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2.2.2对数函数及其性质(第二课时)教案(人教A版必修1)


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2.2.2 对数函数的性质的应用(1)
【教学目标】 1.巩固对数函数性质,掌握比较同底数对数大小的方法; 2.并能够运用解决具体问题; 3.渗透应用意识培养归纳思维能力和逻辑推理能力,提高数学发现能力 【教学重难点】 重点:性质的应用 难点:性质的应用. 【教学过程】 (一)预习

检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性. (二)情景导入、展示目标 1、指对数互化关系: :

2、对数函数的性质: (三)合作探究、精 讲点拨 例 1 比较下列各组数 中两个值的大小: ⑴ 图 象
3 2.5 2

a>1
3 2.5

0<a<1

2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

log2 3.4, log2 8.5



-2

-2

-2.5

-2.5

⑵ log0.3 1.8, log0.3 2.7 ; ⑶

定义域: (0,+∞) 值域:R 过点(1,0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0

loga 5.1, loga 5.9(a ? 0, a ? 1)
解:⑴考查对数函数 因为它 y ? log2 x , 的底数 2>1, 所以它 在(0,+∞)上是增 函 数 , 于 是 性 质

x ? (0,1) 时 y ? 0 x ? (1,??) 时 y ? 0
在(0,+∞)上是增函数

x ? (0,1) 时

y?0

x ? (1,??) 时 y ? 0
在(0,+∞)上是减函数

log2 3.4 ? log2 8.5
⑵考查对数函数 y ? log0.3 x ,因为它的底数 0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函 数,于是 log0.3 1.8 ? log0.3 2.7
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点评:1:两个同底数的对数比较大小的一般步骤: ①确定所要考查的对数函数; ②根据对数底数判断对数函数增减性; ③比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小 ⑶当 a ? 1 时, y ? loga x 在(0,+∞)上是增函数,于是 loga 5.1 ? loga 5.9 当 0 ? a ? 1 时, y ? loga x 在(0,+∞)上是减函数,于是 loga 5.1 ? loga 5.9 点评;2:分类讨论的思想 对数函数的单调性取决于对数的底数是大于 1 还是小于 1 而已知条件并未指明, 因此 需要对底数 a 进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握 例 3 比较下列各组中两个值的大小: ⑴ log6 7, log7 6 ; ⑵ log3 ? , log2 0.8

分析:由于两个对数值不同底,故不能直接比较大小,可在两对数值中间插入一个已 知数,间接比较两对数的大小 解:⑴? log6 7 ? log6 6 ? 1 , log7 6 ? log7 7 ? 1,?log6 7 ? log7 6 ⑵? log3 ? ? log3 1 ? 0 , log2 0.8 ? log2 1 ? 0 ,?log3 ? ? log2 0.8 ; 点评:3:引入中间变量比较大小 例 3 仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小, 当不能直接比较时, 经常在两个 对数中间插入 1 或 0 等,间接比较两个对数的大小 例 4 求下列函数的定义域、值域: ⑴y?

2?x

2

?1

?
2

1 4

⑵ y ? log2 ( x ? 2 x ? 5)
2

⑶ y ? log1 (? x ? 4 x ? 5)
3

⑷y?

log a (? x 2 ? x) (0 ? a ? 1)

解:⑴要使函数有意义,则须:

2?x

2

?1

?

1 ? 0 即: ? x 2 ? 1 ? ?2 ? ?1 ? x ? 1 4
∴ ? 1 ? ? x ? 0 从而 ? 2 ? ? x ? 1 ? ?1
2 2

∵ ?1 ? x ? 1 ∴

2 1 1 ? 2 ? x ?1 ? 4 2

∴0 ? 2

? x 2 ?1

?

1 1 ? 4 4

∴0 ? y ?

1 2

∴定义域为[-1,1],值域为 [ 0, ] ⑵∵ x 2 ? 2x ? 5 ? ( x ? 1) 2 ? 4 ? 4 对一切实数都恒成立 ∴函数定义域为 R 从而 log2 ( x ? 2 x ? 5) ? log2 4 ? 2
2

1 2

即函数值域为 [2,??)

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⑶要使函数有意义,则须:

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? x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ? x 2 ? 4x ? 5 ? 0 ? ?1 ? x ? 5
由 ?1 ? x ? 5
2

∴在此区间内 (? x 2 ? 4x ? 5) max ? 9

∴ 0 ? ? x ? 4x ? 5 ? 9 从而 log1 (? x 2 ? 4x ? 5) ? log1 9 ? ?2
3 3

即:值域为 y ? ?2

∴定义域为[-1,5],值域为 [?2,??) ⑷要使函数有意义,则须: ? 由①: ? 1 ? x ? 0 由②:∵ 0 ? a ? 1 时 则须 ? x ? x ? 1
2

?? x 2 ? x ? 0 ?loga (? x ? x) ? 0
2

(1) (2)

, x?R

综合①②得

?1 ? x ? 0

当 ?1 ? x ? 0 时
2

(? x 2 ? x) max ?
1 4

1 4

∴ 0 ? ?x ? x ?
2

1 4

∴ log a ( ? x ? x ) ? log a

∴ y?

loga

1 4

∴定义域为(-1,0),值域为 [ loga , ? ?) (四)反思总结、当堂检测 1.比较 log2 0.7 与 log1 0.8 两值大小
3

1 4

解:考查函数 y=log2x ∵2>1,∴函数 y= log2 x 在(0,+∞)上是增函数 又 0.7<1,∴ log2 0.7< log2 1=0 再考查函数 y= log1 x
3

1 <1 3 ∴函数 y= log1 x 在(0,+∞)上是减函数
∵0<
3

又 1>0.8,∴ log1 0.8> log1 1=0
3 3

∴ log2 0.7<0< log1 0.8
3

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∴ log2 0.7< log1 0.8
3

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2.已知下列不等式,比较正数 m、n 的大小: (1) log3 m< log3 n (3) loga m< loga n(0<a<1) 解: (1)考查函数 y= log3 x ∵3>1,∴函数 y= log3 x 在(0,+∞)是增函数 ∵ log3 m< log3 n,∴m<n (2)考查函数 y= log0.3 x ∵0<0.3<1,∴函数 y= log0.3 x 在(0,+∞)上是减函数 ∵ log0.3 m> log0.3 n, ∴m<n (3)考查函数 y= loga x ∵0<a<1, ∴函数 y= loga x 在(0,+∞)上是减函数 ∵ loga m< loga n, ∴m>n (4)考查函数 y= loga x ∵a>1, ∴函数 y= loga x 在(0,+∞)上是增函数 ∵ loga m> loga n, ∴m>n (五)小结 本节课学习了以下内容: 【板书设计】 一、对数函数性质 1. 图像 2. 性质 二、例题 例1 变式 1
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(2) log0.3 m> log0.3 n (4) loga m> loga n(a>1)

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例2 变式 2 【作业布置】 导学案课后练习与提高

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