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重庆市重庆一中2017届高三上学期半期考试试题 数学(文)


秘密★启用前

2016 年重庆一中高 2017 级高三上期半期考试

数学试题卷(文科)2016.11
数学试题共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡

皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.已知

z ? 2 ? i ,则复数 z ? () 1? i

A. ?1 ? 3i B. 1 ? 3i C. ?1 ? 3i D. 1 ? 3i 2. ( 改 编 ) 设 全 集 I 是 实 数 集 R , M ? x x ? 3

?

?



,则阴影部分 N ? ?x ( x ? 3)(x ?1) ? 0? 都是 I 的子集(如图所示) 所表示的集合为() A. x 1 ? x ? 3 C. x 1 ? x ? 3

?

?

B. x 1 ? x ? 3

?

? ?

?

?

D. x 1 ? x ? 3
? ?

?

3.(原创)已知直线方程为 cos300 x ? sin 300 y ? 3, 则直线的倾斜角为() A. 60?
2

B. 60? 或300? C. 30? D. 30? 或330?

4.(原创)函数 f ( x) ? x ? x sin x 的图象关于() A.坐标原点对称 B.直线 y ? ? x 对称 C. y 轴对称 D.直线 y ? x 对称

5.点 (?1,?2) 关于直线 x ? y ? 1 对称的点坐标是()

A.(3,2) B. (?3,?2) C. (?1,?2)

D. (2,3)

6.已知某棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的表面积为()
·1·

5 5 C. 2 ? D. 3 ? 5 2 2 x 7.已知函数 f ( x) ? 3 ? x, g ( x) ? log3 x ? x, h( x) ? log3 x ? 3 的零点依次为 a, b, c ,则 A. c ? b ? a B. a ? b ? c C. c ? a ? b D. b ? a ? c
A. 2 ? 5 B. 3 ? 8.(改编)重庆市乘坐出租车的收费办法如下: ⑴不超过 3 千米的里程收费 10 元; ⑵超过 3 千米的里程按每千米 2 元收费(对于其中不足千 米的部分,若其小于 0.5 千米则不收费,若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费) ; 当车程超过 3 千米时,另收燃油附加费 1 元. 相应系统收费的程序框图如图所示,其中 x (单位:千米)为行驶 里程, y (单位:元)为所收费用,用 x 表示不大于 x 的最大整 数,则图中①处应填()

? ?

1? ? A.y ? 2? x ? ? ? 4 2? ?
C. y ? 2? x ? ? ? 4 2

B. y ? 2? x ? ? ? 5 2

? ?

1? ?

? ?

1? ?

D. y ? 2? x ? ? ? 5 2

? ?

1? ?

x ?1 ? ? y?3 9.若不等式组 ? 表示的平面区域经过所有四个象限,则实数 ? 的取值范围是() ?2 x ? y ? ? ? 2 ? 0 ?
A. ?? ?,4? ? ? B. ?1,2? C. ?2,4? D. (2,??)

10.已知在 ?ABC 中, ?ACB ? 90? , BC ? 6, AC ? 8 , P 是线段 AB 上的点,则 P 到 AC , BC 的 距离的乘积的最大值为() A.12 B.8 C. 8 3 D.36

11.当曲线 y ? ? 4 ? x 2 与直线 kx ? y ? 2k ? 4 ? 0 有两个相异的交点时,实数 k 的取值范围是() A. (0, )

3 4

B. (

5 3 , ] 12 4
2

C. ( ,1]

3 4

D. ( , ?? )

3 4

12.已知函数 f ( x) ? ?3 ln x ? ax ? bx(a ? 0, b ? R) ,若对任意 x ? 0 都有 f ( x) ? f (3) 成立,则() A. ln a ? ?b ? 1 B. ln a ? ?b ? 1 C. ln a ? ?b ? 1 D. ln a ? ?b ? 1

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 ~ 第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22
·2·

题 ~ 第 23 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.已知某长方体的长宽高分别为 2,1,2 ,则该长方体外接球的体积为 14.若函数 y ? (log 1 a) x 在 R 上是减函数,则实数 a 取值集合是
2

15.圆锥的侧面积与过轴的截面积之比为 2? ,则母线与轴的夹角大小为

?2(1 ? x),0 ? x ? 1 f ( x) ? ? ? x ? 1,1 ? x ? 2 ,如果对任意的 n ? N * ,定义 16.已知函数

f n( x) ? f { f [ f ? f ( x)]} ,例如: f 2 ( x) ? f ( f ( x)) ,那么 f 2016 (2) 的值为 ??? ??? ?
n个f

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) (原创)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2 , a2 为整数,且 a3 ?[3,5] . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an ? 2

18.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,

cos A ?

5 10 , a sin A ? b sin B ? c sin C ? a sin B 5 5 .

