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数学竞赛教案


代数式的化简求值问题
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1. “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括 整式、分式、二次根式等内容,是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。 2.用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值,叫做这个代数式的值。 注:一般来说,代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3.求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学

建模的好处,为以后学习方程、函数等知 识打下基础。 二、典型例题

例 1.若多项式 2mx2 ? x 2 ? 5x ? 8 ? 7 x 2 ? 3 y ? 5x 的值与 x 无关, 求 m 2 ? 2m 2 ? ?5m ? 4? ? m 的值. 分析:多项式的值与 x 无关,即含 x 的项系数均为零 因为 2mx2 ? x 2 ? 5x ? 8 ? 7 x 2 ? 3 y ? 5x ? ?2m ? 8?x 2 ? 3 y ? 8 所以 m=4 将 m=4 代人, m 2 ? 2m 2 ? ?5m ? 4? ? m ? ?m 2 ? 4m ? 4 ? ?16 ? 16 ? 4 ? ?4 利用“整体思想”求代数式的值 例 2.x=-2 时,代数式 ax5 ? bx3 ? cx ? 6 的值为 8,求当 x=2 时,代数式
ax5 ? bx3 ? cx ? 6 的值。

?

?

?

?

?

?

?

?

分析: 因为 ax5 ? bx3 ? cx ? 6 ? 8 当 x=-2 时, ? 25 a ? 23 b ? 2c ? 6 ? 8 所以 2 5 a ? 2 3 b ? 2c ? ?8 ? 6 ? ?14 当 x=2 时, ax5 ? bx3 ? cx ? 6 = 25 a ? 23 b ? 2c ? 6 ? (?14) ? 6 ? ?20 例 3.当代数式 x 2 ? 3x ? 5 的值为 7 时,求代数式 3x 2 ? 9 x ? 2 的值. 分析:观察两个代数式的系数 由 x 2 ? 3x ? 5 ? 7 得 x 2 ? 3x ? 2 ,利用方程同解原理,得 3x 2 ? 9 x ? 6 得到 25 a ? 23 b ? 2c ? 6 ? ?8 ,

整体代人, 3x 2 ? 9 x ? 2 ? 4 代数式的求值问题是中考中的热点问题,它的运算技巧、解决问题的方法需要我 们灵活掌握,整体代人的方法就是其中之一。 例 4. 已知 a 2 ? a ? 1 ? 0 ,求 a 3 ? 2a 2 ? 2007的值. 分析:解法一(整体代人) :由 a 2 ? a ? 1 ? 0 所以: a 3 ? 2a 2 ? 2007
? a 3 ? a 2 ? a 2 ? 2007 ? a ? a 2 ? 2007 ? 1:方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型,还具有降次的功 ? 2007 解法二(降次) 能。 ? 2008

得 a3 ? a2 ? a ? 0

由 a 2 ? a ? 1 ? 0 ,得 a 2 ? 1 ? a , 所以:a 3 ? 2a 2 ? 2007
? a 2 a ? 2a 2 ? 2007 ? (1 ? a ) a ? 2a 2 ? 2007 ? a ? a 2 ? 2a 2 ? 2007 ? a ? a 2 ? 2007 ? 1 ? 2007 ? 2008

解法三(降次、消元) : a 2 ? a ? 1 (消元、 、减项)

a 3 ? 2a 2 ? 2007 ? a 3 ? a 2 ? a 2 ? 2007 ? a (a 2 ? a ) ? a 2 ? 2007 ? a ? a 2 ? 2007 ? 1 ? 2007 ? 2008
三、练习

1. (实际应用)A 和 B 两家公司都准备向社会招聘人才,两家公司招聘条件基 本相同,只有工资待遇有如下差异:A 公司,年薪一万元,每年加工龄工资 200 元;B 公司,半年薪五千元,每半年加工龄工资 50 元。从收入的角度考虑,选 择哪家公司有利? 分析:分别列出第一年、第二年、第 n 年的实际收入(元) 第一年:A 公司 10000; B 公司 5000+5050=10050 第二年:A 公司 10200; B 公司 5100+5150=10250

