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选修4-4 第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程)


二 圆锥曲线的参数方程 教学目的:圆锥曲线的参数方程及其与普通方程的关系,系数 a, b 的含义; 教学重点、难点:圆锥曲线参数方程的推导及应用,参数方程与普通方程的相互转化

椭圆的参数方程 复习: 1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 (1)圆 x 2 + y 2 = r 2 参数方程 (2)圆 ( x ? x0 ) + ( y ? y0 ) = r 参数方程
2 2 2

2.写出椭圆的标准方程,类比圆的参数方程,能写出椭圆的参数方程吗? 问题:以坐标原点 O 为圆心,分别以 a、b(a>b>0)为半径作两个圆。点 A 是大圆上任意一点,点 B 是大圆半径与小圆的交点,过点 A 作 AN⊥x 轴于点 N,再过点 B 作 BM⊥AN 于点 M。求当半径 OA 绕点 O 旋转时,点 M 的轨迹的参数方程。 设以 Ox 为始边,OA 为终边的角为θ,点 M 的坐标是(x, y)。那么点 A 的横坐标为 x,点 B 的纵坐 标为 y。由于点 A,B 均在角 ? 的终边上,由三角函数的定义有 x=ON=|OA|cosθ=acosθ, y=NM=|OB|sinθ=bsinθ。 当半径 OA 绕点 O 旋转一周时,就得到了点 M 的轨迹,它的参数方程是



? x = a cos θ ? ? y = b sin θ

(θ为参数)。

这是中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程。常数 a、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。 在椭圆的参数方程中,通常规定参数θ的范围为 ? ∈ [0, 2π ) 。 椭圆的参数方程中参数 ? 的意义与圆的参数方程 ?

? x = r cos θ (θ为参数)中参数θ的意义类似吗? ? y = r sin θ

由图可以看出,参数 ? 是点 M 所对应的圆的半径 OA(或 OB)的旋转角(称为点 M 的离心角),不 是 OM 的旋转角。参数 θ 是半径 OM 的旋转角。 焦点在 y 轴上的椭圆的参数方程:

x2 y2 + = 1, b2 a 2

? x = b cos ? ? ? y = a sin ?

2 y2 练习:已知椭圆 x + =1,点 M 是椭圆上位于第一象限的弧上一点,且∠xOM

9

4

=60°。(1)求点 M 的坐标;(2)如何表示椭圆在第一象限的弧? 0 错解:由已知可得 a=3,b=2,θ=60 , ∴x=acosθ=3cos60°= 3 ,y=bsinθ=2sin60°= 3 。

2

从而,点 M 的坐标为 ( 3 , 3) 。

2

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2 y2 正解:设点 M 的坐标为(x,y),则由已知可得 y= 3 x,与 x + =1 联立,

9

4

解得 x= 6 所以点 M 的坐标为( 6

31

31 , y= 6 93 。 31

31

31 , 6 93 )。 31

另解:∵∠xOM=60°,∴可设点 M 的坐标为(|OM|cos60°,|OM|sin60°)。 代入椭圆方程解出|OM|,进而得到点 M 的坐标(略)。

例 1 求椭圆

x 2 y2 + = 1(a > b > 0) 的内接矩形的面积及周长的最大值。 a 2 b2 x 2 y2 + = 1 的内接矩形在第一象限的顶点是 a 2 b2

解:如图,设椭圆

A ( a cos α,b sin α ) ( 0 < α <

π
2

) ,矩形的面积和周长分别是 S、L。

S = 4 | FA | × | EA |= 4a cos α ? b sin α = 2ab sin 2α ≤ 2ab ,
当且仅当 a =

π 时, S max = 2ab,L = 4(| FA | + | EA |) = 4a cos α + 4b sin α ≤ 4 a 2 + b 2 , 4

L max = 4 a 2 + b 2 ,此时α存在。

例 2 动点 M(x,y)在曲线

x2 y2 + = 1 上运动,(1)求 2x+3y 的最大值和最小值; 9 4 ? x = 3cos ? ( ? 为参数),所以可设点 M 的坐标为 (3cos ? , 2sin ? ) 。 ? y = 2sin ?

