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面面平行的判定与性质


数学.必修 必修2 人教版《数学 必修 》

双曲线的定义及标准方程
平面与平面平行 的判定和性质
授课班级: 高一(1)班 授课班级 高一 班 授课人: 授课人 綦得利 时间: 时间 2008.12.16

一、两个平面的位置关系
前、后两面房顶γ和δ 则有一条交线AB. 相交

δ
第一、 第一、二层的底面α和β 无论怎样延展都没有公共点; 无论怎样延展都没有公共点;

γ
β

α
平行
二层楼房示意图

二、两平面平行: 两平面平行:
1、定义:如果两个平面没有公共点,那 定义:如果两个平面没有公共点, 没有公共点 么这两个平面互相平行,也叫做平行平面. 么这两个平面互相平行,也叫做平行平面.

( )、平面α平行于平面β,记作:α // β . 1

(2)、 画法: (2)、 画法:

α

β

2、判定: 、判定:
探究: 探究:
a
β
a

a // α

β
α

α

(两平面平行) (两平面相交) 两平面平行) 两平面相交)

( )、若β内有一条直线a与α 平行, 1 则β 与α 平行。
命题错误

×

探究: 探究:

(2)、若β内有两条直线a、b分别与α 平行, 则β 与α 是否平行?
β
a b

β

a b

β

P

b a

α

α

α

(两平面平行) (两平面相交) 两平面平行) 两平面相交)

探究: 探究:
假设
a

α

b

m

β

a ?α a?β a / /β

α ∩β =m

}

? a / /m

同理:b//m

矛盾

三、两个平面平行的判定
判定定理: 判定定理:一个平面内两条相交直 线与另一个平面平行, 线与另一个平面平行,则这两个平面平 行. P

符号语言:

a?β ? ? b?β ? ? a ∩ b = P ? ? β / /α ? a / /α ? b / /α ? ?

判定定理:一个平面内两条相交直线分别 判定定理 一个平面内两条相交直线分别 一个平面内两条相交直线 平行于另一个平面 那么这两个平面平行. 另一个平面, 平行于另一个平面,那么这两个平面平行
判定定理剖析: 判定定理剖析:

?1〉两条 ? 条件要点:β内有?2〉相交 直线 ?3〉分别和α平行 ? 结论:β // α

β

P

b a

α

证题思路:要证明两平面平行,关键是在其中 证题思路:要证明两平面平行,关键是在其中 一个平面内找出 找出两条相交直线分别平行于另一 一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一 个平面. 个平面.
化归思想

化归思想
面面平行 线面平行

三棱锥P-ABC中D,E,F分别 例1、 已知 三棱锥 、 已知:三棱锥 中 分别 是棱PA,PB,PC的中点 的中点 是棱 求证:平面 平面ABD 求证 平面DEF//平面 平面 平面
证明:在△PAB中, 因为 所以
又知 因此
P

D,E分别是PA,PB的中点, DE//AB.
DE ? 平 面 ABC D E / /平 面 A B C
D E A C B F

同理 所以
化归思想

EF//平面ABC 平面DEF//平面 平面ABD 平面 平面

又因为 DE ∩ EF = E,

化归思想
面面平行 线面平行

线线平行
推论: 推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行 于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行. 于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行

三棱锥P-ABC中D,E,F分别 例1、 已知 三棱锥 、 已知:三棱锥 中 分别 是棱PA,PB,PC的中点 的中点 是棱 求证:平面 平面ABC 求证 平面DEF//平面 平面 平面
证明:在△PAB中, 因为 所以 同理 D,E分别是PA,PB的中点, DE//AB. EF//BC
D E A C B
性质

