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2013宜宾拔尖人才考试试题和答案


宜宾市 2013 年拔尖创新人才培养试点班招生文化测试

数学试卷
(考试时间:120 分钟;全卷满分 150 分)
题号 得分 一 二 三 17 18 19 20 21 22 总分 总分人

注意事项:1.答题前,请务必将学校名称、姓名和考号填写在密封线内相应位置. 2.直接在试题卷上作答,不得将答案写到密封线内,不得

另加附页. 得分 评卷人 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填在括号内.

1. 在函数 y ? A. x ? 2

1 x?2

中,自变量 x 的取值范围是( A C. x ? 2 ) B. (?a 3 ) 2 ? a 6 D. a ? a ? a
3 2 6

). D. x ? 2

B. x ? 2

2. 下列计算正确的是( B A. 2a ? 3a ? 5a C. a ? a ? a
8 2 4 2

4 2 1 1 2

3.由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的三视 图如图所示,则这个几何体由( B )小正方体搭成. A .9 C.11 B. 10 D. 12 正视图 左视图 3 题图

俯视图

4.二果问价源于我国古代《四元玉鉴》:“九百九十九文钱,甜果苦果买 一千,甜果九个十一文,苦果七个四文钱,试问甜苦果几个?”,则甜、苦果的 个数分别是( C ). 设甜 x 个,则
11 4 x ? (1000 ? x) ? 999 , 9 7

A.648、352 C. 657、343

B. 650、 350 D. 666、334

5. 如图,为了测得电视塔的高度 EC,在 D 处用高 2 米的测角仪 AD,测得 电视塔顶端 E 的仰角为 45°,再向电视塔方向前进 100 米到达 B 处,又测得电 视塔顶端 E 的仰角为 60°,则电视塔的高度 EC 为( A
1

).

E A. (50 3 ? 152)米 B. (52 3 ? 150)米 C. (50 3 ? 150)米 D. (52 3 ? 152)米 A 2 D 45° 100 B 5 题图 A 2 B 2 C′
2

60° F

G C

6. 如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=2,AD=6, 将其折叠,使点 D 与点 B 重合,得折痕 EF,则 tan∠BFE 的值是( A. D B. 1 ). x ? C. 2
2

x 6-x

E

10 3

D

8 10 ,BE=BF= 3 3
D. 3

M

F

C

1 2

6 题图

7.已知关于 x 的一元二次方程 x ? 6 x ? m ? 0 的两个根恰好比方程 x ? m x ? n ? 0 的两个根都大 1,则 m ? n 的值为( B A. 7 B.23 C.3 ) D. -1 或 23 y

8.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图所示, 下列结论中:①a ? b ? 0 ; ②abc ? 0 ; ③a ? b ? n(an ? b)(n ? 1) ; ④a ? c ? ?1 . 其中正确的结论是( D ). A. ②③ C.③④ 得分 评卷人 B.①②④ D. ①④ ∵ a ? 0, b ? 0, c ? 0 则② 错.又由 x=1,故① 对, 排除法,应选 D. -2 -1
O

1 x

8 题图 或者,由 x=1 和 x=-1 也可求证④ 对. 二、填空题: (本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)请把答案直接 填在题中横线上.

9. 投掷一枚普通正六面体骰子,掷得点数大于 4 的概率是 10. 分解因式:m ? m ? 2mn ? n ? n ?
2 2

.

1 3

. (m ? n)(m ? n ? 1) = . 2,分母有理化

11.

1 1? 2

?

1 2? 3

???

1 8? 9

12. 已知关于 x、 y 的方程组 ?

?x ? y ? 6 的解是正数, 则 a 的取值范围 ?x ? 2 y ? a ? 3

-9<a<9 .

13. 已知 Rt△ABC 的两直角边边长分别是 5、12,若将其内切圆挖去,则剩下部分的面 积等于 .内切圆半径可求得为 2, 30 ? 4?
2

C 14.如图,五边形 ABCDE 中,∠B = ∠E = 90°, AB = CD = AE = BC+DE = 2,则这个五边形的面积 是 .4 方法? A 14 题图 E B D

15. 在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称 点(x,y)为整点,给出下列命题:①直线 y ? x ?