(2)求 M,使 M 到直线 x+2y-10=0 的距离最小。并求出最小距离。 解:因为椭圆的参数方程为 ?

由点到直线的距离公式,得到点 M 到直线的距离为

3 4 | 5(cos ? ? + sin ? ? ) ? 10 | | 3 cos ? + 4 sin ? ? 10 | 1 5 5 d= = = | 5 cos(? ? ?1 ) ? 10 | 5 5 5
其中 ?1 满足 cos ?1 =

3 4 .由三角函数性质知,当 ? ? ?1 = 0 时, d 取最小值 5 , sin ?1 = 5 5 9 8 9 8 此时 3 cos ? = 3 sin ?1 = , 2 sin ? = 2 sin ?1 = ,所以,当点 M 位于 ( , ) 时,点 M 与直线 5 5 5 5
x + 2 y ? 10 = 0 的距离取最小值 5 .

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例 3 设点 P(x,y)在椭圆 值。 解:点 P(x,y)在椭圆

x 2 y2 + = 1 ,试求点 P 到直线 x + y ? 5 = 0 的距离 d 的最大值和最小 16 9

x 2 y2 + = 1 上,设点 P( 4 cos α,sin α )(α是参数且 α ∈ [0,π) ), 3 2 16 9

3? ? 5 sin? α + arcsin ? ? 5 5? | 3 cos α + 4 sin α ? 5 | ? = 。 则d = 5 4 2 + 32

3 x 2 y2 π ? arcsin 时,距离 d 有最小值 0,此时椭圆 + = 1 与直线 x + y ? 5 = 0 相切;当 2 5 16 9 3π 3 α= ? arcsin 时,距离 d 有最大值 2。 2 5
当α =



例 4 θ取一切实数时,连接 A(4sinθ,6cosθ)和 B(-4cosθ, 6sinθ)两点的线段的中点轨迹 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段

例 5 已知点 A 在椭圆

x2 y2 AM 1 = ,试求 + = 1 上运动,点 B(0,9)、点 M 在线段 AB 上,且 144 36 MB 2

动点 M 的轨迹方程。 解:由题意知 B(0,9),设 A( 12 cos α,sin α ),并且设 M(x,y)。 6 则x =

xA +

1 1 1 1 x B 12 cos α + × 0 y A + y B 6 sin α + × 9 2 2 2 2 = = 8 cos α, y = = = 4 sin α + 3 , 1 1 1 1 1+ 1+ 1+ 1+ 2 2 2 2

? x = 8 cos α 动点 M 的轨迹的参数方程是 ? (α是参数), ? y = 4 sin α + 3
消去参数得

x 2 ( y ? 3) 2 + =1 。 64 16
x 2 y2 + = 1(a > b > 0) 与 x 轴的正向相交于点 A,O 为坐标原点, a 2 b2

例 6 椭圆

若这个椭圆上存在点 P,使得 OP⊥AP。求该椭圆的离心率 e 的取值范围。

解: 设椭圆

x 2 y2 + = 1(a > b > 0) 上的点 P 的坐标是 a cos α,b sin α ) ( (α a 2 b2

≠0 且α≠π),A(a,0)。 则 k OP =

b sin α b sin α ? 0 ,k AP = 。而 OP⊥AP, a cos α a cos α ? a

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于是

b sin α b sin α ? 0 ? = ?1 ,整理得 (a 2 ? b 2 ) cos 2 α ? a 2 cos α + b 2 = 0 a cos α a cos α ? a
b2 。 a 2 ? b2

