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排列组合


【案例提出】 [案例 1] 从上海到北京可以乘火车,也可以乘飞机.一天中火车有 35 种班次,飞机有 46 种班次.问乘坐不同班次的火车或飞机共有几种走法?由于乘火车到北京有 35 种班次,即 有 35 种走法.同样,乘飞机有 46 种班次,多了 46 种走法.所以从上海到北京的走法是乘火车 和乘飞机的总合,即 35 ? 46 ? 81 种. [案例 2] 如果前两位用字母、后 5 位用数字,那么这样的 7 位牌照有多少个?牌照由 7 位构成,而牌照的第一位是 26 个字母中的一个,即有 26 种,同样,第二位也有 26 种,第三位 是 10 个数字中的一个,即有 10 种,同样第四位到第七位都各有 10 种.所以这样的牌照共有 26 ? 26 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 67600000 个. [案例 3] 在上海—青岛—大连这条航线上,需要准备几种不同船票?从每个始发港口 到终点港口需要准备一种船票.那么船票的种类就是始发港口在前,终点港口在后的排列种 类.先在三个港口中任选一个为始发港,有 3 种选法,再从剩下的两个港口中任选一个为终点 港 , 有 2 种选法 . 从三个港口中每次取出两个 , 一个为始发港一个为终点港的排列共有

3 ? 2 ? 6 种.即需要 6 种不同的船票.
[案例 4] 在上海—青岛—大连这条航线上,有几种票价?与案例 7 不同的是,上海到青 岛与青岛到上海是两种不同的船票,但是是相同的票价.也就是说,船票与顺序有关,票价与 顺序无关.两个港口对应两种船票,一种票价.所以票价的种类是船票种类的一半 .即 种不同的票价. 【相关知识】 1.加法原理 定理 1 完成某件事共有 k 类互斥方法,第一类有 m1 种不同方法,第二类有 m2 种不同方

6 ?3 2

法,……,第 k 类有 mk 种不同方法.那么完成某件事共有

M ? m1 ? m2 ? ? ? mk
种不同方法. 2.乘法原理 定理 2 完成某件事分成 k 个独立阶段进行,第一个阶段有 m1 种方法,第

二个阶段有 m2 种方法,……,第 k 个阶段有 mk 种方法.那么完成某件事共有

M ? m1 ? m2 ? ?? mk
种不同方法. 在排列组合中,将反复运用加法原理和乘法原理. 3.排列 一般地,从 n 个不同的元素中任取 r ( r ? n )个元素,按照一定的顺序排成一列,称为一 个排列.排列的第一个位置可以是 n 个元素中的任意一个,排列的第二个位置可以是剩下的 n ? 1 个元素中的任意一个,依次类推,第 r 个位置是剩下的 n ? r ? 1 个元素中的一个, 由乘 法原理可知,一共有 n ? (n ? 1) ?(n ? r ? 1) 种可能排列.称 n ? (n ? 1) ?(n ? r ? 1) 为排列数,

r r 2 记作 An ,即 An = n ? (n ? 1) ?(n ? r ? 1) .案例 3 中,不同的船票有 A3 种.

特别地,若 r

? n ,即将 n 个不同的元素排成有次序的一列 ,称为全排列,共有 Ann 种,记

作 n ! (读作 n 的阶乘).它等于自然数 1 到 n 的连乘积.我们约定 0 ! ? 1 . 若从 n 个不同元素中每次取一个,然后放回去,再任取一个,再放回去(称为有放回地抽 取),一共取 m 次,所得的 m 个元素的排列(其中有重复元素),共有

n ? n ?? ? n ? n m 种. ? ?? ??
共 m个

这是可重复排列的计算公式 4.组合 不讲排列顺序问题就是组合问题 .事实上 ,考虑排列顺序时 ,从 n 个不同的元素中任取 r ( r ? n )个元素排成一列,我们可以分两步考虑,先从 n 个不同的元素中任取 r 个元素为一 组,然后再将这 r 个元素进行全排列,所以由 n 个不同的元素中任取 r 个元素所组成的不同 的组数应为

n! n(n ? 1) ?(n ? r ? 1) ? r! (n ? r ) !r !
r r 称为组合数,记作 C n ,或 ? ? ? ? ,即 Cn =

?n? ?r?

n! 2 .案例 4 中,有 C3 ? 3 种不同票价. (n ? r ) !r !

一些常用的组合恒等式:
r n ?r ◆ Cn ; ? Cn r r ?1 r ◆ Cn ? Cn ?1 ? Cn?1 .

【例题精选】 例 1 现有 10 本不同的教材书,其中数学书有 4 本,语文书 4 本,英语书 2 本,将这些书 摆在书架上,要求同类的书放在一起,问可能有多少种不同的摆法? 解 数学书有 4 ! 种摆法,语文书有 4 ! 种摆法,英语书有 2 ! 种摆法,而三类书又有 3 ! 种

摆法,所以不同的摆法有

4 !?4 !?2 !?3 !? 6912种.
例 2 某城市的电话号码是五位数字,如果首位数字不能是 0 ,问最多可以安装多少部 不同号码的电话? 解 电话号码的后四位是 0 到 9 的可重复排列,有 10 种,首位除 0 外的 9 个数字中任选
4

4 一个,有 9 种取法.由乘法原理,有 9 ? 10 ? 90000 部不同号码的电话.

例 3 某人有 8 个朋友,他想邀请其中 5 个参加晚会,但是其中有两个朋友由于长期不和 不能同时来参加晚会,问有多少种邀请方案? 解 可以将他的朋友分成两组,其中一组是两个长期不和的,其他的 6 人在另一组里,则

1 4 邀请其中一个朋友的邀请方案共有 C2 ? C6 ? 2 ?15 ? 30 种;而这两个朋友都不邀请的方案 5 有 C6 ? 6 种,因此,他共有 36 种邀请方案.


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