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新课程标准数学选修1-1第一章课后习题解答[唐金制]


新课程标准数学选修 1—1 第一章课后习题解答
第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 练习(P4) 1、略. 2、 (1)真; (2)假; (3)真; (4)真. 3、 (1)若一个三角形是等腰三角形,则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题. (2)若一个函数是偶函数,则这个函数的图象关于 y 轴对称. 这是真命题. (3)若两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行. 这是假命题. 练习(P6) 1、逆命题:若一个整数能被 5 整除,则这个整数的末位数字是 0. 这是假命题. 否命题:若一个整数的末位数字不是 0,则这个整数不能被 5 整除. 这是假命题. 逆否命题:若一个整数不能被 5 整除,则这个整数的末位数字不是 0. 这是真命题. 2、逆命题:若一个三角形有两个角相等,则这个三角形有两条边相等. 这是真命题. 否命题:若一个三角形有两条边不相等,这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题. 逆否命题: 若一个三角形有两个角不相等, 则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题. 3、逆命题:图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题. 否命题:不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题. 逆否命题:图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题. 练习(P8) 证明:若 a ? b ? 1 ,则 a2 ? b2 ? 2a ? 4b ? 3

? (a ? b ) a ? b ? a ? b ? )b ?2 ( ) 2( ? a?b?2? 2 ? 3 b ? a ? b ?1 ? 0

3

所以,原命题的逆否命题是真命题,从而原命题也是真命题. 习题 1.1 A 组(P8) 1、 (1)是; (2)是; (3)不是; (4)不是. 2、 (1)逆命题:若两个整数 a 与 b 的和 a ? b 是偶数,则 a , b 都是偶数. 这是假命题. 否命题:若两个整数 a , b 不都是偶数,则 a ? b 不是偶数. 这是假命题. 逆否命题:若两个整数 a 与 b 的和 a ? b 不是偶数,则 a , b 不都是偶数. 这是真命题. (2)逆命题:若方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实数根,则 m ? 0 . 这是假命题. 否命题:若 m ? 0 ,则方程 x 2 ? x ? m ? 0 没有实数根. 这是假命题. 逆否命题:若方程 x 2 ? x ? m ? 0 没有实数根,则 m ? 0 . 这是真命题. 3、 (1)命题可以改写成:若一个点在线段的垂直平分线上,则这个点到线段的两个端点的 距离相等. 逆命题:若一个点到线段的两个端点的距离相等,则这个点在线段的垂直平分线上. 这是真命题.
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否命题:若一个点到不在线段的垂直平分线上,则这个点到线段的两个端点的距离不 相等. 这是真命题. 逆否命题:若一个点到线段的两个端点的距离不相等,则这个点不在线段的垂直平分 线上. 这是真命题. (2)命题可以改写成:若一个四边形是矩形,则四边形的对角线相等. 逆命题:若四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形. 这是假命题. 否命题:若一个四边形不是矩形,则四边形的对角线不相等. 这是假命题. 逆否命题:若四边形的对角线不相等,则这个四边形不是矩形. 这是真命题. 4、证明:如果一个三角形的两边所对的角相等,根据等腰三角形的判定定理,这个三角形 是等腰三角形,且这两条边是等腰三角形,也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否 命题,表明原命题的逆否命题为真命题. 所以,原命题也是真命题. 习题 1.1 B 组(P8) 证明:要证的命题可以改写成“若 p ,则 q ”的形式: 若圆的两条弦不是直径,则它们不能互相平分. 此命题的逆否命题是:若圆的两条相交弦互相平分,则这两条相交弦是圆的两条直径. 可以先证明此逆否命题:设 AB, CD 是 ? O 的两条互相平分的相交弦,交点是 E ,若 E 和圆 心 O 重合,则 AB, CD 是经过圆心 O 的弦, AB, CD 是两条直径. 若 E 和圆心 O 不重合,连结

AO, BO, CO 和 DO , OE 是等腰 ?AOB ,?COD 的底边上中线, 则 所以,OE ? AB ,OE ? CD .
AB 和 CD 都经过点 E , 且与 OE 垂直, 这是不可能的. 所以,E 和 O 必然重合. 即 AB 和 CD 是 圆的两条直径. 原命题的逆否命题得证,由互为逆否命题的相同真假性,知原命题是真命题. 1.2 充分条件与必要条件 练习(P10) 1、 (1) ? ; (2) ? ; (3) ? ; (4) ? . 2、 (1). 3、 (1). 4、 (1)真; (2)真; (3)假; (4)真. 练习(P12)

1、 (1)原命题和它的逆命题都是真命题, p 是 q 的充要条件; (2)原命题和它的逆命题都是真命题, p 是 q 的充要条件; (3)原命题是假命题,逆命题是真命题, p 是 q 的必要条件. 2、 (1) p 是 q 的必要条件; (2) p 是 q 的充分条件; (3) p 是 q 的充要条件; (4) p 是 q 的充要条件. 习题 1.2 A 组(P12) 1、略. 2、 (1)假; (2)真; 3、 (1)充分条件,或充分不必要条件; (3)既不是充分条件,也不是必要条件; 4、充要条件是 a 2 ? b2 ? r 2 .
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(3)真. (2)充要条件; (4)充分条件,或充分不必要条件.