解得 cos α = 1 (舍去),或 cos α =

因为 ? 1 < cos α < 1 , 所以 ? 1 <

b2 1 ? e2 1 2 < 1。 可转化为 ? 1 < <1 , 解得 e 2 > , 于是 < e < 1。 2 2 2 2 2 a ?b e

? 2 ? 故离心率 e 的取值范围是 ? ,。 1? ? 2 ? ? ?
2 y2 例 7 四边形 ABCD 内接于椭圆 x + =1,其中点 A(3,0),C(0,4),B、D 分别位于椭

9

16

圆第一象限与第三象限的弧上。求四边形 ABCD 面积的最大值。

双曲线的参数方程 与研究椭圆参数方程的方法类似,我们来研究双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) a2 b2



的参数方程。 如图, 以原点 O 为圆心, a, b(a>0, b>0)为半径分别作同心圆 C1、C2。设 A 为圆 C1 上任一点, 作直 线 OA, 过 A 作圆 C1 的切线 AA'与 x 轴交于点 A', 过圆 C2 与 x 轴的交点 B 作圆 C2 的切线 BB'与直线 OA 交 于点 B'。过点 A',B'分别作 y 轴, x 轴的平行线 A'M, B'M 交于点 M,设 OA 与 OX 所成的角为φ(φ∈[0, 2 π)且φ≠π/2,φ≠3π/2), 求点 M 的轨迹方程, 并说出点 M 的轨迹。 设 Ox 为始边, OA 为终边的角为 ? ,点 M 的坐标是 ( x, y ) .那么点 A1 的坐标为 (x,0) ,点 B1 的坐 标为 (b, y ) .因为点 A 在圆 C1 上,由圆的参数方程得点 A 的坐标为( a cos ? , a sin ? ), 所以, OA = ( a cos ? , a sin ? ) , AA1 = ( x ? a cos ? ,? a sin ? ) .因为 OA ⊥ AA1 ,所以 OA ? AA1 = 0 , 从而 a cos ? ( x ? a cos ? ) ? ( a sin ? ) 2 = 0 ,解得 x =

a 1 .记 = sec ? ,( sec ? 是正割函数, cos ? cos ?
y ,即 y = b tan ? .所以,点 b

它表示余弦函数的倒数, 现在只是为推导参数方程才引入, 所以不要求引入, 仅供同学们学习了解使用) 则 x = sec ? .因为点 B1 在角 ? 的终边上,由三角函数的定义有 tan ? = M 的轨迹的参数方程为 ?

? x = a sec ? ( ? 为参数)(2) ? y = b tan ?

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因为

1 sin 2 ? ? = 1 ,即 sec 2 ? ? tan 2 ? = 1 ,所以,从(2)方程中消去参数 ? 后得到点 M 的轨 2 2 cos ? cos ?

迹的普通方程(1).这是中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线.所以(2)就是双曲线(1)的参数方 程.此时的参数 ? 的范围为 ? ∈ [0 ,2π ) ,且 ? ≠

π
2

,? ≠

3π . 2

由图可知,参数φ是点 M 所对应的圆的半径 OA 的旋转角(称为点 M 的离心角),而不是 OM 的旋转 角.

x2 y2 与椭圆类似, 2 ? 2 = 1 双曲线上任意一点的坐标可以设为 (a sec ? , b tan ? ) ,这是解决与双曲 a b
线有关的问题的重要方法.
2 2

例 1.求点 M0(0, 2)到双曲线 x -y =1 的最小距离。

例 2 如图示,设为双曲线上

x2 y2 ? = 1 (a,b>0)任意一点,为原点过点作双 a 2 b2

曲线两渐近线的平行线,分别于两渐近线交于两点。探求平行四边形的面积,由此可以发现什么结论?

b x, 不妨设 M 为双曲线右支上一点, 其坐标为 a sec ? , tan ? ) ( b , a b b 则直线 MA 的方程为 y ? b tan ? = ? ( x ? a sec ? ) (1),将 y = x 代入(1),解得点 A 的横坐标为 a a a a x A = (sec ? + tan ? ) ,同理可得,点 B 的横坐标为 x B = (sec ? ? tan ? ) .设 ∠AOx = a ,则 2 2 b tan α = ,所以,平行四边形 MAOB 的面积为 a
解: 双曲线的渐近线方程为 y = ±

S

MAOB =| OA | ? | OB | sin 2α =

xA x a 2 (sec 2 ? ? tan 2 ? ) ? B ? sin 2α = ? sin 2α cos α sin α 4 cos 2 α

a2 a 2 b ab = ? tan α = ? = 2 2 a 2
由此可见,平行四边形 MAOB 的面积恒为定值,与点 M 在双曲线上的位置无关.

