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13.数学奥林匹克高中训练题(152)


4  2

中 等 数 学 

数蟹奥棣  越寓 铷拣毽( 2   1) 5 
中 圈分 类 号 :G 2 . 9 4 4 7  文 献 标 识码 :   A 文 章 编 号 : 0 5—6 1 (0 2 0 0 4 10 46 2 1 ) 3— 0 2—0  5

第 一 试 
填空题 ( 每小题

8 , 6 分 ) 分 共 4   1 已知 函数  .


l  
— —

2  
戈2  

r l ,  
+ —— = m  
n  

+ —— + …
l  



的所 有正整 数 m是 

.  
2   2  
. ,


二 、 答题 ( 5 解 共 6分 )  

)= 1( + n     l )
. 

9( 分) .1 设P为 6 双曲   一 = 上 线a 号 1    
任 一点 , 曲线 在 P处 的切 线 与  轴 交 于点  双 1. 2 ) 0 (0分 求  ,  =I一 I 2x 2 + 2 1I 2 1l ()   l + I- 1 …+  1 0  - 01  
的最小值.  

当’0 ), t 的 小   Q,。F2为焦 点. 明 :Q平分  F。F2   ( 时e a 大 是 F 、 ∈ ,  与 n 詈   证 P P .
●  
_ 。 - ,.. ..___ _____ __。一

2 不等式  .
lg ( + + )>l 6 o。        o4 g 

的解集 是 

.  

1. 2 1 ( 0分 ) 个 正 i棱 锥 的 体 积 为  一 " g

3 过抛 物线  .
,= x 一 x一1 ,= , 2  2 与 , 

求一个与 n 无关的充要条件, 使得正 r棱锥  t 的表面积 取最小 值.  

交点的直线方程是  4 若 函数  .
, ) x+s   ( =a i n





试 

( 0分 ) 图 1 O 0 与 o 0 内 切 于  4 如 , 。 :

的 图像上 存 在互 相 垂 直 的切 线 , 实数 口是  则

点 P, 0 的弦 A 0 。 B切 o D 于点   

5 数列 {  的各项均为正数, . a} 其前 n 项 
和 S 满 足   

S-a . n (+) = n   号
则D    = .  

6 已 知 单 位 圆  .

+y  =l上 三 个 点 

A( ,1 , ( 2) ) C x , ) 足   l, ) 8 x ,2 , ( 3  满 , ,
l+  2+  3=yl+y 2+, , 3=0.  
图1  
.  


则  + + = + + =          


() 1 若oD 、    o0 的半径分别为 R、, r试 
AC2   求  ;  

7 设 M ={ , ,,, . 使得  . l2345}则
)   ) )=  

的映射 ,  :

的个 数是 

.  

() P 2 若 c与OD 交 于点 G  、 分  。 , 船
别 与 op 交 于 点 E、 , 与 P   F  C交 于 点 D,   A 与 o  交 于 点 H, 明 : 、 日 三 点  D 0 证 G F、

8 给 定 正整 数 m 则 使得 存 在 正 整数  . x < <… < 满 足  l  2  

万方数据

21 0 2年第 4期 

4  3 联立 方程 

共线.   二 、4 ( 0分 ) 给定 正 整数 n  >1 , ( ) 且  ,  
: ,… ,  

f=x一x 1 , 2  2 一 , ,  

① 

∈[ , a n+1 ( ] 口∈ R)证 明 : .  

I=一x+ x 3 Y 5  2 + .  
5 ① + ②并整理得  × 2×
6 x+7y—l=0.   4.   0.

② 

骞 一 )÷  (   .   ≤ 
三 、5 ( o分 ) 设集 合  P={ , … ,  1 . 12, 20 2}  

注意到 ,   )= f (  +CS   O .

证 明 : 任 意 凡∈ N+ 都 存在 尼∈ P和  对 ,

若 函数  ) 上存 在 两 条切 线垂 直 , 存  则

正整 数m使 得n ∑[e i, []   = 肌 ]其中, 表  
示 不超 过实 数  的最大 整数.   四 、5 ( o分 ) 已知 空 间 9点集 

在 l 2 R, 、 ∈ 使得  戈
厂 ( )   )=一1   ‘ (:  。厂  
( 口+CS ) 0+CS )=一1 O I ( O 2   甘 口 + (0 + 0X) c  l 0X + :     口cs c   + o ? s 2 l O   s2 s c 


M ={ .A , ,。 , A ,2… A }   其 中 , 意 四点不 共 面. 任 在这 9个 点 间联 结 若 

干条线段构成~图 G 使图中不存在四面体. ,   问 : G中最 多有 多少个 三 角形 ? 图  

(  字 ) 口 + ‘ 小  (   )0 ‘  =
e s l= 一C S 0  O  2= ±1, =0  口 .