习题 1.2 B 组(P13) 1、 (1)充分条件; (2)必要条件;

(3)充要条件.

2、证明: (1)充分性:如果 a 2 ? b2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc ,那么 a 2 ? b2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc ? 0 . 所以 (a ? b)2 ? (a ? c)2 ? (b ? c)2 ? 0 所以, a ? b ? 0 , a ? c ? 0 , b ? c ? 0 . 即 a ? b ? c ,所以, ?ABC 是等边三角形. (2)必要性:如果 ?ABC 是等边三角形,那么 a ? b ? c 所以 (a ? b)2 ? (a ? c)2 ? (b ? c)2 ? 0 所以 a 2 ? b2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc ? 0 所以 a 2 ? b2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc 1.3 简单的逻辑联结词 练习(P18) 1、 (1) 4 ?{2,3} 或 2 ?{2,3} ,真命题; (2) 4 ?{2,3} 且 2 ?{2,3} ,假;

(3)2 是偶数或 3 不是素数,真命题; (4)2 是偶数且 3 不是素数,假命题. 2、 (1)真; (2)假. 3、 (1) 2 ? 2 ? 5 ,真命题; (3) ( ?1) 2 ? ?1 ,真命题. 习题 1.3 A 组(P18) 1、 (1) 4 ?{2,3} 或 2 ?{2,3} ,真命题; (2) 4 ?{2,3} 且 2 ?{2,3} ,假命题; (2)3 不是方程 x 2 ? 9 ? 0 的根,假命题;

(3)2 是偶数或 3 不是素数,真命题; (4)2 是偶数且 3 不是素数,假命题. 2、 (1)真命题; (2)真命题; (3)假命题. 3、 (1) 2 不是有理数,真命题; (2)5 是 15 的约数,真命题;

(3) 2 ? 3 ,假命题; (4) 8 ? 7 ? 15 ,真命题; (5)空集不是任何集合的真子集,真命题. 习题 1.3 B 组(P18) (1)真命题. 因为 p 为真命题, q 为真命题,所以 p ? q 为真命题; (2)真命题. 因为 p 为真命题, q 为真命题,所以 p ? q 为真命题; (3)假命题. 因为 p 为假命题, q 为假命题,所以 p ? q 为假命题; (4)假命题. 因为 p 为假命题, q 为假命题,所以 p ? q 为假命题. 1.4 全称量词与存在量词 练习(P23) 1、 (1)真命题; (2)假命题;

(3)假命题.

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2、 (1)真命题; (2)真命题; 练习(P26) 1、 (1) ?n0 ? Z , n0 ? Q ;

(3)真命题.

(2)存在一个素数,它不是奇数;

(3)存在一个指数函数,它不是单调函数. 2、 (1)所有三角形都不是直角三角形; (2)每个梯形都不是等腰梯形; (3)所有实数的绝对值都是正数. 习题 1.4 A 组(P26) 1、 (1)真命题; (2)真命题; (3)真命题; (4)假命题. 2、 (1)真命题; (2)真命题; (3)真命题.
3 2 3、 (1) ?x0 ? N , x0 ? x0 ;

(2)存在一个可以被 5 整除的整数,末位数字不是 0; (4)所有四边形的对角线不互相垂直.

(3) ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ; 习题 1.4 B 组(P27)

(1)假命题. 存在一条直线,它在 y 轴上没有截距; (2)假命题. 存在一个二次函数,它的图象与 x 轴不相交; (3)假命题. 每个三角形的内角和不小于 180? ; (4)真命题. 每个四边形都有外接圆.

第一章 复习参考题 A 组(P30)
1、原命题可以写为:若一个三角形是等边三角形,则此三角形的三个内角相等. 逆命题:若一个三角形的三个内角相等,则此三角形是等边三角形. 是真命题; 否命题:若一个三角形不是等边三角形,则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题; 逆否命题:若一个三角形的三个内角不全相等,则此三角形不是等边三角形. 是真命题. 2、略. 3、 (1)假; (2)假; (3)假; (4)假. 4、 (1)真; (2)真; (3)假; (4)真; (5)真. 5、 (1) ?n ? N? , n2 ? 0 ; (2) ?P ?{P P 在圆 x2 ? y 2 ? r 2 上 } , OP ? r (O 为圆心 ) ;

(3) ?( x, y) ?{( x, y) x, y 是整数 } , 2 x ? 4 y ? 3 ;
3 (4) ?x0 ?{x x 是无理数 } , x0 ?{y y 是有理数 } .

6、 (1) 3 ? 2 ;

(2) 5 ? 4 ; (3) ?x0 ? R, x0 ? 0 ;

(4)存在一个正方形,它不是平行四边形.

第一章 复习参考题 B 组(P31)
1、 (1) p ? q ; (2) (?p) ? (?q) ,或 ?( p ? q) .

2、 (1) ?Rt ?ABC , ?C ? 90? , ?A, ?B, ?C 的对边分别是 a, b, c ,则 c 2 ? a 2 ? b2 ; (2) ??ABC , ?A, ?B, ?C 的对边分别是 a, b, c ,则

a b c ? ? . sin A sin B sin C

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