S 由此可知, 只要求得或表示出|OA|, 经验: ①平行四边形的面积公式为: =| OA || OB | ? sin ∠AOB ,
|OB|的长度和 ∠AOB 的正弦值即可. ②直接求出点 A,B 的坐标不容易,所以采用双曲线的参数方程 ? 入要做解释,特别是 sec 2 ? ? tan 2 ? = 1 .

? x = a sec ? ,但注意正割函数的引 ? y = b tan ?

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③掌握渐近线的斜率为 ± 标.

b b ,与渐近线平行的直线的斜率是 ± ,写出直线方程,求得点 A,B 坐 a a

例 3 求证:等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角. 分析:(1)实轴和虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线,所以等轴双曲线的渐近线 y y = ?x 方程为 y = ± x ,两渐近线的夹角为直角. (2)此题求证: ∠BA1 A = ∠AA2 B =
2 2 2

y=x

π
2

A
证明:设双曲线方程为 x ? y = a ,取 顶点 A2( a,0 ),弦 AB ∥Ox, B ( a sec α , a tan α ), 则 A( ? a sec α , a tan α ) . ∵ k A2 A =

B

A1 O

A2

x

a tan α a tan α , k BA = 2 ? a sec α ? a a sec α ? a

,

∴ k A2 A ? k BA = ?1
2

∴弦 AB 对 A1 张直角,同理对 A2 也张直角. 经验:①掌握等轴双曲线的定义和等轴双曲线方程的设法 x 2 ? y 2 = a 2 .②根据题义要能化出较标 准的图象.③证明是直角,实际是证明所在直线的斜率积为-1.

例 4 已知双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) ,A,B 是双曲线同支上相异两点,线段 AB 的垂直平分 a2 b2 a2 + b2 . a

线与 x 轴相交于点 P ( x 0 ,0) ,求证: | x 0 |>

分析:证明题是学生学习较困难的部分,而不等式是更困难的部分,所以在证明前学会分析条件和结论 y 之间的联系是解题的关键. 解:设 A,B 坐标分别为 ( a sec α , b tan α ) ,

·A

(a sec β , b tan β ) ,则中点为
M ( (sec α + sec β )) ,

M x O ·B P ( x 0 ,0 )

a 2

b (tan α + tan β )) , 2

于是线段 AB 中垂线方程为

b a (sec α ? sec β ) ? a ? y ? (tan α + tan β ) = ? ? x ? 2 (sec α + sec β )? b(tan α ? tan β ) ? 2 ?

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a2 + b2 将 P ( x 0, 0) 代入上式,∴ x0 = (sec α + sec β ) . 2a
∵ | sec α + sec β |> 2 (∵A,B 相异),∴ | x0 |>

a2 + b2 . a

经验:①中垂线的特点是直线过 AB 中点且与线段 AB 垂直.②关键点是 | sec α + sec β |> 2 ,由此 得出结论.

抛物线的参数方程 前面曾经得到以时刻 t 为参数的抛物线的参数方程:

? x = 100t 1000 ? 为参数, ) ? 1 2 ( t为参数,且 0 ≤ t ≤ g ? y = 500 ? 2 gt ?
对于一般抛物线,怎样建立参数方程呢? 以抛物线的普通方程 y = 2 px 为例,其中 p 为焦点到准线的距离。
2

设 M(x, y)为抛物线上除顶点外的任意一点,以射线 OM 为终边的角记 作α。 显然,当α在 ( ?