参 考 答 案 
第 一 试 


5 一丽  

.  

1.  。 >t n e 知 a 

. 

由。。 (+)   := 口 , s丢   得
口1=SI=1  ?

显然 ,( )= 。 I 在 ( , 厂    + n   0 +∞) 为增 
函数 .  

当 , 1 ,  l 时 由 >

因  (詈时c >n,以 当 ∈o ), s 所 , , 。 i   s  
CS O )> (i )‘ ,s n  
= c s +1   o   >s   +I   i    o2   ncS i n ns n
: C S2   O   x>I  a   n tn
= e咖 h > t n    a

( )     5 =(+)   ÷ 1  口     . l-+) s (n .  :  ̄  
①+ ②得 n s + 
又 S 一   =      S a,

①  

②  
③ 
④ 

2 } 0< 6 . . 1  < 4}  
?



?  

令 lg   = . o6 4 t则  = 4. 6‘  

故 原式 =l l 8 + ‘ 2)>t o4 ‘4+‘   g(
8‘+4‘+2  >1   4‘
t =  

③X ④得 S 一 :. 1   s一= .  
.  

则 {  成等差数列 , = ,    . S} S nS =    
于是 ,  s 一   = 一 口 =I 5       .  

()()() .  ‘ ‘ ‘   + + >   因 t ()()() 减       ‘ ‘ ‘ 函 = + + 为
数, 且  1 )=1 所 以 , <1 即 l 6 <1 , t , o4 g  .  

当 凡=1时 , 满足上 式. 也   综上 ,    一 口=  
6. 3
2 .  

.  

从而 , 解集 为 { 0<戈< 4 .  1 6}  
3.   +7,一1=0  6 , .

乏 =CS ,2 O 卢,3 CS ,  1 O    =CS   = O   

万方数据

中 等 数 学 

Y ;s   ,2 i  ,3 s   ? l i n Y :s J Y  i y  nB n

由题 设 知 △ A C的外 心 、 心 、 心 重  B 重 垂 合, 其为 正三角 形.   故 cs o2  +cs8+cs_ o2 j o2  . y
= + (。 a+ 。     cs 2 cs + o y = 3   cs )   2
,  

财Q, 点(。 妄) .  
a2  

故 



蔓= . 箬 
‰ 

s 2 s 2 +s   i  + i f i n nl n


由焦半径 公式得 
l F  P l I   0   0   Il   +口 +a     F QI

吾号cac c, 寻 一( +s o/ . o o s)   s  +  = 2 2

而 F  e0 a I 丽I x—  2 P    — -
F1 PF2  .

0口 l ’‘ 一    2     I  

7. 96  1 .

由内角平分 线定理 的逆定 理 知 P Q平 分  1. 0 显然 , <1或  >20 1时 , (   当   1 , ) 无最小 值.  

对  中含 ,个元 素 的情 形 , 1 由 

ff x )   )  (( ) = , 知 对任 意 的 a∈ M( 设  c =口 , ) )有 
c )= a = c )   )   )=a .  

以下设  ∈[ , O 1. 12 1 ]    
当k ≤ {x  +1 1  ≤20 0 时 , (≤  1 )  

若.的值域中含有 k个元素 , 厂 则不在值  域中的 — 个集合 肘 的元 素有 k 种对应    k 一 

Ax = i —) ) ∑ (   +∑ i —) x (    i


方式. 故这样的映射  c后 个. 有 :    
所 以, 满足条件的映射,的个数为 

(  一20 1×1 O ) + k +k   1   6    O
6  

∑ ck   o '  .
=I  

墨墨  )  ±   ! ± (墨  2
的 个 数 为 
点取 到.  
3  

取 H=5可 得 映 射 , I :』  f
1 6. 9  

是一次函数 , 其最小值在 区间[ , + ] 庇k 1 的端 
故数 列 {( ) ( ≤ , k } 1  ≤200 的最小 项   1 ) 为所求.  


8 1 2, 1 . , … 1 , .  

