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2016年数学文高考真题分类汇编:专题03-三角函数与解三角形、平面向量


1

三角函数与解三角形
1.【2016 高考新课标 1 文数】△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a ? 5 , c ? 2 , cos A ? 则 b=( (A) )

2 , 3

2

(B) 3

(C)2

(D)

3

【答案】D 【解析】 试题分析:由余弦定理得 5 ? b ? 4 ? 2 ? b ? 2 ?
2

2 1 ,解得 b ? 3 ( b ? ? 舍去),故选 D. 3 3

考点:余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于 b 的一元二次方程,再通过解方程求 b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记! π 1 2. 【2016 高考新课标 1 文数】 若将函数 y=2sin (2x+ )的图像向右平移 个周期后,所得图像对应的函数为 ( 6 4 π π π π (A)y=2sin(2x+ ) (B)y=2sin(2x+ ) (C)y=2sin(2x– ) (D)y=2sin(2x– ) 4 3 4 3 【答案】D )

考点:三角函数图像的平移 【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意―左加右减―,二是平移多少个单位是对 x 而言的,不用忘记乘以系数.
2 3.【2016 高考天津文数】已知函数 f ( x) ? sin

?x

1 1 ? sin ?x ? (? ? 0) , x ? R .若 f ( x) 在区间 (? ,2? ) 2 2 2 5 8 1 8 1 5 4 8

内没有零点,则 ? 的取值范围是( (A) ( 0, ] 【答案】D 【解析】 试题分析: f ( x) ?



1 8

(B) (0, ] ? [ ,1)

1 4

5 8

(C) ( 0, ]

(D) (0, ] ? [ , ]

? 1 ? cos ? x sin ? x 1 2 ? ? ? ? sin(? x ? ) , f ( x) ? 0 ? sin(? x ? ) ? 0 ,所以 2 2 2 2 4 4
1

2

x?

k? ?

?

4 ? (? , 2? ),(k ? z) ,因此 ? ? ( 1 , 1 ) ? ( 5 , 5 ) ? ( 9 , 9 ) ?? ? ( 1 , 1 ) ? ( 5 , ??) ? ? ? (0, 1 ] ? [ 1 , 5] , ? 8 4 8 4 8 4 8 4 8 8 4 8

选 D. 考点:解简单三角方程 【名师点睛】对于三角函数来说,常常是先化为 y=Asin(ω x+φ )+k 的形式,再利用三角函数的性质求 解.三角恒等变换要坚持结构同化原则,即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等,其中切化弦 也是同化思想的体现;降次是一种三角变换的常用技巧,要灵活运用降次公式. 4.[2016 高考新课标Ⅲ文数]在 △ABC 中, B = (A) 【答案】D
3 10 π 1 , BC 边上的高等于 BC ,则 sin A = ( 4 3
5 5



[来源:gkstk.Com]

(B)

10 10

(C)

(D)

3 10 10

考点:正弦定理. 【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时,需寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件, 常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形,然后选用正弦定理与余弦定理求解. 5. 【2016 高考四川文科】 为了得到函数 y ? sin( x ?

?
3

) 的图象, 只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点(

)

? 个单位长度 3 ? (C) 向上平行移动 个单位长度 3
(A)向左平行移动 【答案】A 【解析】

(B) 向右平行移动

? 个单位长度 3 ? (D) 向下平行移动 个单位长度 3

试题分析:由题意,为得到函数 y ? sin( x ? 故选 A. 考点:三角函数图像的平移.

?
3

) ,只需把函数 y ? sin x 的图像上所有点向左移

? 个单位, 3

【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移,函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 a 个单位得 y ? f ( x ? a) 的图 象,而函数 y ? f ( x) 的图象向上平移 a 个单位得 y ? f ( x) ? a 的图象.左右平移涉及的是 x 的变化,上下 平移涉及的是函数值 f ( x ) 加减平移的单位.
[来源:gkstk.Com]

2

3

6.【2016 高考上海文科】设 a ? R , b ? [0, 2 π] .若对任意实数 x 都有 sin(3x 有序实数对(a,b)的对数为( (A)1 【答案】B (B)2 ) (C)3 (D)4

π )=sin(ax + b) ,则满足条件的 3

考点:1.三角函数的诱导公式;2.三角函数的图象和性质. 【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式,利用分类讨论的方法,确定得到 a , b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 7. [2016 高考新课标Ⅲ文数]若 tan ? ?

