当前位置:首页 >> 数学 >>

复变函数与积分变换复习


复变函数复习 (一)复数的概念 1.复数的概念: z ? x ? iy , x , y 是实数,
x ? R e ? z ? , y ? Im ? z ?

.i

2

? ?1

.

注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小. 2.复数的表示 1)模: z


? x ? y
2 2



2)幅角:在 z ? 0 时,矢量与 x 轴正向的夹角,记为 A rg ? z ? (多值函 数) ;主值 a rg ? z ? 是位于 ( ? ? , ? ] 中的幅角。 3) a rg ? z ? 与 a rc ta n y 之间的关系如下:
x

当 x ? 0, 当

a rg z ? a rc ta n

y x

; ;

y ? y ? 0, arg z ? arctan ? ? ? ? x x ? 0, ? ? y ? 0, arg z ? arctan y ? ? ? x ?
z ? c o s ? ? i sin ?

4)三角表示: z ? 号。 5)指数表示: z ?

? ,其中 ?

? arg z

;注:中间一定是“+”

z e

i?

,其中 ?

? arg z



(二) 复数的运算 1.加减法:若 z 2.乘除法: 1)若 z
1 1

? x1 ? iy 1 , z 2 ? x 2 ? iy 2

,则 z

1

? z 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? i ? y 1 ? y 2 ?

? x1 ? iy 1 , z 2 ? x 2 ? iy 2

,则 ;
? x1 x 2 ? y 1 y 2 x2 ? y2
2 2

z 1 z 2 ? ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? ? i ? x 2 y 1 ? x 1 y 2 ?
z1 z2 ? x1 ? iy 1 x 2 ? iy 2 ?

? x1 ? iy 1 ? ? x 2 ? iy 2 ? ? x 2 ? iy 2 ? ? x 2 ? iy 2 ?
i? 2

?i

y 1 x 2 ? y 2 x1 x2 ? y2
2 2



2)若 z

1

? z1 e

i? 1

, z2 ? z2 e

, 则

z1 z 2 ? z1 z 2 e

i ??1 ? ? 2

?

;z

1

?

z1 z2

e

i ??1 ? ? 2

?

z2

3.乘幂与方根 1) 若 z ? 2) 若 z ?
1 n

z (co s ? ? i sin ? ) ? z e z (co s ? ? i sin ? ) ? z e

i?

,则 z ,则

n

? z

n

(co s n? ? i sin n? ) ? z

n

e

in?



i?

z ? z

n

? ? 2k? ? ? 2k? ? ? ? i s in ? cos ? n n ? ?

( k ? 0 ,1, 2 ? n ? 1)

(有 n 个相异的值)

(三)复变函数 1.复变函数: w ?
f

? z ? ,在几何上可以看作把 z

平面上的一

个点集 D 变到 w 平面上的一个点集 G 的映射. 2.复初等函数
1)指数函数: e 且 ? e ?? ? e 。
z z

z

? e

x

? cos

y ? i sin y ?

,在 z 平面处处可导,处处解析;

注: e 是以 2 ? i 为周期的周期函数。 (注意与实函数不同)
z

3) 对数函数: 主值: ln z ? ln
Lnz

L n z ? ln z ? i (arg z ? 2 k ? ) ( k ? 0, ? 1, ? 2 ? ) z ? i arg z

(多值函数) ;

。 (单值函数)

的每一个主值分支 ln z 在除去原点及负实轴的 z 平面内处处
z

解析,且 ? ln z ? ? ? 1 ; 注:负复数也有对数存在。 (与实函数不同)

3)乘幂与幂函数: a
4)三角函数: s in z ? e
sin z , c o s z
iz

b

?e

bLna

(a ? 0)

;z

b

? e

bLnz

( z ? 0)
b b ?1

注:在除去原点及负实轴的 z 平面内处处解析,且 ? z ?? ? b z 。
?e 2i
? iz

, cos z ?

e

iz

?e 2

? iz

, t gz ?

s in z cos z

, c tg z ?

cos z s in z

在 z 平面内解析,且 ? sin z ?? ? co s z , ? co s z ?? ? ? sin z
? 1, co s z ? 1

注:有界性 sin z

不再成立; (与实函数不同)
1

4) 双曲函数
shz

sh z ?

e ?e
z

?z

, chz ?

e ?e
z

?z


c h z z

2
c h z

2
s h ,z

奇函数,

是偶函数。
s h z



平面内解析,且

?s

? h ?z ?

c, ?h z ? ? c h z ?



(四)解析函数的概念 1.复变函数的导数 1)点可导: f ? ? z ? = lim
0

f

? z0

? ?z ? ? f ?z

? z0 ?