首先有 m 1+2+… +/ = ≤丁     n ' g
.  

取 l l 2 2 , , =n. 0 =,  = n …   , 2贝 
— —

注 意到 ,  

+ —— +… +旦 :1 . +  + … +一 = 1  
.  

k+1 ,k  )> ( )
车  +k一2 O l×l 0 6 >0  k  1  0  
铮 k≥ l42 .   2
一  

l  

x2  

n  

取 l l…, =   +=( k ( 1 , = ,    , I n- )k+ ) 


=  
,  

( k.0 n- )贝 
X2   n   一 

— + —+… +旦 :I+ —   —+— +… +一 = i   —     +— }
1  

故 , ) = 142  (      2 ) =l 2 ( 22 1 2 20 1  0 )     2 1 2 +   2—  1 ×1 6 + 4 4 4 0
20 1x  1  403 1 2  1  202x  2    2×1 2  285 4   3x  4  4
‘ 



J+1 k= , , , 1 . I ( 1 2 … n— )  

6  


3  

故 m ∈{ ,, n . 12 …,1   二 、. 9 不妨设 P  ,。 为双 曲线  (。Y )

7 4 5 8 9 6  9  9   9 .

1 . 正 n棱锥 的底 面半 径 为 r侧 面 与  1设 ,

寺 
左 支上任 一点. 于是 ,  
一  

底 所 的为( 0 ) 面 成 角  << . 0 詈 
则棱锥 的高 为 
h=r 0   cs ? n 0. t     a

万方数据

21 0 2年第 4期 

4  5

底 面 正 n边形 的面 积为 
2 .   丁  c 7  c nr  si n —— ?COS —— .  

又 V=n  i  . o  .cs三  ̄a      rsn cs ro tn 0
j  忍 

r =

l / ,     ,  
n三
n  cos

G   网2  

故 正 n棱锥 的表 面积 为 
s=  

詈1 o) , +s  王  , 、 (c  

DAB =  

FNB.  

因 为  A M = F B, 以 , G   G 所  
M G = / AG   F B.

= ,  l

又 由于△ MG F与△ A B都 是 等腰 三 角  G
形, 故 
NFG:/ NBG  .

于是 , F、 G四点共 圆 , Ⅳ、 B、 有 
/ D B= A   F NB =/ F B. G  

所 以 , F、 G、 H三点共 线.  
≥  =2,  

二、 固定 2  … , . ,3   则 

=  ( ) in      
其 中, 当且仅当2o  = 一 o 0即 CS = I cs 1 cs , O 0   0      
时, 上式等号成立.  




(一) 骞 +    一     
f j=2     n 




试 

)   .  

由  一 > 知    0,


() 1 由于 A 2 A A 故  C = E?P,
f ( ,2 … , )    lX ,    
‘  

AC2 AE  0l   R —r   02   Ap2一AP 一 0l — R P

 ̄ n l , …, , + , , <r x7a ,  ) a 1 2   ). a ^ 2 (   X …, }  
同理 , 由对 称性 有 
E l , +l   a I a  

( 如 图 2 延 长  2) , F 联结 F G   B, M、M.
△ MA   △ F G  G B .

到 点  , A = 使 M  

i  , ,   ) ( ≤ ≤n? f , z…, }1   ) (   n  

因为  MA   F G, G= G, 以 , G= B A B 所   故 MG=F   A M = F B  G, G   G .

记 b=a+1设 使 ,最 大 的 . :… , . , ,    
中有 s a和 r— 个 b 则  个 ts .
m  x a



+I l  

I(, 2… ,n } / x, ,   )   
+ n sb ( — )2

= A =B 测 嚣. f P LP  =   ZG G
又 E ’A   Fl B /
PE EA EA       ED  E   A 争 ——  —— 。   - ——  AM ? ●PF  FB      AM ——   DF  AM ● ——  

T  t

]厅 6 一  ] {  『 I   [ I    
.  

: ( s 6a :     )  ) 卓 2 —(   2

设 MF与 A B交于点 Ⅳ. 则  .  

若 为数则 s 时 ÷ n偶 , = , ; 当 号  =  

万方数据

中 等 数 学 

若 n为奇数, 则当 s   =
,   一
I  

时,  

回到原题 .  