1 ,则 cos 2? ? ( 3 4 (D) 5



4 (A) 5 ?
【答案】D 【解析】

1 (B) 5 ?

1 (C) 5

1 1 ? ( )2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 3 ? 4. 试题分析: cos 2? ? ? ? 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? ( 1 ) 2 5 3
2 2 2

考点:1、同角三角函数间的基本关系;2、二倍角. 【方法点拨】三角函数求值:①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化,通过相消或相约消去非特殊角, 进而求出三角函数值;②“给值求值”关键是目标明确,建立已知和所求之间的联系. 8.【2016 高考山东文数】 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b = c, a2 = 2b2 (1- sin A) ,则 A=( )
[来源:学优高考网 gkstk]

(A) 【答案】C

3π π π π (B) (C) (D) 4 3 4 6

3

4

考点:余弦定理 【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、三角函数的同角公式及诱导公式,是高考常考知识内容.本题 难度较小,解答此类问题,注重边角的相互转换是关键,本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、 基本计算能力等. 8. 【2016 高考新课标 2 文数】函数 y =A sin(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则( )

? (A) y ? 2sin(2 x ? ) 6 ? (C) y ? 2sin(2 x+ ) 6

? (B) y ? 2sin(2 x ? ) 3 ? (D) y ? 2sin(2 x+ ) 3

【答案】A 【解析】

? 2? ? (? )] ? ? ,所以 ? ? ? 2 ,所以 y ? 2sin(2 x ? ? ) , 3 6 ? ? ? 2? 2? ? 因为图象过点 ( , 2) ,所以 2 ? 2sin(2 ? ? ? ) ,所以 sin( ? ? ) ? 1 ,所以 ? ? ? 2k? ? (k ? Z) , 3 3 3 3 2
试题分析:由图知, A ? 2 ,周期 T ? 2[ 令 k ? 0 得, ? ? ?

?

?
6

,所以 y ? 2sin(2 x ?

?
6

) ,故选 A.

考点: 三角函数图像的性质 【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是:先根据函数图像的最高点、最低点确定 A,h 的值,函 数的周期确定 ω 的值,再根据函数图像上的一个特殊点确定 φ 值. 9.【2016 高考新课标 2 文数】函数 f ( x) ? cos 2 x ? 6cos( (A)4 (B)5
4

π ? x) 的最大值为( 2
(C)6

) (D)7

5

【答案】B

考点: 正弦函数的性质、二次函数的性质. 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当 sin x ? 10.【2016 高考四川文科】sin 750 0 = 【答案】 【解析】 试题分析:由三角函数诱导公式 sin 750? ? sin(720? ? 30?) ? sin 30? ? 考点:三角函数诱导公式 【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题,直接利用课本公式解题,这告诉我们一定要立足于 课本.有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解. 11. 【2016 高考浙江文数】已知 2cos2 x ? sin 2 x ? A sin(? x ? ? ) ? b( A ? 0) ,则 A ? ______,b ? ______. .

3 3 11 时,函数 y ? ?2(sin x ? ) 2 ? 取得最大值. 2 2 2

1 2 1 . 2

【答案】 2 ;1. 【解析】 试题分析: 2cos2 x ? sin 2x ? 1 ? cos2x ? sin 2x ? 2 sin(2x ? ) ? 1 ,所以 A ? 2, b ? 1.

?

4

考点:三角恒等变换. 【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简 cos 2 x ,再用辅助角公式化简 cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ,进而对照

? sin ?? x ? ? ? ? b 可得 ? 和 b .
12.[2016 高考新课标Ⅲ文数]函数 y ? sin x ? 3 cos x 错误! 未找到引用源。 的图像可由函数 y ? 2sin x 错 误!未找到引用源。的图像至少向右平移_____________个单位长度得到. 【答案】 【解析】 试题分析:因为 y ? sin x ?

? 3 ? ) ,所以函数 y ? sin x ? 3 cos x 的的图像可由函数 3
5

3 cosx ? 2 sin( x?