?z ? 0



2)区域可导:

f

? z ? 在区域内点点可导。

2.解析函数的概念 1)点解析:
f

? z ? 在 z 0 及其 z 0 的邻域内可导,称 f ? z ? 在 z 0 点解析;
f

2)区域解析:
0

? z ? 在区域内每一点解析,称 f ? z ? 在区域内解析;
0

3)若 f ( z ) 在 z 点不解析,称 z 为 f ? z ? 的奇点; 3.解析函数的运算法则:解析函数的和、差、积、商(除分母为 零的点)仍为解析函数;解析函数的复合函数仍为解析函数; (五)函数可导与解析的充要条件 1.函数可导的充要条件: f ? z ? ? u ? x , y ? ? iv ? x , y ? 在 z ? x ? iy 可导
? u ? x, y ?

和 v ? x, y ? 在 ? x, y ? 可 微 , 且 在 ? x, y ? 处 满 足 C ? R 条 件 :
, ?u ?y ? ? ?v ?x

?u ?x

?

?v ?y

此时, 有 f ? ? z ? ?

?u ?x

?i

?v ?x



2.函数解析的充要条件: f ? z ? ? u ? x , y ? ? iv ? x , y ? 在区域内解析
?

u ? x, y ?



v ? x, y ?



? x, y ?



D

内可微,且满足

C ? R

条件:

2

?u ?x

?

?v ?y

,

?u ?y

? ?

?v ?x



此时 f ? ? z ? ?

?u ?x

?i

?v ?x



注意: 若 u ? x , y ? , v ? x , y ? 在区域 D 具有一阶连续偏导数, u ? x , y ? , v ? x , y ? 则
在区域 D 内是可微的。因此在使用充要条件证明时,只要能说 明 u , v 具有一阶连续偏导且满足 C ? R 条件时, 函数 f ( z ) ? u ? iv 一定 是可导或解析的。

3.函数可导与解析的判别方法 1)利用定义 2)利用充要条件 章习题 2) 3)利用可导或解析函数的四则运算定理。 (函数 f ? z ? 是以 z 的形式 给出,如第二章习题 3) (六)复变函数积分的概念与性质 1. 复变函数积分的概念: ?
f
c

(题目要求用定义,如第二章习题 1) (函数以 f ? z ? ? u ? x , y ? ? i v ? x , y ? 形式给出,如第二

? z ? dz

? lim

n? ?

? f ? ? ?? z , c 是光滑曲线。
k k k ?1

n

注:复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2. 复变函数积分的性质 1) 2)
? ?
f
c

? z ? dz

? ??

c

?1

f

? z ? dz
??

( c 与 c 的方向相反) ;
?1

[? f
c

? z ? ? ? g ? z ? ]d z
1 2

?

f
c

? z ? d z ? ? ?c g ? z ? d z , ? , ?
f
c

是常数;
f
c1

3) 若曲线 c 由 c 与 c 连接而成,则 ? 3.复变函数积分的一般计算法
3

? z ? dz

?

?

? z ? d z ? ?c

f
2

? z ? dz



1)化为线积分: ?

f
c

? z ? dz

?

?

c

u d x ? vd y ? i ? vd x ? u d y
c

; (常用于理论证明)

2)参数方法:设曲线 c :

z ? z ? t ? (? ? t ? ? )

,其中 ? 对应曲线 c 的起
f [ z ? t ? ] z ?( t ) d t

点, ? 对应曲线 c 的终点,则

?

f
c

? z ? dz

?

??

?



(七)关于复变函数积分的重要定理与结论 1.柯西—古萨基本定理:设 f ? z ? 在单连域 B 内解析, c 为 B 内任一 闭曲线,则
? f ? z ? dz ? 0 ?
c

2.复合闭路定理: 设 f ? z ? 在多连域 D 内解析, c 为 D 内任意一条 简单闭曲线, c , c
1 2

,? cn

是 c 内的简单闭曲线,它们互不包含互不 为边界的区域全含于 D 内,则 其中 c 与 c 均取正向;
k ?1

相交,并且以 c , c
1

2

,? cn

① ? f ? z ? dz ? ? ? f ? z ? dz, ? ?
c
k ?1 c k

n

② ? f ? z ? d z ? 0 ,其中 ? 由 c 及 c ?
?

( k ? 1, 2, ? n )

所组成的复合闭路。

3. 闭路变形原理 : 一个在区域 D 内的解析函数 f ? z ? 沿闭曲线 c 的 积分,不因 c 在 D 内作连续变形而改变它的值,只要在变形过程 中 c 不经过使 f ? z ? 不解析的奇点。 4.解析函数沿非闭曲线的积分: 设 f ? z ? 在单连域 B 内解析, G ? z ? 为 f ? z ? 在 B 内的一个原函数, ? 则
z2 z1

f

? z ?d z ? G ? z 2 ? ? G ? z 1 ?