(1)求 B 的值; (2)设 b ? 10 ,求 ?ABC 的面积 S . 19.(本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDM 中,△ BCD 是等边三角形,△ CMD 是等腰直角三 角形,?CMD ? 90? , 平面 CMD ? 平面 BCD ,AB ? 平面 BCD , 点 O 为 CD 的中点,连接 OM . (1) 求证: OM ∥平面 ABD ; (2) 若 AB ? BC ? 4 ,求三棱锥 A ? BDM 的体积. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

A M B C O D

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以 M (1,0) 为圆心,椭圆的短半轴长为半径的 2 a b 3
·3·

圆与直线 x ? y ? 2 ?1 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 已知点 N (3, 2) , 和平面内一点 P(m, n)(m ? 3) , 过点 M 任作直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点, 设直线 AN , NP, BN 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 , k1 ? k3 ? 3k2 ,试求 m, n 满足的关系式. 21.(本小题满分 12 分)已知 y ? 4 x3 ? 3tx 2 ? 6t 2 x ? t ?1, x ? R, t ? R . (1)当 x 为常数,且 t 在区间 ?0,

? ?

3? ? 变化时,求 y 的最小值 ? ( x) ; 6 ?


(2)证明:对任意的 t ? (0,??) ,总存在 x ? (0,1) ,使得 y ? 0

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请写清题号 22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 已知曲线 C 的参数方程为 ? 轴建立极坐标系. (1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)若直线的极坐标方程为 sin ? ? cos ? ?

? x ? 3 ? 5 cos? ? y ? 1 ? 5 sin ?

( ? 为参数), 以直角坐标系原点为极点,x 轴正半轴为极

1

?

,求直线被曲线 C 截得的弦长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 x ? 2 ? x ? 3 ? m 对 x ? R 恒成立. (1)求实数 m 的最小值; (2)若 a , b, c 为正实数, k 为实数 m 的最小值,且 求证: a ? 2b ? 3c ? 9 .

1 1 1 ? ? ?k, a 2b 3c

出题人:陈小燕 审题人:周波涛

·4·

2016 年重庆一中高 2017 级高三上期半期考试 数学答案(文科)
一.选择题.1-5 BBCCA 二.填空题 13. 6-10 DBBDA 11-12 CD

9 ?; 2

14. ( ,1) ;

1 2

15.

?
3



16. 2

三.解答题答案: 17.解: (1)由 a1 ? 2 , a2 为整数知, a3 ? 4 , {an } 的通项公式为 an ? n ? 1 . (2) bn ?

1 1 1 1 ? ( ? ) ,于是 (n ? 1)?n ? 3? 2 n ? 1 n ? 3 1 1 1 1 1 5 2n ? 5 . ( ? ? ? )? ? 2 2 3 n ? 2 n ? 3 12 2(n ? 2)(n ? 3)
2 2 2

Tn ? b1 ? b2 ?bn ?

18.解: (1)由已知可得 a ? b ? c ?

10 a 2 ? b2 ? c 2 10 ab ? cosC ? ? . 5 2ab 10

? A, C ? (0, ? ) ,?sin C ?

3 10 2 5 , sin A ? 10 5

cos B ? ? cos(A ? C ) ? ?(

? 5 10 3 10 2 5 2 ? B ? (0, ? ),? B ? ? ? ? )? 4 5 10 10 5 2 ,

(2)

b c 3 10 ? ? 10 2 ;? c ? 10 2 ? ?6 5 sin B sin C 10
·5·

1 1 2 5 S ? bc sin A ? ?10? 6 5 ? ? 60 2 2 5
19(1)证明: ∵△ CMD 是等腰直角三角形, ?CMD ? 90 ,点 O 为 CD 的中点, ∴ OM ? CD . ∵平面 CMD ? 平面 BCD ,平面 CMD ? 平面 BCD ? CD , ∴ OM ? 平面 BCD ∵ AB ? 平面 BCD , ∴ OM ∥ AB ∵ AB 平面 ABD , OM 平面 ABD , ∴ OM ∥平面 ABD (2): 由(Ⅰ)知 OM ∥平面 ABD , ∴点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离. ∵ AB ? BC ? 4 ,△ BCD 是等边三角形, ∴ BD ? 4, OD ? 2 ,. 连接 OB , 则 OB ? CD , OB ? 2 3 .
B C O
?

A M H D

OM ? 面BCD

VA?BDM ? VM ? ABD ? VO? ABD ? VA?BDO =
∴三棱锥 A ? BDM 的体积为

8 3 3

8 3 . 3

20.解: (1)

x2 ? y2 ? 1 3

?x ? 1 6 6 6 ? (2) ①当直线斜率不存在时, 由 ? x2 , 解得 x ? 1, y ? ? , 不妨设 A(1, ) ,B(1, ? ), 2 3 3 3 ? y ? 1 ? ?3
因为 k1 ? k3 ? 2 ,所以 k 2 ?

2 ,所以 m, n 的关系式为 3n ? 2m . 3
·6·

②当直线的斜率存在时,设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,设直线 l : y ? k ( x ? 1) ,联立椭圆整理得:

(3k 2 ? 1) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 3 ? 0 ,根系关系略,所以
k1 ? k3 ? 2 ? y1 2 ? y2 [2 ? k ( x1 ? 1)](3 ? x2 ) ? [2 ? k ( x2 ? 1)](3 ? x1 ) ? ? 3 ? x1 3 ? x2 (3 ? x1 )(3 ? x2 )

2kx1 x2 ? (4k ? 2)(x1 ? x2 ) ? 6k ? 12 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9
? 2(12k 2 ? 6) ?2 12k 2 ? 6
2 ,所以 m, n 的关系式为 3n ? 2m . 3

所以 k 2 ?