6

y ? 2sin x 的图像至少向右平移

? 个单位长度得到. 3

考点:1、三角函数图象的平移变换;2、两角差的正弦函数. 【误区警示】在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也经常出现 在题目中, 所以也必须熟练掌握, 无论是哪种变形, 切记每一个变换总是对字母 x 而言, 即图象变换要看“变 量”起多大变化,而不是“角”变化多少. 13. 【2016 高考新课标 1 文数】已知 θ 是第四象限角,且 sin(θ+ 【答案】 ?

π 3 π )= ,则 tan(θ– )= 4 5 4

.

4 3

考点:三角变换 【名师点睛】三角函数求值,若涉及到开方运算,要注意根式前正负号的取舍,同时要注意角的灵活变换. 14.【2016 高考上海文科】若函数 f ( x) ? 4sin x ? a cos x 的最大值为 5,则常数 a ? ______. 【答案】 ? 3 【解析】试题分析: f ( x) ? 16 ? a2 sin(x ? ? ) ,其中 tan ? ?
2 已知, 16 ? a ? 5 ,解得 a ? ?3 .

a 2 ,故函数 f ( x) 的最大值为 16 ? a ,由 4

考点:三角函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象和性质. 【名师点睛】 三角函数性质研究问题, 基本思路是通过化简 , 得到 y ? A sin(? x ? ? ) , 结合角的范围求解.. 本题难度不大,能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等. 15.【2016 高考上海文科】方程 3sin x ? 1 ? cos 2 x 在区间 ?0,2? ? 上的解为___________ . 【答案】 【解析】 试题分析:

? 5? 或 6 6

3sinx ? 1 ? cos 2x , s n ix 2 ?2 s n i? x 即3

2

, 所以 2sin 2 x ? 3sinx ? 2 ? 0 , 解得 sinx ?
6

1 或 sinx ? ?2(舍 2

7

去) ,所以在区间 ?0,2? ? 上的解为

? 5? 或 . 6 6

考点:1.二倍角公式;2.已知三角函数值求角. 【名师点睛】 已知三角函数值求角, 基本思路是通过化简 , 得到角的某种三角函数值, 结合角的范围求解.. 本题难度不大,能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等. 16.【2016 高考上海文科】已知 ?ABC 的三边长分别为 3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________. 【答案】

7 3 3

考点:1.正弦定理;2.余弦定理. 【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题,往往要利用三角公式化简三角恒等式,利 用正弦定理实现边角转化,达到解题目的;三角形中的求角问题,往往要利用余弦定理用边表示角的函数. 本题较易,主要考查考生的基本运算求解能力等.
uu u r uur 17. 【2016 高考上海文科】 如图, 已知点 O(0,0),A(1.0),B(0,? 1),P 是曲线 y = 1- x2 上一个动点, 则 OP ×BA

的取值范围是

.

【答案】 [?1, 2]

??? ? ??? ? 【解析】试题分析:由题意,设 P(cos ? ,sin ? ) , ? ? [0, π] ,则 OP ? (cos ? ,sin ? ) ,又 BA ? (1,1) , 所以
??? ? ??? ? ? OP ? BA ? cos ? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) ? [?1, 2] . 4
考点:1.平面向量的数量积;2.三角函数的图象和性质;3.数形结合的思想. 【名师点睛】本题解答利用数形结合思想,将问题转化到单位圆中,从而转化成平面向量的坐标运算,利
7

8

uu u r uur 用三角函数的图象和性质, 得到 OP ×BA 的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、 基本运算求解能力、

数形结合思想、转化与化归思想等. 18.【2016 高考新课标 2 文数】△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A ? a=1,则 b=____________. 【答案】 【解析】

5 4 , cos C ? , 13 5

21 13

4 5 3 12 , cos C ? , 且 A, C 为 三 角 形 内 角 , 所 以 sin A ? ,sin C ? , 5 13 5 13 13 sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? B) ? sin A cos C ? cos A sin C ? , 65 a b a sin B 21 ? ? . 又因为 ,所以 b ? sin A sin B sin A 13
试 题 分 析 : 因 为 cos A ? 考点: 正弦定理,三角函数和差公式. 【名师点睛】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓 住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果 式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可 能用到.学优高考网 19.【2016 高考北京文数】在△ ABC 中, ?A ? 【答案】1

2? b , a ? 3c ,则 =_________. 3 c

考点:解三角形 【名师点睛】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.②熟练 运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用. 20.【2016 高考山东文数】 (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? 2 3sin(π ? x)sin x ? (sin x ? cos x)2 . (I)求 f ( x ) 得单调递增区间;

8

9

(II)把 y ? f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再把得到的图象向左平移 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( ) 的值. 【答案】 ( ? ) f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ? ( ? ) 3. 【解析】

π 3

π 6

? ?

