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2982-高中数学必修一《新课程指数函数集体备课中心发言稿》教案


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新课程《指数函数》集体备课中心发言稿(王良焊) 一、教材内容 1. 通过具体实例,如细胞分裂、考古中碳 14 的衰减,了解指数和指数函数模型的实际背 景。 2. 理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解指数幂的意义,掌握幂的运算。 3. 理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像,探索并 理

解指数函数的单调性与特殊点。 4. 在解决简单的实际问题过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。 (2)旧教材 1.理解分数指数的概念,理解有理指数幂的运算性质。 2.掌握指数函数的概念、图像和性质。 (3)比较: 1.加强了指数函数模型的背景和应用的要求。 2.提出了与信息技术整合的要求。 二、教学要求 (1)基本要求 1.了解指数函数模型的实际背景,认识学习指数函数的必要性。 2.理解 n 次方根和 n 次根式的概念,理解分数指数幂的含义,熟练掌握用根式与分数指数幂 表示一个正实数的算术根。 3.能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简,会进行根式与分数指数幂的相互转化。 4.通过经历用有理指数逼近无理指数幂的过程,了解实数指数幂的含义。 5.理解指数函数的概念和含义。 6.能用描点法或借助计算机画出指数函数的图像,探索并理解指数函数的性质(定义域,值 域,特殊点,单调性) 。 7.在解决简单的实际问题过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。 (2)发展要求 1.会求一类与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等; 2.了解函数图像的平移与对称变换; 3.体会函数逼近、数形结合等思想;体验数学概念的发生、发展过程,在引导学生观察、分 析、抽象、概括的过程中,培养学生的思维能力。 三、教学建议 1.课时分配 2.1.1 引言、指数与指数幂的运算 (约 3 课时) 2.1.2 指数函数及其性质 (约 3 课时) 2.重点和难点 以指数函数的概念、图像和性质为重点,以对非整数指数幂意义的了解,特别是对无理指 数幂意义的了解作为难点。 四、新课程理念 1、强调对函数核心概念的本质的认识,体现函数是现实世界的重要模型 在第一章所建立的函数概念的指导下,需要大量的具体函数模型的支撑。本章的指数函 数等三类基本函数的研究丰富了函数的概念, 加强了有相同性质函数之间的联系, 如函数的 增长性,有线性的、二次的、指数的、对数的等各种不同的增长模式。教材试图引导学生不 断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本函数模型, 体验指数函数等函数与现实世界的 密切联系和它在刻画现实问题中的作用。

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2、加强知识背景、提高问题意识和应用意识 新课程将知识内容问题化,实际上是将那种从定义到概念处理,再用概念和原理解决 问题的演绎式教材体系,转化为问题引导的,体现知识发生、发展过程的,再从大量的、丰 富的具体实例中通过归纳概括而获得数学的概念和法则的归纳式的教材体系。 本章强调以问 题激发学生的学习动机与兴趣,引导学生的认知冲突,使他们带着问题去学习,本章的每一 个概念的产生过程中,都注意了通过具体的实例,展现数学模型的实际背景,使学生理解不 同的变化现象应当用不同的函数模型来描述。新教材 A 版 P54 的章头图的鱼化石问题,以 及 P56 指数函数学习开篇的增长率问题,和半衰期问题,他们的提出、解决的过程贯穿始 终。这些实例又体现了“数学源于生活,数学用于生活”的理念。 3.强调学生的学生的动手操作和主动参与意识 为了促进学生主动学习, 提高他们的分析和解决问题的能力, 教材充分重视为学生提供 动手操作与主动参与的机会。例如,在无理指数幂的学习中,不仅让学生根据提供的数据表 格,观察无理指数幂是怎样勇有理指数幂来逼近的,同时还安排了“思考” ,让学生自己动 手制表、观察并说明含义。又如,在绘制指数函数与对数函数图像的过程中,新教材中没有 提供完整的自变量与函数的对应值表,而是留空让学生自己填空。 四、具体案例(以§2.1.2 指数函数及其性质为例) 一、教学目标 1.知识技能 (1)理解指数函数的的概念和意义 (2)能用描点法或借助计算机画出指数函数的图像,探索并理解指数函数的性质(定义 域,值域,特殊点,单调性) 。 2.过程与方法 通过研究具体的指数函数,从特殊到一般,研究和归纳指数函数的基本性质。 3.情感、态度和价值观 在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程、数形 结合的方法等. 二、重点和难点 重点:指数函数的的概念和性质. 难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 三、教学过程 (1).实例导入 1. (合作讨论)人口问题是全球性问题,由于全球人口迅猛增加,已引起全世界关 注.世界人口 2000 年大约是 60 亿,而且以每年 1.3%的增长率增长,按照这种增长 速度,到 2050 年世界人口将达到 100 多亿,大有“人口爆炸”的趋势.为此,全 球范围内敲起了人口警钟,并把每年的 7 月 11 日定为“世界人口日” ,呼吁各国要 控制人口增长.为了控制人口过快增长,许多国家都实行了计划生育. 我国人口问题更为突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育着 22%的 世界人口.因此,中国的人口问题是公认的社会问题.2000 年第五次人口普查, 中国人口已达到 13 亿,年增长率约为 1%.为了有效地控制人口过快增长,实行 计划生育成为我国一项基本国策. 1 ○ 按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年起,x 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍? 2 ○ 到 2050 年我国的人口将达到多少? 3 ○ 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响?

