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圆锥曲线公式汇总


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92.椭圆 93.椭圆

? x = a cos θ x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y = b sin θ

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 焦半径公式 a2 b2 a2 a2 PF1 = e( x + ) , PF2 = e( ? x) . c c
2 2 x0 y0 + 2 <1. a2 b 2 2 x0 y0 + 2 > 1. a2 b

94.椭圆的的内外部
x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的内部 ? a2 b2 x2 y2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的外部 ? a b

(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

95. 椭圆的切线方程 (1) 椭 圆
x0 x y0 y + 2 = 1. a2 b

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 上 一 点 P( x0 , y0 ) 处 的 切 线 方 程 是 a2 b2

(2) 过椭圆 弦方程是
x0 x y0 y + 2 = 1. a2 b

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点 a2 b2

(3)椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 与 直 线 Ax + By + C = 0 相 切 的 条 件 是 a2 b2

A2 a 2 + B 2 b 2 = c 2 .

96.双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的焦半径公式 a2 b2 a2 a2 PF1 =| e( x + ) | , PF2 =| e( ? x) | . c c
2 2 x0 y0 ? 2 >1. a2 b 2 2 x0 y0 ? 2 <1. a2 b

97.双曲线的内外部
x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的内部 ? a2 b2 x2 y2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的外部 ? a b

(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1 ) 若 双 曲 线 方 程 为
x2 y2 b ? 2 = 0 ? y = ± x. 2 a b a x2 y2 ? =1 ? 渐 近 线 方 程 : a 2 b2

(2) 若 渐 近 线 方 程 为

y=±

x y b ± =0 ? x ? a b a

双曲线可设为

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第三教育网(www.3edu.com)海量教育资源免费下载 x2 y2 ? = λ. a2 b2 x2 y2 x2 y2 ? 2 =1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 = λ a2 b a b ( λ > 0 ,焦点在 x 轴上, λ < 0 ,焦点在 y 轴上).

(3) 若 双 曲 线 与

99. 双曲线的切线方程 (1)双曲线
x0 x y0 y ? 2 = 1. a2 b

x2 y 2 ? = 1(a > 0, b > 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 a 2 b2

(2)过双曲线 切点弦方程是
x0 x y0 y ? 2 = 1. a2 b

x2 y 2 ? = 1(a > 0, b > 0) 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的 a 2 b2

(3)双曲线
A2 a 2 ? B 2 b 2 = c 2 .

x2 y 2 ? = 1(a > 0, b > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 a 2 b2

100. 抛物线 y 2 = 2 px 的焦半径公式 抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 焦半径 CF = x0 + 过焦点弦长 CD = x1 +
p . 2

p p + x 2 + = x1 + x 2 + p . 2 2 2 y 101. 抛 物 线 y 2 = 2 px 上 的 动 点 可 设 为 P ( o , y o ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt )或 2p

P ( xo , yo ) ,其中 yo2 = 2 pxo .
b 2 4ac ? b2 ) + (a ≠ 0) 的图象是抛物 2a 4a b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 + 1 线: 顶点坐标为 (? , (1) ) ; 焦点的坐标为 (? , (2) ); 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 (3)准线方程是 y = . 4a

102.二次函数 y = ax2 + bx + c = a( x +

103.抛物线的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的内部 ? y 2 < 2 px( p > 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的外部 ? y 2 > 2 px( p > 0) . (2)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = ?2 px( p > 0) 的内部 ? y 2 < ?2 px( p > 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = ?2 px( p > 0) 的外部 ? y 2 > ?2 px( p > 0) . (3)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的内部 ? x 2 < 2 py ( p > 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的外部 ? x 2 > 2 py ( p > 0) . (4) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的内部 ? x 2 < 2 py ( p > 0) .
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点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = ?2 py ( p > 0) 的外部 ? x 2 > ?2 py ( p > 0) . 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y 2 = 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y = p( x + x0 ) . (2)过抛物线 y 2 = 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程 是 y0 y = p(x + x0 ) . ( 3 ) 抛 物 线 y 2 = 2 px( p > 0) 与 直 线 Ax + By + C = 0 相 切 的 条 件 是 pB 2 = 2 AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y ) = 0 , f 2 ( x, y ) = 0 的交点的曲线系方程是 f1 ( x, y) + λ f2 ( x, y) = 0 ( λ 为参数).
x2 y2 (2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 2 + =1 , 其 中 a ? k b2 ? k k < max{a 2 , b 2 } . 当 k > min{a 2 , b 2 } 时 , 表 示 椭 圆 ; 当 min{a 2 , b 2 } < k < max{a 2 , b 2 } 时,表示双曲线.

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB = ( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 ) 2 或
AB = (1 + k 2 )( x2 ? x1 ) 2 =| x1 ? x2 | 1 + tan 2 α =| y1 ? y2 | 1 + co t 2 α (弦端点

A ( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) , 由方程 ?

? y = kx + b 消去 y 得到 ax 2 + bx + c = 0 , > 0 , α ? ?F( x , y) = 0

为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). 107.圆锥曲线的两类对称问题 ( 1) 曲 线 F ( x, y ) = 0 关 于 点 P( x0 , y0 ) 成 中 心 对 称 的 曲线 是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y ) = 0 . (2) 曲线 F ( x, y ) = 0 关于直线 Ax + By + C = 0 成轴对称的曲线是
F (x ? 2 A( Ax + By + C ) 2 B ( Ax + By + C ) ,y? ) = 0. 2 2 A +B A2 + B 2

108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ,用 x0 x 代
x 2 ,用 y0 y 代 y 2 ,用 x0 y + xy0 x +x y +y 代 xy ,用 0 代 x ,用 0 代 y 即得方 2 2 2


Ax0 x + B ? x0 y + xy0 x +x y +y + Cy0 y + D ? 0 + E? 0 + F = 0, 曲线的切线, 切点弦, 2 2 2

中点弦,弦中点方程均是此方程得到.

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