π π

, ) 内变化时,点 M 在抛物线上运动,并且对于α 2 2

的每一个值,在抛物线上都有唯一的点 M 与之对应,因此,可以取α为参数 来探求抛物线的参数方程. 因为点 M 在α的终边上,根据三角函数定义可得

y y = tan α ,由方程 y 2 = 2 px , = tan α 联立, x x

? ?x = ? 得到 ? ?y = ? ?

2p tan 2 α (α为参数),这是抛物线(不包括顶点)的参数方程. 2p tan α

如果令 t =

? x = 2 pt 2 1 , t ∈ ( ?∞,0) ∪ (0,+∞) ,则有 ? (t 为参数). tan α ? y = 2 pt

? x = 2 pt 2 当 t=0 时,由参数方程 ? (t 为参数)表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),因此,当 ? y = 2 pt ? x = 2 pt 2 t ∈ (?∞,+∞) 时,参数方程 ? (t 为参数)就表示整条抛物线.参数 t 表示抛物线上除顶点外 y = 2 pt ?
的任意一点与原点连线的斜率的倒数. 说明:1、抛物线的参数方程因参数选择的不同会有不同的形式,要注意所选参数的几何意义.(例 如:
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? ?x = ? 抛物线的参数方程为 ? ?y = ? ?

2p tan 2 α 时(α为参数),这是不包括顶点的抛物线的参数方程,α是 X 轴正半 2p tan α

? x = 2 pt 2 轴到 OM(M 为抛物线上的点)所成的角.抛物线的参数方程为 ? 时(t 为参数),参数 t 表示抛 ? y = 2 pt
物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数). 2、抛物线参数方程要注意和普通方程的等价性,要注意抛物线的完整性.

例 1 如图, 为原点, O A,B 为抛物线 y = 2 px( p > 0) 异于顶点的两动点, OA⊥OB, 且
2

OM⊥AB 于 M,求点 M 的轨迹方程.当点 A,B 在什么位置时,ΔAOB 面积最小?最小值是多 少? 分析:①注意直线垂直时的条件,斜率积为-1 或向量的数量积为 0,引出参数间的关 系.②注意挖掘三点共线的条件: x1 y 2 ? x 2 y1 = 0
2 解:根据条件,设点 M,A,B 的坐标分别为 ( x, y ) , (2 pt12 ,2 pt1 ) ,( 2 pt 2 ,2 pt 2 )( t1 ≠ t 2 ,且
2 t1 ? t 2 ≠ 0 ),则 OM = ( x, y ) , OA = (2 pt12 ,2 pt1 ) , OB = (2 pt 2 ,2 pt 2 ) , 2 AB = (2 p(t 2 ? t12 ),2 p (t 2 ? t1 )) .因为 OA ⊥ OB ,所以 OA ? AB = 0 ,

即 (2 pt1t 2 ) 2 + ( 2 p ) 2 t1t 2 = 0 ,所以 t1t 2 = ?1
2


2

因为 OM ⊥ AB ,所以 OM ? AB = 0 ,即 (2 px(t 21 ? t1 )) + 2 py (t 2 ? t1 ) = 0 所以 x(t1 + t 2 ) + y = 0 ,即 t1 + t 2 = ?
2

y ( x ≠ 0) . ② x
2

因为 AM = ( x ? 2 pt1 , y ? 2 pt1 ), MB = ( 2 pt 2 ? x,2 pt 2 ? y ) ,且 A,M,B 三点共线,
2 所以 ( x ? 2 pt12 )( 2 pt 2 ? y ) = ( y ? 2 pt 1 )( 2 pt 2 ? x ) ,化简,得 y ( t1 + t 2 ) ? 2 pt 1 t 2 ? x = 0 ③