?
12

, k? ?

? 5? 5? ? ? k ? Z ? , (或 (k? ? , k? ? ) ? k ? Z ? ) ? 12 12 12 ?

所以, f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ? ( ? )由( ? )知 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

?
12

, k? ?

? 5? 5? ? ? k ? Z ? , (或 (k? ? , k? ? ) ? k ? Z ? ) ? 12 12 12 ?

? ?

??

? ? 3 ? 1, 3?
9

10

把 y ? f ? x ? 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) , 得到 y ? ? 2sin ? x ?

? ?

??

? ? 3 ? 1 的图象, 3?

再把得到的图象向左平移

? 个单位,得到 y ? 2sin x ? 3 ?1 的图象, 3

即 g ? x ? ? 2sin x ? 3 ?1. 所以

? ?? ? g ? ? ? 2sin ? 3 ? 1 ? 3. 6 ?6?

考点:1.和差倍半的三角函数;2.三角函数的图象和性质;3.三角函数图象的变换. 【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换.此类题目 是三角函数问题中的典型题目,可谓相当经典.解答本题,关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论 函数的性质,利用“左加右减、上加下减”变换原则,得出新的函数解析式并求值.本题较易,能较好的考 查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.学优高考网 21.【2016 高考四川文科】 (本题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 (I)证明: sin A sin B ? sin C ;
2 2 2 (II)若 b ? c ? a ?

cos A cos B sin C ? ? . a b c

6 bc ,求 tan B . 5

【答案】 (Ⅰ)证明详见解析; (Ⅱ)4. 【解析】

代入

cos A cos B sin C + = 中,有 a b c cos A cos B sin C + = ,变形可得 k sin A k sin B k sin C

sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).
10

11

在△ ABC 中,由 A+B+C=π,有 sin(A+B)=sin(π–C)=sin C, 所以 sin Asin B=sin C.

考点:正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系. 【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识,考查学生的分析问题的能力和计算能 力.在解三角形的应用中,凡是遇到等式中有边又有角时,可用正弦定理进行边角互化,一种是化为三角函 数问题,一般是化为代数式变形问题.在角的变化过程中注意三角形的内角和为 180? 这个结论,否则难以 得出结论.学优高考网 22.【2016 高考天津文数】 (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 a sin 2B ? 3b sin A . (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 cos A ? 【答案】 (Ⅰ) B ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用正弦定理,将边化为角: 2sin Asin B cos B ? 3sinBsin A ,再根据三角形内角范围化简 得 cos B ?

1 ,求 sinC 的值. 3
(Ⅱ)

?
6

2 6 ?1 6

? 3 , B ? (Ⅱ)问题为“已知两角,求第三角” ,先利用三角形内角和为 ? ,将所求角化为 6 2

两已知角的和 sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B) ,再根据两角和的正弦公式求解

11

12

考点:同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数,因此解三角函数题,首先从角进行分析,善于用已知角表 示所求角,即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、 配角公式等,选用恰当的公式,是解决三角问题的关键,明确角的范围,对开方时正负取舍是解题正确的 保证.

23.【2016 高考北京文数】 (本小题 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin ?x cos?x ? cos 2?x(? ? 0) 的最小正周期为 ? . (1)求 ? 的值; (2)求 f ( x) 的单调递增区间. 【答案】 (Ⅰ) ? ? 1 (Ⅱ) ? k? ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)运用两角和的正弦公式对 f ( x) 化简整理,由周期公式求 ? 的值; (Ⅱ)根据函数 y ? sin x 的单调递增区间对应求解即可. 试题解析: (I)因为 f ? x ? ? 2sin ? x cos ? x ? cos2? x

? ?

3? ?? . , k? ? ? ( k ? ? ) 8 8?

?? ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 sin ? ? 2? x ? ? , 4? ?
所以 f ? x ? 的最小正周期 ? ? 依题意,

2? ? ? . 2? ?

