形;正棱 柱的各个侧面都是全等的矩形。
D1 A1 C1 C1 A
1

B1 D

A1

E1

D1 C1

B1 B1
C A B B

C B A

E D
C

A

2.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应 边互相平行的全等多边形。 3.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四 边形。
E1 A1 B1
D1

E1 C1 A1

D1

C1 B1

E

D

E

D

A
B

C

A
B

C

棱柱、直棱柱、正棱柱的性质
1、棱柱:
①侧棱都 平行且相等,侧面和对角面都是 平行四边形;
②两个底面与平行于底面的截面是 全等多边形 。

2、直棱柱:
①各侧面和各对角面都是 矩形 ; ②侧棱长与高相等 。

3、正棱柱:
①底面是 正多边形 ; ②各侧面都是全等的矩形 。


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