将①和②代入 y ( t1 + t 2 ) ? 2 pt 1 t 2 ? x = 0 得到

y y (? ) + 2 p ? x = 0 ,即 x 2 + y 2 ? 2 px = 0( x ≠ 0) ,这就是点 M 的轨迹方程. x
2 2 OA= ( 2 pt 12 ) 2 + ( 2 pt 1 ) 2 = 2 p t 1 t 12 + 1, OB = ( 2 pt 2 ) 2 + ( 2 pt 2 ) 2 = 2 p t 2 t 2 + 1 2 2 所以, 所以,?AOB的面积为 S ?AOB = 2 p 2 t 1 t 2 ( t 12 + 1) ? ( t 2 + 1) = 2 p 2 t 12 + t 2 + 2

轴对称时, = 2 p 2 ( t 1 + t 2 ) 2 + 4 ≥ 4 p 2当且仅当 t 1 = ? t 2,即当点 A, B关于x轴对称时, 的面积最小, ?AOB的面积最小,最小值为4 p 2 .
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经验:①此题的重点是向量垂直,向量的数量积为 0.由此找到参数之间的关系. ②三点共线得到 x1 y 2 ? x 2 y1 = 0 ,消去参数 t1 ,t 2 得到点 M 的轨迹方程. ③此出用关系式①②③得到方程 x 2 + y 2 ? 2 px = 0( x ≠ 0) , 采用的方法是整体消元, 方法不多见, 但不可忽视,目的告诉学生在解题过程中注意分析规律,注意观察综合应用.

? x = 2t 2 例 2 过点 M ( 2,4) 且与抛物线 ? 只有一个公共点的直线有( ? y = 4t

)条

A 0 B 1 C 2 D 3 分析:如图,当只有一个公共点时,直线与抛物线相切或与对称轴平行,所以直线有 两条,答案选 C. 经验:①抛物线的普通方程为 y = 8 x ,顶点在原点,开口向右;且点 M 在抛物线上.
2

②判断椭圆和双曲线与直线交点个数时,一般联立方程,方程组有两解时,有两个交点;有惟一解 时,有一个交点;无解时,没有交点.但抛物线例外,因为直线与对称轴平行时,直线与抛物线有一个 交点.所以,判断抛物线与直线的交点个数时,把直线方程与抛物线方程联立,方程组两解时有两个交 点;有一解时,如直线所过的点在抛物线内,则一条直线;若点在抛物线上,则两条直线,一条是切线, 另一条是平行于对称轴的直线;若在抛物线外,且直线不过抛物线的顶点时,有三条直线于抛物线有一 个公共点,其中两条切线,一条与对称轴平行;当直线过抛物线外一点,且过抛物线顶点时,与抛物线 有一个交点的直线有一条.此题直线过点 M ( 2,4) (且点在抛物线上,)所以与抛物线只有一个交点的 直线有两条,所以选项为 C.

例 3 过抛物曲线 ?

? x = 2at ? y = at
2

(t 为参数)的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B,设Δ

AOB(O 为原点)的面积为 S,求证: S 2 :| AB | 为定值. 分析:求面积的平方与弦长的比为定值,需要求出面积的表达式和弦长的表达式,此时再用参数方 程表示未知数太多, 不易表示, 所以采用参数方程转化为普通方程形式, 用直线方程与抛物线方程联立, 一元二次方程求弦长方式即求. 解:抛物线 x 2 = 4ay 的焦点为 F (0, a ) ,(不妨设 a>0),过焦点的直线 AB 方程 y = kx + a ,代入抛 物线方程得 x ? 4akx ? 4a = 0 .设
2 2

A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 + x 2 = 4ak , x1 x 2 = ?4a 2 .

| AB |= 1 + k 2 ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 = 4a (1 + k 2 ) .又点 O 到直线的距离 d =

a 1+ k 2

∴S =

1 1 a | AB | ?d = ? 4a(1 + k 2 ) ? = 2a 2 1 + k 2 2 2 2 1+ k
∴ S 2 :| AB |= 4a 4 (1 + k 2 ) : 4a (1 + k 2 ) = a 3 为定值.