第 n 年:A 公司 10000+200(n-1) ; B 公司:[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50] =10050+200(n-1) 由上可以看出 B 公司的年收入永远比 A 公司多 50 元, 如不细心考察很可能选错。 2.三个数 a、b、c 的积为负数,和为正数,且 x ?

a b c ab ac bc , ? ? ? ? ? a b c ab ac bc

则 ax3 ? bx2 ? cx ? 1 的值是_______ 。 解:因为 abc<0,所以 a、b、c 中只有一个是负数,或三个都是负数 又因为 a+b+c>0,所以 a、b、c 中只有一个是负数。 不妨设 a<0,b>0,c>0 则 ab<0,ac<0,bc>0 所以 x=-1+1+1-1-1+1=0 将 x=0 代入要求的代数式,得到结果为 1。 同理,当 b<0,c<0 时,x=0。 另:观察代数式

a b c ab ac bc ,交换 a、b、c 的位置,我们 ? ? ? ? ? a b c ab ac bc

发现代数式不改变,这样的代数式成为轮换式,我们不用对 a、b、c 再讨论。有 兴趣的同学可以在课下查阅资料,看看轮换式有哪些重要的性质。 规律探索问题: 3.如图,平面内有公共端点的六条射线 OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线 OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字 1,2,3,4,5,6,7,…. A B (1) “17”在射线 ____上, 8 “2008”在射线___________上. 7 2 1 (2)若 n 为正整数,则射线 OA 上数字的排列规律可以用含 n 的 9 3 C 代数式表示为__________________________. 4 O 6 12
10 5

F

分析:OA 上排列的数为:1,7,13,19,… 观察得出,这列数的后一项总比前一项多 6, 归纳得到,这列数可以表示为 6n-5 因为 17=3×6-1,所以 17 在射线 OE 上。 因为 2008=334×6+4=335×6-2,所以 2008 在射线 OD 上 四.作业 1.将正奇数按下表排成 5 列: 第一列 第二列 第一行 1 第二行 15 13 第三行 17 第四行 31 29

11

D

E

第三列 3 11 19 27

第四列 5 9 21 25

第五列 7 23

根据上面规律,2007 应在 A.125 行,3 列 B. 125 行,2 列 C. 251 行,2 列 D. 251 行,5 列 分析:观察第二、三、四列的数的排列规律,发现第三列数规律容易寻找 第三列数: 3,11,19,27, 规律为 8n-5 因为 2007=250×8+7=251×8-1 所以,2007 应该出现在第一列或第五列 又因为第 251 行的排列规律是奇数行,数是从第二列开始从小到大排列, 所以 2007 应该在第 251 行第 5 列 2.定义一种对正整数 n 的“F”运算:①当 n 为奇数时,结果为 3n+5;②当 n 为偶数时,结果为 (其中 k 是使 行.例如,取 n=26,则:
26
F② 第一次
n 2k n 2k

为奇数的正整数) ,并且运算重复进

13

F① 第二次

44

F② 第三次

11

?

若 n=449,则第 449 次“F 运算”的结果是__________. 分析:问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算,即当 n 为偶数时, 结果为 (其中 k 是使 个运算才能结束。
n 2k n 2k

为奇数的正整数) ,要使所得的商为奇数,这

449 奇数,经过“F①”变为 1352;1352 是偶数,经过“F②”变为 169, 169 是奇数,经过“F①”变为 512,512 是偶数,经过“F②”变为 1, 1 是奇数,经过“F①”变为 8,8 是偶数,经过“F②”变为 1, 我们发现之后的规律了,经过多次运算,它的结果将出现 1、8 的交替循环。 再看运算的次数是 449, 奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到 8, 偶数次运算得到 1,
所以,结果是 8。 三、小结

用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。 希望同学们能体会用字母代 替数后思维的扩展,体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般,再由一般到 特殊的重要方法。

最短路径问题
教学目标: (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的 交点即为所求. (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这 条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求. 教学重点: 运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上, 然后用“两点之间 线段最短”解决问题. 教学难点: 利用轴对称解决最值问题应注意题目要 求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系, 通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时,要认真审题,不要只注 意图形而忽略题意要求, 审题不清导致答非所问. 教学过程 一、复习引入: 如图所示,点 A,B 分别是直线 l 异侧的两个点,在 l 上找一个点 C,使 CA+CB 最短,这时 点 C 是直线 l 与 AB 的交点.

