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北京市大兴区2015届高三数学上学期期末考试试题 文


大兴区 2014~2015 学年高三期末检测题 数学(文科)
一、选择题,共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 (1)集合 (A) (0,1) (C) ( ??, ?1) (2)如图,在复平面内,复数 (A) ?2 ? i (C) 2 ? i

M ? ?x x ? 0?

,集合

N ? ?x 1 ? x ? 0?

,则 M

N 等于

(B) (??,0) (D) (??,1)

z1 和 z2 对应的点分别是 A 和 B ,则 z1 z2 等于
(B) ?1 ? 2i (D) 1 ? 2i
-2 -1 y 2 A 1 2 B x

1
O -1 -2

(3)在 ?ABC 中, a ? 2 , b ? 3 , π π (A) 6 (B) 4 π π 3π (C) 3 (D) 4 或 4 (4)下列函数中,在 (0, ??) 上为减函数的是 (A) y ? log2 ( x ? 1) (C) y ? x ( B)

B?

π 3 ,则 A 等于

y??

1 x ?1

1 y ? ( ) x ?1 2 (D)

(5)已知等比数列 {an } 的公比 q ? 1 , a3 ? 4 , a4 ? a5 ? 2a3 ,则 {an } 前 5 项和 S 5 等于 (A) 4 (C) 20 (B) 11 (D) 31

(6)已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,有下列四个命题:①若 ? ∥ ? ,则 l ? m ; ②若 ? ? ? ,则 l ∥ m ;③若 l ∥ m ,则 ? ? ? ;④若 l ? m ,则 ? ∥ ? . 其中,正确命题的序号是 (A)①② (C)①③ (B)③④ (D)②④

(7)已知 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点, ?ABC 所在平面内有一个点 P ,满足 PA ? PB ? PC ,

-1-

| PD | 则 | AD | 的值为

1 (A) 3
(C) 1

1 (B) 2
(D) 2

(8)设双曲线 C1 ,抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心与 C2 的顶点均为原点,从每条曲 线上至少取一个点,将其坐标记录如下: x 1

2

3
2

2 4

3

y
2 2

2

2 6

则在 C1 和 C2 上点的个数分别是 (A)1,4 (B)2,3 (C)4,1 (D)3,3 二、填空题,共 6 小题,每题 5 分,共 30 分。
x ? (9)已知 f ( x) ? xe ,则 f (1) ?

. .

2 2 (10)函数 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x 的最小正周期是

(11)若实数

x , y 满足

? y ≥ 2x ? 2 ? ? y ≥ ?x ?1 ? y ≤ x ?1 ?

,则 z ? 2 x ? y 的最小值为

.

(12)已知向量 a ? (sin ? ,1) , b ? (1,cos? ) ,其中 0 ? ? ? π ,若 a ? b ,则 ? ? ________.
2 2 (13) 已知圆 M :x ? y ? 4 , 在圆 M 上随机取一点 P, 则 P 到直线 x ? y ? 2 的距离大于 2 2

的概率为

.

f x ? 4? ? f ? x ? (14)定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 ? ,且在 [0, 2] 上
? x(1 ? x),0 ≤ x ≤1, 5 ? f( )? f ( x) ? ?sin πx, 1 ? x ≤ 2 ,则 2
则实数 k 的取值范围是 三、解答题,共 6 小题,共 80 分。 .

;若方程 f ( x) ? k 在 [0, 4) 上恰有 4 个根,

π 3 π cos( ? ? ) ? ? ? ( , π ) 2 5, 2 (15)已知 .

-2-

(Ⅰ)求 cos ? 的值;

5 f ( x) ? 3 sin x cos x ? sin ? cos 2 x 6 (Ⅱ)求函数 的增区间.

(16)已知数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设

{an } 为等差数列, a5 ? 11, 且 a4 ? a8 ? 26 .

{an } 的通项;

bn ? 2an ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

(17)某校高三年级共有 300 人参加数学期中考试,从中随机抽取 4 名男生和 4 名女生的试 卷,获得某一道题的样本,该题得分的茎叶图如图。 男 女 7 5 0 4 8 2 1 1 2 3 (Ⅰ) 求样本的平均数; (Ⅱ) 设该题得分大于样本的平均数为合格,根据样本数据估计该校高三年级有多少名同学此 题成绩合格; (Ⅲ)在这 4 名男生和 4 名女生中,分别随机抽取一人, 求该题女生得分不低于男生得分的概率.

( 18)如图 , 已知边长为 2 的的菱形 ABCD 与菱形 ACEF 全等,且 ?FAC ? ?ABC , 平面

ABCD ? 平面 ACEF ,点 G 为 CE 的中点.
(Ⅰ)求证: AE / / 平面 DBG ; (Ⅱ)求证: FC ? BG ; (Ⅲ)求三棱锥 E ? BGD 的体积.