1 ,满足既不与坐标轴平行又不经过 2

任何整点;②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点; ③直线 l 经过 无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④存在恰经过一个整点的直线. 则其中真命题的是 ① ③ ④ (写出所有真命命题的编号)

16.如图 1,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆的内壁逆时针方向滚动,M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点,那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周时,请将点 M、 N 在大圆内运动所形成的痕迹绘制在图 2 中. N



·N

M ·

·N
N 16 题图 2

M 想象差,无法!

16 题图 1

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 78 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 得分 评卷人 17. (本小题满分 12 分) 某学校在落实国家“营养餐”工程中,选用了 A、B、C、D、E 五种不同类型的套餐, 实行一段时间后,学校决定在全校范围内随机抽取部分学生对“你喜欢的套餐类型(必选且 只选一种) ”进行问卷调查,将调查情况整理后,绘制成如图所示的统计图.
人数 70 60 50 40 30 20 10 0

60 40 30 20 50 D

E A 占 30% C B

A

B

C

D

E

类型

17 题图
3

请你根据以上信息解答下列问题: (1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?并补全条形统计图; (2)如果全校有 1200 名学生,请你估计全校学生中喜欢 B 与 D 两种套餐的学生共有 多少名? 解: (1)60÷30%=200,故这次共调查 200 人, 选 C 类的学生共有:200-60-40-50-20=30(人).如图补图. (2)若全校有 1200 名学生,则: 喜欢 B 类套餐的学生共有:1200×

40 ? 240(人) , 200 50 ? 300(人).共有 540 人. 喜欢 D 类套餐的学生共有:1200× 200
18. (本小题满分 12 分)

得分

评卷人

如图,一次函数 y ?k 1x ? b 与反比例函数 y ? Q(-1,m). (1)求一次函数与反比例函数的解析式;

k2 ( x ? 0) 的图象交于点 P(-2,1) 、 x

(2)在 x 轴上取一点 E,使线段 EP+EQ 最小时,求四边形 OEPQ 的面积. 解: (1)由 P(-2,1) ,得 k 2 ? ?2 , 故反比例函数为 y ? y M

?2 ( x ? 0) , x
P N P′ E

Q

将 Q(-1,m)代入,得:m =2, 即 Q(-1,2). 由 Q(-1,2)和 P(-2,1)可求得 直线 QP 的解析式: y ? x ? 3 ;

O

x 18 题图

则 M(0,3) ,N(-3,0). (2)设由 P(-2,1)关于 x 轴的对称点为 P′,连 Q P′ , 交 x 轴于点 E,则 EP+EQ 最小 M. 此时,P′ (-2,-1) ,Q(-1,2) , 可求得直线 Q P′ 的解析式为: y ? 3x ? 5

5 ,0). 3 1 1 4 2 1 1 S△PNE = NE·yp = × ×1= ,S△QNO = NO· yQ = ×3×2=3, 2 2 3 3 2 2 2 7 S 四边形 OEPQ = S△QNO -S△PNE =3- = . 3 3
令 y=0,则 x ? ? ,即 E( ?
4

5 3

得分

评卷人 19. (本小题满分 13 分)

已知:E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 各边的中点,如图所示。 (1)探究四边形 EFGH 的形状,并证明; (2)当四边形 EFGH 是正方形时,请指出四边形 ABCD 的对角线的关系,并说明理由. (3)猜想四边形 EFGH 的面积与四边形 ABCD 的面积的关系,并说明理由. (1)连 AC、BD,易证四边形 EFGH 为平行四边形; (2)当四边形 EFGH 为正方形时, 说明 EH=EF,,故 AC=BD, A 又 EH⊥EF,故 AC⊥BD 即对角线 AC 和 BD 互相垂直且相等; E 1 (3)S 四边形 EFGH = S 四边形 ABCD

D H G

2

1 B S△ABD 4 1 S△CGF = S△CDB , 4 1 ∴S△AEH + S△CGF = S 四边形 ABCD 4 1 同理可证 S△BEF + S△DHG = S 四边形 ABCD 4 1 ∴S△AEH + S△CGF+S△BEF + S△DHG= S 四边形 ABCD 2 1 ∴四边形 EFGH = S 四边形 ABCD 2
易证:S△AEH =

F 19 题图

C

5

得分

评卷人 20.(本小题满分 13 分)

某市为了解城市的交通状况,交通部门对某段道路车辆通行能力进行调查 . 一般情况 下,在这段道路上通行的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米) 的函数. 当车流密度达到 300 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 30 辆/千米时,车流速度均为 54 千米/时. 调查表明:当 30≤x≤300 时,车流速度 v 是车流 密度 x 的一次函数. (1) 当 0≤x≤300 时,求车流速度 v 与车流密度 x 的函数关系式; (2) 当车流密度 x 为多大时,车流量 y(车流量= 车流密度×车流速度,单位:辆/ 小时)可以达到最大,并求出最大值.