二、新课: 如图所示,点 A,B 分别是直线 l 异侧的两个点,在 l 上找一个点 C,使 CA+CB 最短,这时 点 C 是直线 l 与 AB 的交点.

如图所示,点 A,B 分别是直线 l 同侧的两个点,在 l 上找一个点 C,使 CA+CB 最短,这时 先作点 B 关于直线 l 的对称点 B′,则点 C 是直线 l 与 AB′的交点.

为了证明点 C 的位置即为所求,我们不妨在直线上另外任取一点 C′,连接 AC′,BC′, B′C′,证明 AC+CB<AC′+C′B.如下: 证明:由作图可知,点 B 和 B′关于直线 l 对称, 所以直线 l 是线段 BB′的垂直平分线. 因为点 C 与 C′在直线 l 上, 所以 BC=B′C,BC′=B′ C′. 在△AB′C′中,AB′<AC′+B′C′, 所以 AC+B′C<AC′+B′C′, 所以 AC+BC<AC′+C′B. 【例 1】 在图中直线 l 上找到一点 M,使它到 A,B 两点的距离和最小.

分析:先确定其中一个点关于直线 l 的对称点,然后连接对称点和另一个点,与直线 l 的交 点 M 即 为所求的点. 解:如图所示:(1)作点 B 关于直线 l 的对称点 B′; (2)连接 AB′交直线 l 于点 M. (3)则点 M 即为所求的点. 点拨: 2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质, 将所求线段之和转化为一条线段的长, 是解决距离 之和最小问题的基本思路,不论题目如何变化,运用时要抓住直线同旁有两点,这两点 到 直线上某点的距离和最小 这个核心,所有作法都相同. 3.利用平移确定最短路径选址 选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上. 如果两点在一条直线的同侧时, 过两点的 直线与原直线的交点处构成线段的差最大, 如果两点在一条直线的异侧时, 过两点的直线与 原直线的交点处构成的线段的和最小, 都可以用三角形三边关系来推理说明, 通常根据最大 值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决. 解决连接河两岸 的两个点的最短路径问题时,可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零, 转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题. 在解决最短路径问题时, 我们通常利用轴对称、 平移等变换把不在一条直线上的两条线段转 化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题. 三、练习

1 如图,小河边有两个村庄 A,B,要在河边建一自来水厂向 A 村与 B 村供水.

(1)若要使厂部到 A,B 村的距离相等,则应选择在哪建厂? (2)若要使厂部到 A,B 两村的水管最短,应建在什么地方? 2. 如图,从 A 地到 B 地经过一条小河(河岸平行),今欲在河上建一座与两岸垂直的桥,应 如何选择桥的位置才能使从 A 地到 B 地的路程最短?

思路导引:从 A 到 B 要走的路线是 A→M→N→B,如图所示,而 MN 是定值,于是要使路程最 短,只要 AM+BN 最短即可.此时两线段应在同一平行方向上,平移 MN 到 AC,从 C 到 B 应 是余下的路程,连接 BC 的线段即为最短的,此时不难说明点 N 即为建桥位置,MN 即为所建 的桥. 解:(1)如图 2,过点 A 作 AC 垂直于河岸,且使 AC 等于河宽. (2 )连接 BC 与河岸的一边交于点 N. (3)过点 N 作河岸的垂线交另一条河岸于点 M. 则 MN 为所建的桥的位置. 四、小结: 由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知, 求距离之和最小问题, 就是运用 等量代换的方式,把几条线段的和想办法转化在一条线段上,从而解决这个问题,运用轴对 称性质,能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段,如图,AO+BO=AC 的 长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法.

五、作业: 1.茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图 a 所示两直排(图中的 AO,BO),AO 桌面上摆满了橘子,OB 桌面上摆满了糖果,站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后 到 D 处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?

图a 图b 2. 如图所示,A,B 两点在直线 l 的两侧,在 l 上找一点 C,使 点 C 到点 A、B 的距离之差最大.


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