E

G

F

C O D A

B

(19)已知椭圆

C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b 的一个顶点是 (0,1) ,离心率为 2 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

-3-

(Ⅱ) 已知矩形 ABCD 的四条边都与椭圆 C 相切, 设直线 AB 方程为 y ? kx ? m , 求矩形 ABCD 面积的最小值与最大值.

(20)定义函数 G( x, y) ? x ,其中, x ? 0 , y ? 0 .
y 3 (Ⅰ)设函数 f ( x) ? G(1, x ? 3x) ,求 f ( x) 的定义域; 3 2 (Ⅱ) 设函数 h( x) ? G(2, log 2 ( x ? ax ? bx ? 1)) 的图像为曲线 C , 若存在实数 b 使得曲线 C 在

x ( x ?[4,8]) 处有斜率为 ?8 的切线,求实数 a 的取值范围;
? ? x? y (Ⅲ)当 x ? N , y ? N 且 时,试比较 G ( x, y ) 与 G ( y , x) 的大小(只写出结论) .

文科参考答案与评分标准 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 D 5 B 6 C 7 C 8 B

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) (9)
2e

π (10) 2
(11) 1

3 π (12) 4
1 (13) 4

1 1 (? , ) (14) 1 ; 4 4 (第一个空 3 分,第二个空 2 分)
三、解答题(共 80 分) (15) (本题满分 13 分)

-4-

π 3 3 cos( ? ? ) ? sin ? ? 2 5 ,得 5, (Ⅰ)解:由
cos2 ? ? 16 25

………………2 分

2 2 又 sin ? ? cos ? ? 1,所以

? ? ( , π)
因为 ,所以

π 2

cos? ? ?

4 5

………………5 分

5 f ( x) ? 3 sin x cos x ? sin ? cos 2 x 6 (Ⅱ) 5 3 ? 3 sin x cos x ? ? cos 2 x 6 5
? 3 1 sin 2 x ? cos 2 x 2 2
………………3 分

π ? sin(2 x ? ) 6 π π π 2kπ ? ≤ 2x ? ≤ 2kπ ? , k ? Z 2 6 2 由 π π kπ ? ≤ x ≤ kπ ? 6 3, 得

………………5 分

………………7 分

所以,函数 f ( x) 的增区间是 (16)(本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设

π π [kπ ? , kπ ? ](k ? Z) 6 3 . ………………8 分

{an } 的公差为 d ,则 a5 ? a1 ? 4d ? 11 , a1 ? 3d ? a1 ? 7d ? 26
………………4 分 ………………5 分 ………………2 分

解得 a1 ? 3 , d ? 2 所以

an ? 2n ? 1
bn ? 2an ? an = 2 2n?1 ? (2n ? 1)
Sn ? b1 ? b2 ? ? bn

(Ⅱ)

? (23 ? 25 ?
?

? 22n?1 ) ? [3 ? 5 ?

? (2n ? 1)] ………………4 分

23 (1 ? 4n ) 3 ? 2n ? 1 ? ?n 1? 4 2

………………6 分
-5-

1 ? (22n?3 ? 8) ? n2 ? 2n 3

………………8 分

(17) (本题满分 13 分)

5 ? 7 ? 4 ? 8 ? 11 ? 12 ? 12 ? 13 ? 8 解(Ⅰ)样本平均数是 9

………………3 分

(Ⅱ)由茎叶图提供的数据,在 8 人的样本数据中有 4 人分数大于 9 分,所以,样本中超过 9

1 分的人数占样本总数的 2 ,

………………2 分

据此估计,高三年级 300 人中,估计有 ………………5 分

300 ?

1 2 =150 人超过 9 分。

(Ⅲ)设从 8 人中随机抽取男、女生各一人的得分用 ( x, y ) 表示,其中 x 表示男生得分, y 表 示女生得分,则所有不同的情况是 (5, 4),(5,8),(5,12),(5,13), (7,4),(7,8),(7,12),(7,13), (11, 4),(11,8),(11,12),(11,13),

(12, 4),(12,8),(12,12),(12,13) 共 16 种,

………………2 分

其中,女生成绩不低于男生的有 (5,8),(5,12),(5,13) , (7,8),(7,12),(7,13) ,

(11,12),(11,13) , (12,12),(12,13) 共 10 种,

………………4 分

所以,女生得分不低于男生得分的概率 ………………5 分 (18) (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)连结 OG , 因为四边形 ABCD 是菱形, 所以, CO ? OA ,又 CG ? GE ,

P?

