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3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域 (一)


3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
一、教学目标 1.知识与技能:了解二元一次不等式(组)产生的实际背景,会用平面区 域表示二元一次不等式组的解集; 2.过程与方法:初步经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程, 提高数学建模的能力,体验类比、归纳等推理方式探究新知识,强化数形结合的 意识; 3.情感态度与价值观:体会数学源于生活、用于生活的特点,激发学生的

探索欲望,采用问题引导的探究模式,让学生体验思考并解决问题的愉快。2 二、教学重难点 教学重点:用二元一次不等式(组)表示平面区域。 教学难点:取测试点确定直线哪一侧是要求的平面区域(特殊点)。 三、教学过程 课题导入: 一家银行的信贷部计划年初投入 25 000 000 元用于企业和个人贷款,希望这 笔资金至少可带来 30 000 元的收益,其中从企业贷款中获益 12%,从个人贷款中 获益 10%,那么,信贷部应该如何分配资金? 上述问题应该用什么不等式模型来刻画呢? 分析:设用于企业贷款的资金为 x 元,用于个人贷款的资金为 y 元.由资金总 数为 25 000 000 元,得到
x ? y ? 25000000

由于预计企业贷款创收 12%,个人贷款创收 10%,

共创收 30 000 元以上,所以
(12 0 0 ) x ? (10 0 0 ) y ? 30000

即:

12x ? 10y ? 3 0 0 0 0 0 0

最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负值,所以
x ? 0, y ? 0

有上述可得资金分配应满足的条件:

? x ? y ? 25000000 ?12x ? 10 y ? 3000000 ? ? ?x ? 0 ? ?y ? 0
.二元一次不等式的解集: 满足二元一次不等式的 x 和 y 的取值构成有序数对 ( x, y ) ,所有这样的有序 数对 ( x, y ) 构成的集合称为二元一次不等式的解集 有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标,于是,二元一次不等式的解集 就可以看成直角坐标系内的点构成的集合 探究:二元一次不等式与平面区域 以二元一次不等式 x ? y ? 6 的解为坐标的点的集合 {( x, y) x ? y ? 6} 表示什 么平面图形?

A( x, y2 )
y O

l:x? y ?6
x

(6,0)

P ( x, y 1 )
(0,-6)

设点P( x, y1 )是直线l上的点,选取点 A( x, y2 ),使它的坐标满足不等式 x ? y ? 6 ,完

成下表: 横坐标 点 P 的纵坐标 y1 点 A 的纵坐标 y2 -3 -9 -2 -8 -1 -7 0 -6 1 -5 2 -4 3 -3

? -9

? -8

? -7

? -6

? -5

? -4

? -3

当点 A 与点 P 有相同的横坐标时,它们的纵坐标有什么关系? 据此说说直线 l 左上方点的坐标与不等式 x ? y ? 6 有什么关系?直线 l 右下 方点的坐标呢?点 A 的纵坐标大于点 P 的纵坐标 我们发现,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式 x ? y ? 6 的解为坐标 的点都在直线 x ? y ? 6 的左上方;反之,直线 x-y=6 左上方点的坐标都满足不 等式 x ? y ? 6 .直线 x ? y ? 6 右下方点的坐标满足不等式 x ? y ? 6

(1)不等式Ax ? By ? C ? 0表示直线Ax ? By ? C ? 0某一侧所有点组成的平面区
域,不包括边界,直线画成虚线

(2)不等式Ax ? By ? C ? 0表示的平面区域为不等 式Ax ? By ? C ? 0表示的区域
加上边界,直线用实线表示 (3)区域确定: 对于 Ax ? By ? C ? 0 同一侧的所有点 ( x, y ) ,将其坐标代入 Ax ? By ? C ,所得 值的符号相同;所以 Ax ? By ? C ? 0 表示的平面区域只需要一个特殊点就能确定,一 般地, C ? 0 时常用点 (0,0) 确定; C ? 0 时常用点 (0,1)或( 确定来\源:21· 1,0)

例题讲解:

? y ? ?3x ? 12 例 1. 用平面区域表示不等式组 ? 的解集。 ?x ? 2 y
解:不等式 y ? ?3x ? 12 表示直线 y ? ?3x ? 12 右下方的区域, x ? 2 y 表示直 线 x ? 2 y 右上方的区域,取两区域重叠的部分,如图的阴影部分就表示原不等式

组的解集

y 12 8 4 0

y ? ?3 x ? 12 1 y? x 2
4 8 x

例 2

写出由三条直线 x ? y ? 0 , x ? 2 y ? 4 ? 0 及 y ? 2 ? 0 所围成的平面区域所

表示的不等式组 解:此平面区域在 x ? y ? 0 的右下方,所以 x ? y ? 0 在 y ? 2 ? 0 的上方,所以 y ? 2 ? 0 在 x ? 2 y ? 4 ? 0 的左下方 x ? 2 y ? 4 ? 0
?x ? y ? 0 ? 则用不等式组可表示为: ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ?y ? 2 ? 0 ?

y

x ? 2y ? 4 ? 0
2 O 4

x? y ?0

x 2 y+2=0

课堂练习:

1、画出不等式 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域 2、画出二元一次不等式 2 y ? 5x ? 10 ? 0 表示的平面区域 课堂小结: 1 .结论:二元一次不等式 Ax+By+C > 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域 21·世纪*教育网 2.画二元一次不等式表示的平面区域的一般方法和注意事项: (1)直线定界,注意虚实 (2) 特殊点定域, 当 C≠0 时, 取原点作测试点, 当 C=0 时, 取 (1,0) 或 (0,1) 作测试点 3.二元一次不等式(组)的解集表示的平面区域是各个不等式表示的平面 区域的公共部分 四、作业布置 课本第 93 页 A 组 2,B 组 1


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