接下 来证 明 : 如果 图 G中 已有 ( 少 )8 至 2 
个三角形 , 至少 有一个 四面体 . 则  

一  

I  

’  

否则 , 9点 集 M ={ 。A , ,  中 , 在 A ,  … A }  

综 ,n (i )   上i   ̄ 21 i 一/l ≤ .   g '   
三、 考虑集 合  A={ eI P, ∈ N+} m  k∈ m .   因对任 意 ml“、 e A, e m2 ∈ 且 
m le I = m 2e 2  

由抽屉 原理 , 知其 中必有 一点 至少 为 

『 1t?   +:  0
个 三角形 的顶点. 而 , 从 由这 个点 至 少引 出 5  
条边 ( 设此 点 为 A ) ..  


甘  

一  z: 

() 1 若从点 A  引出 5条边 AA ,      AA , AA , 。 依题意,   由于没有四面体 , 由 A , 则 :   , , 这 5个 点 构 成 的子 图 中没 有 三 角  … A

, 

§ k =k , l 2 ml=m2  ,

2,  

所以, 集合 A中元素互不相等.   将集合 A中元 素从小 到大排 列, 设第  个元 素 为 me(  后∈ P, ∈ N+ . m )则对 于 i ∈ 
P, m e≤me 由 i‘  铮 m ≤me , i  ‘ 得  mi [ e ]  ≤ m  ‘ ,

形 由 理 ,子 中 多 l = 条 . 引 知 该 图 至 有 I6  
边. 从而 , A 为 顶点 的三角形 至 多有 6个 , 以    
矛 盾.  

() 从 点 A 2若  引 出 6条 边 AA , .   。2AA ,




即 m 的个数为[ e ]     m   个. 当i 取遍 P中每一个值时 , 所有 m 的个    数 为 
201     2

A, 似1至 有等=个 角   。, (, 【】9 三 形 A类 ) 多
.  

以 A 为顶 点 , 盾. , 矛  


n =

∑ Ee .    ] m  
j=l  

() 3 若从点 A 引出 7条边 AA ,  , 。   :AA ,   A.。由于没有 四面体 , 知 A , , ,   A, 可 :  ,…  。 这 7个 点构 成 的 子 图 中没 有三 角 形 , 子 图  该



故 存在 k∈ P和正整 数 m使得 


1 2,  

至多   I 1条 从而, , 有I =2 边. 以A为顶点的  
三 角形 至 多有 l 2个 , 以 A 不  为顶 点 的三 角  形 必 以 点 。为 一 个 顶 点. 似 地 也 至 多 有  类 l 2个三 角 形. 是 , 角 形 总 数 小 于或 等 于  于 三
1 2= 4< 8 矛 盾. 2× 2 2 ,  

∑Ee‘     ] m .

四、 先证 明一 个引理 .  

引理 若在一 / 7 , 个点的空间图中不存在 

三 形则 边 不 过 】 表 不   角 ,其 数 超 【 ( 示 超  ]
过实数  的最 大整 数 ) .   证 明  设  个 点 为  ,:… , 其 中 , A, A,   从点 A 引 出的边数 最 多 ( 妨 设有 k条 ) 。 不 为 


() 从 点 A 4若  引 出 8条 边 A。 A , A , , 




A , 时 ,2A , , 这 8个 点构 成 的   , 此 A , ,…  ,

子 中 有 角 .子 至 有等=  图 没 三 形该 图 多 【】1 6
条边. 故原图 G中至多有 1 个三角形 , 6 矛盾.   于是 , 足条件 的 三角形 至多有 2 满 7个.   将 9点 集  分 成三组  { lA  3 ,A , ,6 , ,8 } A ,2A } {4 5A } { A , ,  7  9   使同组 中任两点不连线 , 而不同组 中的两点  均连线 , 于是 , c cc = 7个三 角形 , 有      2 当然  没有 四面体 .   ( 王 林 山东省青岛二 中, 60 ) 2 11 6  

A , A l… , A   Al   ,  1  



 

+1  .

A 


因不存在三角形 , 所以, A ,  ,   点  A …, 之 间没 有边相 连.   从而 , 间图 中 每条 边 均 至 少 有 一个 端  空 点 为  ,: … ,     , A 一中的点 , 每 个 A( ≤i 而  1   ≤n— ) 多引 出 k条边. k至  
 

故 边 小 或 于 (  ≤等。 总 数 于 等 矗 -)【】 n  
万方数据

数学奥林匹克高中训练题(152)
刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 中等数学 High-School Mathematics 2012(4)

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