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2. 上一节中 GDP 问题中时间 x 与 GDP 值 y 的对应关系 y=1.073x(x∈N*,x≤20)能 否构成函数? 3. 一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的 84%,那么以 时间 x 年为自变量,残留量 y 的函数关系式是什么? 4. 上面的几个函数有什么共同特征? (2).新课教学 (一)指数函数的概念 一般地,函数 y = a x (a > 0, 且a ≠ 1) 叫做指数函数(exponential function) ,其中 x 是自 变量,函数的定义域为 R. 1 注意:○ 指数函数的定义是一个形式定义,要引导学生辨析; 2 ○ 注意指数函数的底数的取值范围,引导学生分析底数为什么不能是负数、0 和 1. (二)指数函数的图象和性质 问 题: 你能类比前面讨论函数性质时的思路, 提出研究指数函数性质的内容和方法吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 探索研究: 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1) y = ( )

1 x 3 1 x (2) y = ( ) 2
(3) y = 2 x (4) y = 3 x

(5) y = 5 x 2. 从画出的图象中你能发现函数 y = 2 x 的图象和函数 y = ( ) 的图象有什么关系?可
x

1 2

否利用 y = 2 x 的图象画出 y = ( ) 的图象?
x

1 2

3.从画出的图象( y = 2 x 、 y = 3 x 和 y = 5 x )中,你能发现函数的图象与其底数之间 有什么样的规律? 4.你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗? 图象特征 函数性质

a >1

0 < a <1

a >1

0 < a <1
非奇非偶函数

向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方

函数的定义域为 R 函数的值域为 R+

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函数图象都过定点(0,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 图象上升趋势是越 来越陡 自左向右看, 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越 来越缓 增函数

a0 = 1
减函数

x > 0, a x > 1 x < 0, a x < 1
函数值开始增长较 慢,到了某一值后 增长速度极快;

x > 0, a x < 1 x < 0, a x > 1
函数值开始减小极 快,到了某一值后 减小速度较慢;

5. 利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f ( x ) = a x (a > 0且a ≠ 1) 值域是 [f (a ), f ( b)] 或 [f ( b), f (a )] ; (2)若 x ≠ 0 ,则 f ( x ) ≠ 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ∈ R ; (3)对于指数函数 f ( x ) = a x (a > 0且a ≠ 1) ,总有 f (1) = a ; (4)当 a > 1 时,若 x 1 < x 2 ,则 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) ; (三)典型例题 例 1. (教材 P62 例 6) . 解: (略) 问题:你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗? 例 2. (教材 P62 例 7) 解: (略) 问题:你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小? 说明:规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式. 巩固练习: (教材 P65 习题 2.1A 组第 7 题) (四)归纳小结、强化思想 本节主要学习了指数函数的图象,及利用图象研究函数性质的方法. (五)作业布置 1. 必做题:教材 P65 习题 2.1(A 组) 第 5、6、8、12 题. 2. 选做题:教材 P66 习题 2.1(B 组) 第 1 题.


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