? ? ? ,解得 ? ? 1 . ?

12

13

考点:两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性. 【名师点睛】三角函数的单调性:1.三角函数单调区间的确定,一般先将函数式化为基本三角函数标准式, 然后通过同解变形或利用数形结合方法求解.关于复合函数的单调性的求法;2 利用三角函数的单调性比较 两个同名三角函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内,不属于的,可先化至 同一单调区间内.若不是同名三角函数,则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与 0 比较,与 1 比较 等)求解. 24.【2016 高考浙江文数】 (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B. (Ⅰ)证明:A=2B; (Ⅱ)若 cos B=

2 ,求 cos C 的值. 3 22 . 27

【答案】 (I)证明见解析; (II) cos C ? 【解析】

? 试题分析: ( I ) 先 由 正 弦 定 理 可 得 s i n? ? s i n C

2 s i? n

c? o, s 进而由两角和的正弦公式可得

(II)先用同角三角函数的基本关系可 s i n? ? s i ? n? ? ? ? ,再判断 ? ? ? 的取值范围,进而可证 ? ? 2? ; 得 sin ? ,再用二倍角公式可得 cos 2? ,进而可得 cos ? 和 sin ? ,最后用两角和的余弦公式可得 cos C . 试题解析: (I)由正弦定理得 sin B ? sin C ? 2sin A cos B , 故 2sin A cos B ? sin B ? sin( A ? B) ? sin B ? sin A cos B ? cos A sin B , 于是, sin B ? sin( A ? B) , 又 A, B ? (0, ? ) ,故 0 ? A ? B ? ? ,所以 B ? ? ? ( A ? B) 或 B ? A ? B ,

13

14

因此, A ? ? (舍去)或 A ? 2 B , 所以, A ? 2 B .

考点:三角函数及其变换、正弦和余弦定理. 【思路点睛】 (I)用正弦定理将边转化为角,进而用两角和的正弦公式转化为含有 ? , ? 的式子,根据角 的范围可证 ? ? 2? ; ( II)先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得 cos 2? ,进而可得 cos ? 和

sin ? ,再用两角和的余弦公式可得 cos C .学优高考网

平面向量
1.[2016 高考新课标Ⅲ文数]已知向量 BA ? ( , (A)30 【答案】A 【解析】
0

uuv

uuu v 1 3 3 1 ) , BC ? ( , ), 则 ?ABC ? ( 2 2 2 2
(C) 60
0



(B) 45

0

(D)120

0

1 3 3 1 ??? ? ??? ? ? ? ? BA ? BC 2 2 2 2 ? 3 ,所以 ?ABC ? 30? ,故选 A. ? ??? ? ? 试题分析:由题意,得 cos ?ABC ? ??? 1? 1 2 | BA || BC |
考点:向量夹角公式.

b= a b cos ? ,其中 ? 是 a 与 b 的夹角,要注意夹角的定义 【思维拓展】 (1)平面向量 a 与 b 的数量积为 a·

?

?

??

? ?

?

?

?? ? ? ? ? ? a· b ?? 0? ? ? ? 180? ; a, b= 0?a ?b, cos ? ? ? ? ,a· 和它的取值范围: (2) 由向量的数量积的性质有 |a|= a · a b
因此,利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题.
[来源:gkstk.Com]

2. 【2016 高考天津文数】 已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形, 点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点, 连接 DE 并延长到点 F ,使得 DE ? 2 EF ,则 AF ? BC 的值为( (A) ? ) (D)
14

5 8

(B)

1 8

(C)

1 4

11 8

15

【答案】B

考点:向量数量积 【名师点睛】研究向量数量积,一般有两个思路,一是建立直角坐标系,利用坐标研究向量数量积;二是 利用一组基底表示所有向量,两种实质相同,坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提 供了新的语言——―坐标语言‖,实质是―形‖化为―数‖.向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来 进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来.学优高考网 3. 【2016 高考四川文科】 已知正三角形 ABC 的边长为 2 3 , 平面 ABC 内的动点 P, M 满足 AP ? 1 , PM ? MC , 则 BM 的最大值是(

uu u r

uuu r

uuu r

uuu r2

)

(A)

43 4

(B)

49 4

(C)

37 ? 6 3 4

(D)

37 ? 2 33 4

【答案】B 【解析】

试题分析:甴已知易得 ?ADC ? ?ADB ? ?BDC ? 120? , DA ? DB ? DC ? 2 .以 D 为原点,直线 DA 为 x 轴建立平面直角坐标系,则 A ? 2 , 0 ? , B ?1 , ? 3 , C ?1 , 3 . 设 P ? x , y ? , 由已知 AP ? 1 ,得

??? ?