?54(0 ? x ? 30) ? (1) v ? ? 1 ? x ? 60(30 ? x ? 300) ? ? 5

过点(30,54) 、 (300,0)

(2)由(1)可知, y1 ? 54x ,y 随 x 的增大而增大,有最大值 1620.

1 1 1 1 y 2 ? xv ? x(? x ? 60) ? ? x 2 ? 60 x ? ? ( x 2 ? 300 x ? 150 2 ) ? ?150 2 5 5 5 5 1 2 2 = ? ( x ? 150 ) ? 4500 5 当 x ? 150 时,y 有最大值 4500.即当车流密度为 150 辆/千米,车流量有最大值 4500
辆/时.

6

得分

评卷人 21. (本小题满分 14 分)

如图,⊙ N 的圆心 N 在以 AF 为直径的⊙ M 上,⊙ M 的弦 AE 所在的直线与⊙ N 相切于 D 点,⊙ M 与⊙ N 其中的一个交点为 C,AC 交⊙ N 于 B 点,连结 NE、AN,设⊙ N、⊙ M 的半径 分别为 2 和 3. (1)求证:AN·NE = 12; (2)若 AD = 21 , 求 BC 的长. A (1)连 DN、EF、FN,则可证 EF∥DN, ∠DNE=∠NEF, 而∠NEF=∠NAF,故∠DNE=∠NAF, 证△RtAFN∽Rt△NED. M· B · N C E D

AF AN ? ∴ ,∴AN·NE = 12; EN DN
(2)连 NB、NC,过 N 作 NG⊥BC, 易得 AN=5,从而 NF= 11 , F

G

21 题图

而 cosC=cosF=

11 , 6 11 3

在 Rt△NGC 中,CG=NC·cosC=

∴BC=2CG=

2 11 . 3

7

得分

评卷人 22. (本小题满分 14 分)

如图所示,抛物线 y ? ax2 过点 A(1,1) ,点 B(m,n)在抛物线上运动,在线段 AB 上取一点 Q,使得 BQ= 2QA. (1)当点 B 的横坐标 m =-2 时,求点 Q 的坐标; (2)过 Q 点作 x 轴的垂线交抛物线于点 M,在线段 QM 的延长线上取一点 P,使得 QM=2MP,求点 P(x , y)的纵坐标 y 与横坐标 x 满足的解析式. 解: (1)过 B 作 BH⊥x 轴,交点 H, 过 A 作 AG⊥BE,交点 G, 易求得抛物线为 y ? x 2 点 B(m,n)在抛物线上, 当 m =-2 时,易得 n ? 4 , 而 A(1,1) , 故 BG=3,AG=3 H


y

B Q R M


E G

F A

-1

O

1 P ( x,y ) · 22 题图

x

∵QA :BA =1:3,故 AR:AG=1:3,AR=1,故此时 Q 应在 y 轴上, 可求得 AB 直线的解析式为: y ? ? x ? 2 当 x=0 时,y=2,故 Q(0,2). (2)过 Q 作 x 轴的平行线,交点如图所示. 设 P(x,y) ,则 M(x, x ) ,Q(x, y1 ) , 由 QM=2MP,得: y1 ? x 2 ? 2( x 2 ? y) ,∴ y1 ? 3x 2 ? 2 y , 由(1)知,EG=2QF,EB=2AF, 而 EQ= x ? m ,QF= 1 ? x ,故: x ? m ? 2(1 ? x) ,得: m ? 3 x ? 2 , EB= n ? y1 ,AF= y1 ? 1 ,故: n ? y1 ? 2( y1 ? 1) , 即: n ? 3 y1 ? 2 ? 3(3x ? 2 y) ? 9 x ? 6 y ? 2 ,
2 2
2

又点 B 在抛物线上,∴ n ? m ,∴ 9 x ? 6 y ? 2 ? (3x ? 2) ,
2

2

2

解得: y ? 2 x ? 1 .

8


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