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经验: ①解题方法不是千篇一律的, 有时要参数方程化为普通方程, 有时要普通方程化为参数方程, 此题即要求把参数方程化为普通方程,且抛物线的开口向上,焦点在 y 轴上. ②弦长公式为 | AB |= 1 + k
2

( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ,面积公式为 S =

1 | AB | ?d . 2

x = 2 pt 2 1、若曲线{ ( t为参数 )上异于原点的不同两点 M 1,M 2所对应的参数分别是 t 1 , t 2 , y = 2 pt 则弦M 1 M 2所在直线的斜率是 ( C ) A、 t 1 + t 2 , 1 B、t 1 ? t 2, C、 , t1 + t 2 1 D、 t1 ? t 2

解:由于M 1 , M 2两点对应的参数方程分 别是t 1和t 2,则可得点M 1 和M 2的坐标分别为
2 M 1 ( 2 pt 12 ,2 pt 1 ), M 2 ( 2 pt 2 ,2 pt 2 ), k M 1 M 2 = ∴

2 pt 1 ? 2 pt 2 1 = 2 2 2 pt 1 ? 2 pt 2 t 1 + t 2

上的动点, 的中点, 2、设M为抛物线 y 2 = 2 x上的动点,给定点 M 0 ( ?1,0),点P为线段 M 0 M的中点,求点 P的轨迹方程。 的轨迹方程。
4. 见教材P 35第4题)已知A, B , C 是抛物线 ( 直线AB , AC 分别与抛物线的轴交于D,E 两点. 求 证明: 物线的 的坐标分别为( DE 4、证::设点 A, B顶点平分线段2 pt12.,2 pt1 ) 证明 抛
2 2 ( 2 pt 2 ,2 pt 2 ), 则点C的坐标为( 2 pt 2 ,?2 pt 2 )

y 2 = 2 px ( p > 0)上的三个点,且BC 与x轴垂直,

5.(见教材P 35第5题 )经过抛物线y 2 = 2 px ( p > 0)

的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB,以直 线OA的斜率k为参数, 求线段AB的中点M的轨迹
1 y = kx
2

解: 直线 5、 直线 OA 的参数方程.的方程为 y = kx, OB的方程为y = ? k x 解方程组{ 得点A的坐标是( 2p 2p , ) k2 k

? 2 pk p p + pk 2 , y = k = ? pk 2 k2 2 k ( 2 pt1t 2 ,0)因为DE的中点为原点( 0,0), 所以抛物线 2 2 所以, 所以,线段AB的中点M的轨迹的参数方程是 x y 例 6 已知椭圆 2 + 。2 = 1 上任意一点 M, 的顶点O平分线段 DE a b 2、 p +设M (a cos ? , b sin ? ), P( x p , 0), Q ( xQ , 0), x 证明:pk 2 = 2 k { ( Q分别为 因为P、k为参数 ) B1M , B2 M 与x轴的交点, (除短轴端点外)与短轴端点 B1, B2 的连线 p y pk 分别与 x 轴交于 P, Q 两点,O 为椭圆的中心, = k ? K B P = K B M , K B Q = K B M 所以 1 1 2 2
y ? 2 pt1 = 1 ( x ? 2 pt12 ),所以 E的坐标为 t1 ? t 2
2 x= k

y = 2 px 1 y= y x 设点M的坐标为( x , ? )则得点B 的坐标是(2 pk 2 , ?2 pk ) 解方程组{ k 的方程为: 所以点 D的坐标为( ?2 pt1 t 2 ,0),直线 AC的方程为: 2p 2p y 2 = 2 px 2

1 ( x ? 2 pt12 ) 直线AB的方程为 y ? 2 pt1 = t1 + t 2

+ 2 pk

=

求证:|OP|·|OQ|为定值。
由斜率公式计算得 xP = a cos ? a cos ? , xQ = 1 + sin ? 1 ? sin ?

所以 OP ? OQ = xP ? xQ = a 2 为定值

2012.05.18

选修 4-4 第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程)

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