??? ?

????

?

? ?

?

??? ?

? x ? 2?

2

? y 2 ? 1 ,又 PM ? MC , ? M ?
2

???? ?

???? ?

? ? x ?1 y ? 3 3 ? ? x ? 1 y ? 3 ? ???? , , ? , ? BM ? ? ?, 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?
2

???? ? 2 ? x ? 1? ? y ? 3 3 ? BM ? 4

?

?

2

2 ,它表示圆 ? x ? 2 ? ? y ? 1 上点 ? x . y ? 与点 ?1 , ? 3 3 距离平方的

?

?

1 , 4

15

16

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? 49 ? 1? ? ,故选 B. 4 ?

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考点:1.向量的数量积运算;2.向量的夹角;3.解析几何中与圆有关的最值问题. 【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模,由于结论是要求向量模的平方的最大值,因此我们 要 把 它 用 一 个 参 数 表 示 出 来 , 解 题 时 首 先 对 条 件 进 行 化 简 变 形 , 本 题 中 得 出

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ADC ? ?ADB ? ?BDC ? 120? , A ?D B ? D C 且D

? 2, 因此我们采用解析法, 即建立直角坐标系,
2

???? ? 2 ? x ? 1? ? y ? 3 3 写出 A, B, C , D 坐标,同时动点 P 的轨迹是圆, BM ? 4
值.因此本题又考查了数形结合的数学思想.

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2

,因此可用圆的性质得出最

4.【2016 高考新课标 2 文数】已知向量 a=(m,4),b=(3,-2),且 a∥b,则 m=___________. 【答案】 ?6 【解析】 试题分析:因为 a∥b,所以 ?2m ? 4 ? 3 ? 0 ,解得 m ? ?6 . 考点:平面向量的坐标运算 ,平行向量. 【名师点睛】如果 a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则 a∥b 的充要条件是 x1y2-x2y1=0. 5.【2016 高考北京文数】已知向量 a=(1, 3), b ? ( 3,1) ,则 a 与 b 夹角的大小为_________. 【答案】 30
?

考点:平面向量数量积 【名师点睛】由向量数量积的定义 a ? b ?| a | ? | b | ? cos? ( ? 为 a , b 的夹角)可知,数量积的值、模的乘积、 夹角知二可求一,再考虑到数量积还可以用坐标表示,因此又可以借助坐标进行运算.当然,无论怎样变化, 其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高,应熟练掌握其解法. 6.【2016 高考新课标 1 文数】设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a ? b,则 x= 【答案】 ? 【解析】 .

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试题分析:由题意, a ? b ? 0, x ? 2( x ? 1) ? 0,? x ? ? . 考点:向量的数量积及坐标运算 【名师点睛】 全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运 算的准确性.本题所用到的主要公式是:若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 y1 ? x2 y2 .学优高考网 7.【2016 高考浙江文数】已知平面向量 a,b,|a|=1,|b|=2,a· b=1.若 e 为平面单位向量,则|a· e|+|b· e|的最 大值是______. 【答案】 7

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考点:平面向量的数量积和模. 【思路点睛】先设 a , b 和 e 的坐标,再将 a ? e ? b ? e 转化为三角函数,进而用辅助角公式将三角函数进 行化简,最后用三角函数的性质可得三角函数的最大值,进而可得 a ? e ? b ? e 的最大值. 8.【2016 高考山东文数】已知向量 a ? (1,-1), 若 a ? ta ? b ,则实数 t 的值为________. b ? (6,-4). 【答案】 ?5 【解析】 试题分析:

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? ? ? ? ? ta ? b ? ? 6 ? t , ?4 ? t ? , ta ? b ? a ? ? 6 ? t , ?4 ? t ? ? ?1, ?1? ? 2t ? 10 ? 0 ,解得 t ? ?5

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考点:平面向量的数量积 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题,关键在于能从 a ? ta ? b 出发,转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.

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