10 ? 0.625 16

………………..1 分

E

G

F

所以, OG 为三角形 ?ACE 的中位线…………….2 分 所以, OG ∥ AE .
D

C O A

B

-6-

又 OG ? 平面 DBE , AE ? 平面 DBE

? AE / / 平面 DBE

………………………4 分

(Ⅱ)因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD 。 又平面 ABCD ? 平面 ACEF ,且交线为 AC

? BD ? 平面 ACEF ,
又? FC ? 平面 ACEF

………………………2 分

? BD ? CF

………………3 分

? 在菱形 ACEF 中, AE ? CF , OG // AE ? OG ? CF
………………………4 分

? BD ? OG ? O, BD, OG ? 平面 BGD

? CF ? 平面 BGD ? CF ? BG

………………………5 分 ………………………6 分

(Ⅲ)由题知, AB ? BC ? AC =2,故 ?ABC ? 60 , 在三角形 DAB 中, AD ? AB ? 2 , ?DAB ? 120 ,所以 BD = 2 3 .…………1 分 又 ?ABC ? ?FAC ,所以 ?FAC ? 60 ,所以 ?FCA 是等边三角形, 所以 CF ? 2, AE ? 2 3 ,

1 S?BDG ? BD ? OG ? 3 2 所以

……………………2 分

又 CF ? 面 BDG ,所以,点 C 到面 BDG 的距离 ……………………3 分

1 1 h ? CF ? 4 2

1 1 VE ? BDG ? VA? BDG ? VC ? BDG ? S?BDG ? h ? 3 2 所以
(19) (本题满分 14 分)

……………4 分

-7-

解: (Ⅰ)由题意,椭圆 所以 b ? 1

C:

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) a2 b2 的一个顶点是 (0,1) ,
………………………1 分

c 3 3 ? 2 , a 2 ? b2 ? c2 又,离心率为 2 ,即 a
解得 a ? 2 , ………………………3 分

x2 ? y2 ? 1 4 故椭圆 C 的方程是
(Ⅱ)当 k ? 0 时,

………………………4 分

椭圆的外切矩形 ABCD 面积为 8. ………………1 分 当 k ? 0 时, 椭圆的外切矩形 ABCD 的边 AB 所在直线方程为 y ? kx ? m ,

?
所以,直线 BC 和 AD 的斜率均为

1 k.

? x2 ? 4 y 2 ? 4 ? y ? kx ? m ,消去 y 得 由?

(4k 2 ? 1) x2 ? 8k m x ? 4m2 ? 4 ? 0
? ? (8km)2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m2 ? 4) ? 0
化简得: m ? 4k ? 1
2 2

………………2



………………3 分
2

所以,直线 AB 方程为 y ? kx ? 4k ? 1 直线 DC 方程为

y ? kx ? 4k 2 ? 1
2 4k 2 ? 1

直线 AB 与直线 DC 之间的距离为

k2 ?1

…………5 分

1 2 4( ? )2 ? 1 2 4 ? k2 k ? 1 2 1 ? k2 (? ) ? 1 k 同理,可求 BC 与 AD 距离为

…………6 分
-8-

S?
则矩形 ABCD 的面积为 由均值定理

2 4k 2 ? 1 2 4 ? k 2 9 ? ?4 4? 1 k2 ?1 1 ? k2 k2 ? 2 ? 2 k
………………9 分

8 ? S ? 10

2 仅当 k ? 1 ,即 k ? ?1 时 S 有最大值 10.

因此,当 k ? ?1 时 S 有最大值 10; 当 K=0 时,S 有最小值 8.
y

………………10 分

(20)(Ⅰ)因为 G( x, y) ? x , x, y ? (0,??)
3 3 由 f ( x) ? G( x ? 3x,1 ) ,则有 x ? 3 x ? 0

………2 分 ………3 分

(? 3, 0) ? ( 3, ? ?) 所以 函数的定义域为
(Ⅱ)因为 G( x, y) ? x , x, y ? (0,??)
y

3 2 3 2 所以 g ( x) ? G(2,log2 ( x ? ax ? bx ? 1)) ? x ? ax ? bx ? 1

log2 ( x 3 ? ax2 ? bx ? 1) ? 0 ,得 x 3 ? ax2 ? bx ? 0 .………2 分
2 ? 因为 g ( x) ? 3x ? 2ax ? b ? ?8 ,得 b ? ?3x ? 2ax ? 8 .

2

所以 x ? ax ? bx ? x ? ax ? x(?3x ? 2ax ? 8) ? ?2 x ? ax ? 8x ? 0
3 2 3 2 2 3 2

存在 x ?[4,8] 使 ? 2x ? ax ? 8 x ? 0 .
3 2
2 所以 2 x ? ax ? 8 ? 0 ,

………4 分

存在 x ?[4,8] 使

a ? ?2 x ?

8 x,

8 a ? (?2 x ? ) max x 所以 ,
?2x ? 8 x 在 x ? [4,8] 上单调递减,

………5 分

由于

所以当 x ? 4 时,

? 2x ?

8 x 有最大值为 ? 10 .

………6 分 ………7 分
-9-

所以, a 的取值范围是 (??, ?10).

? ? (Ⅲ)当 x ? N , y ? N , x ? 2 时,

x ? 1, y ? 2 , 或 x ? 2, y ? 3 时, G( x, y) ? G( y, x) ………1 分
x ≥ 3 时, G( x, y) ? G( y, x)

………3 分

- 10 -


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