21.(1)当 x 为常数时,

f ? t ? ? 4 x3 ? 3tx 2 ? 6t 2 x ? t ? 1 ? ?6 xt 2 ? ? 3x 2 ? 1? t ? 4 x 3 ? 1, f ? ? t ? ? ?12 xt ? ? 3x 2 ? 1?



? ? 3? 3? f ' (t ) ? ?12xt ? 3x 2 ? 1 ? 3( x ? 2t )2 ?12t 2 ? 1,当 t ? ?0, ? , f ' (t ) ? 0, f (t ) 在 t ? ?0, ? 上递 ? 6 ? ? 6 ?
增,其最小值 (2)令

? ( x) ? f (0) ? 4 x 3 ? 1

g ( x) ? 4 x3 ? 3tx 2 ? 6t 2 x ? t ?1, g ' ( x) ? 12x 2 ? 6tx ? 6t 2 ? 6(2x ? t )(x ? t )
由 t ? (0,??),当x在区间( 0, ? ?)内变化时, g ( x)与g ( x)变化情况如下表:
'

x

? t? ? 0, ? ? 2?

t 2

?t ? ? , ?? ? ?2 ?
+ 单调递增

g? ? x ?

0 单调递减 极小值

g ? x?

①当

t ? 1, ,即 t ? 2, 时, g ( x) 在区间 (0,1) 内单调递减, 2
·7·

g ? 0? ? t ?1 ? 0, g ?1? ? ?6t 2 ? 4t ? 3 ? ?2t ?3t ? 2? ? 3 ? ?4 ?6 ? 2? ? 3 ? 0



所以对任意 t ? 2, ??? , g ? x ? 在区间 ? 0,1? 内均存在零点,即存在 x ? ? 0,1? ,使得 g ? x ? ? 0 . ②当 0 ? 所以 x ?

?

t ? t? ?t ? ? 1 ,即 0 ? t ? 2 时, g ( x) 在 ? 0, ? 内单调递减,在 ? ,1? 内单调递增, 2 ? 2? ?2 ?

t 7 3 时,函数 g ? x ? 取最小值 ? t ? t ? 1 , 2 4

又 g ? 0? ? t ? 1 ,

7 ? 1 ? 11 若 t ? ? 0,1? ,则 g ?1? ? ?6t ? 4t ? 3 ? ?6 ? t ? ? ? ? 0 , ? t 3 ? ? t ? 1? ? 0 , 4 3 ? 3?
2

2

所以 g ? x ? 在 ? ,1? 内存在零点; 若 t ? ?1,2? , 则 g ? 0 ? ? t ? 1 ? 0, ? t 3 ? t ? 1 ? ? ?

?t ? ?2 ?

7 4

? 7 3 ? ? t? 所以 g ? x ? 在 ? 0, ? 内存在零点, t ? t ? ?1 ? 0 , ? 4 ? ? 2?

所以,对任意 t ? ? 0,2? , g ? x ? 在区间 ? 0,1? 内均存在零点,即存在 x ? ? 0,1? ,使得 g ? x ? ? 0 . 结合①②,对任意的 t ? ? 0, ?? ? ,总存在 x ? ? 0,1? ,使得 y ? 0 . 22.解: ?1? ∵曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 5 cos? ? y ? 1 ? 5 sin ?
2 2

( ? 为参数)

∴曲线 C 的普通方程为 ( x ? 3) ? ( y ?1) ? 5 曲线 C 表示以 ? 3,1? 为圆心, 5 为半径的圆。 将?

? x ? ? cos? 2 代入并化简: ? ? 6? cos? ? 2? sin ? ? 5 ? 0 ? y ? ? sin ?
2

即曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 6? cos? ? 2? sin ? ? 5 ? 0

.

? 2 ? ∵的直角坐标方程为 y ? x ? 1 ∴圆心 C 到直线的距离为 d ? 3
23..解: (1)由 | x ?1| ? | x ? 2 |?| ( x ?1) ? ( x ? 2) | ?1

2 2

∴弦长为 2 .

∵ | x ? 1| ? | x ? 2 |? m 对 x ? R 恒成立. m ? 1 ,∴ m 最大值为 1
·8·

(2)由(Ⅰ)知 k ? 1 ,即

1 1 1 ? ? ?1 a 2b 3c

1 1 1 a ? 2b ? 3c ? (a ? 2b ? 3c)( ? ? ) a 2b 3c a a 2b 2b 3c 3c a 2b a 3c 2b 3c ? 3? ? ? ? ? ? ? 3? 2 ? ?2 ? ?2 ? ?9 2b 3c a 3c a 2b 2b a 3c a 3c 2b
当且公当 a ? 2b ? 3c 时等号成立 ∴ a ? 2b ? 3c ? 9

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·9·


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