P

F

又因为 DE ∩ EF = E,

又知
所以

DE ? 平面ABC EF ? 平面ABC

平面DEF//平面 平面ABD 平面 平面

三、两个平面平行的性质
如果两个平面平行, 如果两个平面平行, 那么: 那么
(1)一个平面内的直线是否 平 行于另一个平面? 行于另一个平面 (2)分别在两个平面内的两 条直线不一定平行。 条直线不一定平行。

a

α
b
β

b′

结论: 、如果两个平面平行, 结论:1、如果两个平面平行,那么一个平面内 的直线一定平行于另一个平面。 的直线一定平行于另一个平面。
化归思想

化归思想
面面平行 线面平行

线线平行

两个平面平行的性质定理 :
结论: 结论:2、 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交, 第三个平面相交,那么它们的交线平 行. 已知: 已知 α ∥β , α ∩ γ = a, β ∩ γ = b. 求证: 求证 证明: 证明 因为α∥β ,

a∥ b

γ

没有公共点, 所以α 与 β 没有公共点

α
β

a
b

也没有公共点, 因而交线 a,b也没有公共点 又因为 a , b都在平面 所以 a ∥ . b
化归思想

γ 内,

化归思想
面面平行 线面平行

线线平行

例2 已知:如图,α //β,点P是平面α,β外一点,直线PAB, PCD分别与α,β相交于点A,B和C,D: 求证:(1)AC//BD; (2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长。
P

C

α

A

D

β

B

课堂小结
? 一个概念
1.两个平面平行的定义 两个平面平行的定义; 两个平面平行的定义

? 两个定理
1.面面平行的判定定理☆ ☆ 2.面面平行的性质定理☆ ☆

α

a ? ? A b γ

判定定理 一个平面内两条相交直线分别平行于另 一个平面,那么这两个平面平行. 一个平面,那么这两个平面平行 ? 一个思想---化归思想 一个思想---化归思想 --β直线b 推论:如果一个平面内有两条 两条相交 推论 、如果两个平面平行, 相交直线分别平行于 结论:1、如果两个平面平行,那么一个平面的直线 结论::如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 面面平行 线面平行 另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行 另一个平面内的两条直线 一定平行于另一个平面。 一定平行于另一个平面。 ,那么这两个平面平行. 结论: 、如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 结论:2、如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 线线平行. 那么它们的交线平行. 那么它们的交线平行

αβ 判定定理:一个平面内两条相交直线分别平行于另 判定定理 一个平面内两条相交直线分别平行于另

a

作业
? 必做 教材 必做:教材 教材45~46页 习题 页 习题1~5 ? 选做:教材 页 10 选做 教材46页 教材

4.已知两条直线和三个平 4.已知两条直线和三个平 A 行平面都相交, 行平面都相交,求证所截 α 得的线段对应成比例. 得的线段对应成比例. 已知: α ∥ β ∥γ , 直线a 和 b 分别交 已知 B
于点A、 、 和点 和点D、 、 , 于点 、B、C和点 、E、F,

a

b
?D

求证: 求证

AB DE = BC EF

β

E1
F1

?E

分析: 过点A作平行直线 分析 过点 作平行直线 b 的直 线交 β , γ 于点 E1 和 F1 , 连接 BE1 , CF1 , AD, EE1 ,和FF1.

γ

C

?

F

F D 3.如图 设E,F,E1,F1分别 如图,设 如图 E 是长方体ABCD-A1B1C1D1 A 是长方体 F 的棱AB,CD,A1B1,C1D1的 的棱 D 中点. 中点 A E 求证:平面 平面BF 平面ED 求证 平面 1 ∥平面 1 . 证明: 证明 A1 E1∥ EB ? A1 EBE1是平行四边形 = ? AE∥EB 1 1 A1E ? 平面ED1 ? E1 B∥平面ED1 E1B ? 平面ED1 同理可得E1 F1 ∥ 平面ED1 E1B ∩ E1F1 = E1 ? 平面BF1∥ 平 面 ED1 .
1 1 1

1

C1 B1 C B

4.求证 夹在两个平行平 求证:夹在两个平行平 求证 面间的平行线段相等. 面间的平行线段相等

B

已知: 已知 α ∥β , AA′∥BB′, A ∈ α , A′ ∈ β , B ∈ α , B′ ∈ β . γ B′ 求证: 求证 AA′ = BB′ β A′ 证明: 证明 连结AB, A′B′. 因为AA∥BB′, ′ 所以经过AA′,BB′能确定一个平面,记为平面γ .

α

A

? AA′B′B是平行四边形 ? AA′ = BB′.

α ∩ γ = AB β ∩ γ = A′B′ ? AB∥ A′B′ AA′∥BB′ α∥β


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