( z1 , z 2 ? B )

说明:解析函数 f ? z ? 沿非闭曲线的积分与积分路径无关,计算 时只要求出原函数即可。 5。 柯西积分公式:设 f ? z ? 在区域 D 内解析, c 为 D 内任一正向简 单闭曲线, c 的内部完全属于
? ?
f

D



z0

为 c 内任意一点,则

?z?

c

z ? z0

d z ? 2 ? if

? z0 ?

4

6.高阶导数公式:解析函数 f ? z ? 的导数仍为解析函数,它的 n 阶 导数为
? ?
f

?z?
n ?1

c

( z ? z0 )

dz ?

2? i n!

f

?n?

? z0 ?

( n ? 1, 2 ? )

其中 c 为 f ? z ? 的解析区域 D 内围绕 z 的任何一条正向简单闭曲线,
0

而且它的内部完全属于 D 。 7.重要结论:
? (z ? a) ?
c

1

n ?1

? 2? i, dz ? ? ? 0,

n ? 0 n ? 0

。 ( c 是包含 a 的任意正向简单闭曲

线) 8.复变函数积分的计算方法 1)若
?
f
c

f

?z?
?

在区域

D

内处处不解析,用一般积分法

? z ? dz ? ??

f [ z ? t ?]z ? ? t ?d t

2)设 f ? z ? 在区域 D 内解析, ? ?
c

是 D 内一条正向简单闭曲线, 则由柯西—古萨定理,? ?
1 2

f

c

? z ? dz

? 0

c

是 D 内的一条非闭曲线, z , z 对应曲线 c 的起点和终点,则有
?
f
c

? z ? dz ? ? z

z2
1

f

? z ? dz

? F ? z 2 ? ? F ? z1 ?

3)设 f ? z ? 在区域 D 内不解析 ? 曲线 c 内仅有一个奇点:
f ?z? ? ? ?c ? z ? z d z ? 2? i f ? z 0 ? ? 0 ? f ?z? 2? i ? n ? ? ?c ( z ? z ) n ? 1 d z ? n ! f ? z 0 ? ? ? 0 ?
f

( f ( z ) 在 c 内解析)

? 曲线 c 内有多于一个奇点: ? ?
c

? z ? dz ?

? ? f ? z ? d z ( c 内只有一个奇 ?
i

n

k ?1 c k

点z )
k

或: ? f ? z ? d z ? 2 ? i ? R e s [ f ( z ), z ] (留数基本定理) ?
k c k ?1

n

5

? 若被积函数不能表示成 算。

f

?z?
n ?1

( z ? zo )

, 则须改用第五章留数定理来计

(八)解析函数与调和函数的关系 1.调和函数的概念:若二元实函数 ? ( x , y ) 在 D 内有二阶连续偏导数 且满足 ?
? ( x, y )
2

?
2

?x

?

? ?
2

?y

2

? 0



为 D 内的调和函数。

2.解析函数与调和函数的关系 ? 解析函数 f ? z ? ? u ? iv 的实部 u 与虚部 v 都是调和函数,并称虚部 v 为实部 u 的共轭调和函数。 ? 两个调和函数 u 与 v 构成的函数 f ( z ) ? u ? iv 不一定是解析函数;但 是若 u , v 如果满足柯西— 黎曼方程,则 u ? iv 一定是解析函数。 3. 已知解析函数 f ? z ? 的实部或虚部, 求解析函数 f ? z ? ? u ? iv 的方法。 1)偏微分法:若已知实部 u ? u ? x , y ? ,利用 C ? R 条件,得 ? v , ? v ;
?x ?y

对 ?v
?y

?

?u ?x

两边积分,得 v ? ? ? u d y ? g ? x ?
?x

(*)
? ? ? ?u ? dy ? ? g ? ? x ? ?? ?x ? ?x ?

再对(*)式两边对 x 求偏导,得 ? v
?x

(**)
g ?x?

由 C ? R 条件, ? u
?y

? ?

?v ?x

,得 ? u
?y

? ?

? ? ?u ? dy ? ? g ?? x ? ?? ?x ? ?x ?

,可求出 。
C ? R



代入(*)式,可求得

虚部 v ? ? ? u d y ? g ? x ?
?x

2)线积分法:若已知实部
dv ? ?v ?x dx ? ?v ?y dy ? ? ?u ?y dx ? ?u ?x dy

u ? u ? x, y ?

