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2016年广东自主招生数学模拟试题:等比数列的概念与通项公式


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2016 年广东自主招生数学模拟试题:等比数列的概念与通项公式
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1:各项不为零的等差数列 ( ) A、2 B、4 C、 8 D、16

中,

/>
,数列

是等比数列,且

,则

2:设等比数列 A、

的前

项和为

,若

,则

( )

B、

C、 D、

3:

已知两数列 则 与



的各项均为正数,且数列 )

为等差数列,数列

为等比数列,若



的大小关系为(

A、

B、

C、

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D、 与 大小不确定

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4:某人自 2006 年起,每年 月 日到银行新存入 元(一年定期),若年利率为 保持不变,且每年到期存款自动 转存为新的一年定期,到 2010 年 月 日不再存入,并将所有存款及利息全部取出,则他可取回的钱数为(单 位为元) ( ) A、 B、 C、 D、

5:给出命题 p:若“

,则△ ABC 为锐角三角形”;命题 q:“实数

满足

,则



等比数列”。那么下列结论正确的是( ) A、p 且 q 与 p 或 q 都为真 B、p 且 q 为真而 p 或 q 为假 C、p 且 q 为假且 p 或 q 为假 D、p 且 q 为假且 p 或 q 为真

6: 已知数列 ,则

为等差数列, 首项 。

, 公差

, 若

成等比数列, 且





7:在等比数列{a n}中,若 a 1+a 2+a 3=8,a 4+a 5+a 6=-4,则





8:已知等比数列{ an}是递增数列, Sn 是{ an}的前 n 项和。若 a 1, a 3 是方程 x -5 x+4=0 的两个根,则 S
6=________.

2

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9:若等比数列 的各项均为正数,且 ,则

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.

10:若数列{a n}的前 n 项和为 S n=

a n+

,则数列{a n}的通项公式是 a n=________.

11:已知函数 且 (1)证明: (2)求 和 , 为等比数列 的通项公式。

(

,且

),



12:在等比数列

中,

(1)求等比{a n}的通项公式

(2)令 b n=

(n∈N+),求数列的前 n 项和。

13:在数列 满足条件: (1)求数列

中,任意相邻两项为坐标的点 . 的通项公式; (4 分)

均在直线

上,数列

(2)若



成立的正整数

的最小值. (8 分)

14:已知数列 (1)若 (2)是否存在

满足 成等比数列,求 ,使数列

, 的值;





为等差数列?若存在,求出所有这样的

;若不存在,说明理由。

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15:

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(15 分)已知数列

中,

.

(1)试写出数列

的前三项;

(2)求证:数列

是等比数列,并求数列

的通项公式;

(3)设

,记数列

的前 n 项和为

,求

的取值范围.

答案部分

1、D

试题分析:由等差数列的性质得 数列的性质得 考点:等差数列和等比数列性质的应用.

,由于各项不为零,因此



,由等比

2、B

解:因为在等比数列

的前

项和为

,且有

,利用等比数列的性质可知



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3、B

由题意,



∵数列

的各项均为正数,



∴ 故选:B、



4、B 略

5、C

试题分析:因为 时满足

,所以角 ,但

为钝角,所以

为钝角三角形,所以命题 是假命题;所以选 C

为假命题;当

不成等比数列,所以命题

考点:命题真假的判断及其关系。

6、 14.























差 , 又













成等比数列,

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所以有 ,且 ,所以 ,解得 14. ,则可得

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,而

考点:等差数列的通项公式,等比数列的定义.

7、 2

试题分析:因为

,所以

考点:等比数列通项。

8、 63 ∵ a 1, a 3 是方程 x -5 x+4=0 的两根,且 q>1, ∴ a 1=1, a 3=4,则公比 q=2,
2

因此 S 6=

=63.

9、 50.

试 题 分 析 : 根 据 等 比 数 列 的 性 质 有 . 考点:等比数列的性质,对数运算性质.

, 又

10、 (-2)

n

-1

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当 n=1 时,a 1=1;当 n≥2 时,

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a n=S n-S n

-1=

a n-

an

-1,



=-2,故 a n=(-2)

n

-1

.

11、 (1)见解析(2) (1)证明: 所以: 且 是以 4 为首项,以 2 为公比的等比数列 ,

(2 ) :由(1)可以得到 故

=-2+

12、 (1)=2

n

(2)

(1)根据所给的项求出公比,代入等比数列的通项公式即可求出通项;(2)先求出数列的通项,然后利用裂项求 和的思想求出前 n 项和。
n

(1)因为

解得 q=2,∴

=2

(1) b n=

=





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13、 (1)依题意 , --------------------(2 分)

,

数列

是以 2 为首项,2 为公比的等比数列

-----------------------------(4 分)

(2)

,

以上两式相减得 ,即 又当 所以当 故使 略 时, 时,

------------------------------(8 分) ,

成立的正整数的最小值为 5.-------------------(12 分)

14、 (1)

; (2)存在,当 a 1=1 时,数列{a n}为等差数列。

试题分析: (1)首先利用递推公式把

都用

表示,再根据

成等比数列,列方程解出

的值.

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(2 ) 对于这类开放性问题, 处理的策略就是先假设存在 a 1, 使数列{a n}为等差数列, 与 (1 ) 类似, 根据 成等差数列,有 {a n}为等差数列. 试题解析: (1)∵0<a 1<2, ∴a 2=2-|a 1|=2-a 1,a 3=2-|a 2|=2-|2-a 1|=2-(2-a 1)=a 1。 ∵a 1,a 2,a 3 成等比数列, ∴a 2 =a 1a 3,即(2-a 1) =a 1 , 解得 a 1=1。 6分
2 2 2

,从面得到关于

的方程,方程若有解则存在,否则可认为不存在 a 1,使数列

(2)假设这样的等差数列存在,则 由 2a 2=a 1+a 3,得 2(2-a 1)=2a 1, 解得 a 1=1。 从而 a n=1(n∈N ) ,此时{a n}是一个等差数列; 因此,当且仅当 a 1=1 时,数列{a n}为等差数列。 考点:等差数列、等比数列的定义. 12 分
*

15、(1)

(2)见解析(3)

(1)∵

,∴

.

(2)证明:∵

,∴数列

是公比为 4 的等比数列,



,∴

.

(3)∵



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是关于 n(n∈N*)的单调递增函数,

∴n=1 时,

有最小值

时,

.



的取值范围是

.


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