,利用

条件可得


6

故虚部为 v ? ? ?

?x,y?
x0 , y0

?

?

?u ?y

dx ?

?u ?x

dy ? c



由于该积分与路径无关,可选取简单路径(如折线)计算它,其 中? x
0

, y0 ?

与 ? x , y ? 是解析区域中的两点。

3)不定积分法:若已知实部 u ? u ? x , y ? ,根据解析函数的导数公式 和 C ? R 条件得知,
f ?? z ? ? ?u ?x ?i ?v ?y ? ?u ?x ?i ?u ?y

将此式右端表示成 z 的函数 U ? z ? ,由于 f ? ? z ? 仍为解析函数,故
f

? z ? ? ? U ? z ?d z ? c

( c 为实常数)

注:若已知虚部 v 也可用类似方法求出实部 u . (九)复数项级数 1.复数列的极限 1)复数列 {?
n

} ? { a n ? ib n }

( n ? 1, 2 ? )收敛于复数 ?
lim b n ? b
n? ?

? a ? bi

的充要条件为

lim a n ? a ,
n? ?

(同时成立)

2)复数列 {? } 收敛 ? 实数列 { a
n

n

} ,{ b n }

同时收敛。

2.复数项级数 1)复数项级数 ? ?
n?0 ? n

(? n ? a n ? ib n )

收敛的充要条件是级数 ? a 与 ? b 同
n

?

?

n

n?0

n?0

时收敛; 2)级数收敛的必要条件是 lim ?
n? ? n

? 0



注:复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问 题的讨论。 (十)幂级数的敛散性

7

1.幂级数的概念:表达式 ? c
n?0

?

( z ? z0 ) n

n

或? c
n?0

?

n

z

n

为幂级数。

2.幂级数的敛散性 1)幂级数的收敛定理—阿贝尔定理(Abel):如果幂级数 ? c
n?0 ? n

z

n



z0 ? 0

处收敛,那么对满足 z
0

? z0

的一切 z ,该级数绝对收敛;如 的一切 z ,级数必发散。

果在 z 处发散,那么对满足 z 2)幂级数的收敛域—圆域

? z0

幂级数在收敛圆域内,绝对收敛;在圆域外,发散;在收敛圆的 圆周上可能收敛;也可能发散。 3)收敛半径的求法:收敛圆的半径称收敛半径。 ? 比值法 ? 根值法 ? 如果 ?
? 0

如果 lim
lim
n? ?

c n ?1 cn

n? ?

? ? ? 0

,则收敛半径 R ? 1 ;
?

cn ? ? ? 0

,则收敛半径 R ? 1 ;
?

,则 R ? ? ;说明在整个复平面上处处收敛; ,则 R ? 0 ;说明仅在 z ? z 或 z ? 0 点收敛;
0

如果 ?

? ?

注: 若幂级数有缺项时, 不能直接套用公式求收敛半径。 如 ? c (
n?0

?

n

z

2n



3.幂级数的性质 1)代数性质:设 ? a
n?0 ?

z , ? bn z n
n n?0

?

n

的收敛半径分别为

R1

与 R ,记
2

R ? m in ? R1 , R 2 ?

, 时,有
??

则当 z
? (? a
n?0 ? ? n

? R

? ? bn ) z

n

?a
n?0 ?

?

n

z ? ?
n

?b
n?0

?

n

z

n

(线性运算)
n

( ? a n z )( ? b n z ) ?
n n n?0 n?0

?

? (a
n?0

n

b 0 ? a n ? 1 b1 ? ? ? a 0 b n ) z
8

(乘积运算)

2)复合性质:设当 ? 且 g ?z?
? r

? r

时, f ? ? ? ? ? a ? ,当 z
n n n?0

?

? R

时, ?

? g ?z?

解析


? R

则当 z 3)

时, f [ g ? z ? ] ? ? a
n?0

?

n

[ g ? z ?]

n


z
n

分析运算性质:设幂级数 ? a
n?0 ?

?

n

的收敛半径为 R ? 0 ,则

? 其和函数 f ? z ? ? ? a
n?0

n

z

n

是收敛圆内的解析函数;
f ?? z ? ?

? 在收敛圆内可逐项求导,收敛半径不变;且
z ? R

? na
n?0

?

n

z

n ?1

? 在收敛圆内可逐项求积,收敛半径不变; ?
z ? R

z

f
0

? z ? dz ? ?
n?0

?

an n ?1

z

n ?1

(十一)幂函数的泰勒展开 1. 泰勒展开:设函数 f ? z ? 在圆域
f
z ? z0 ? R

内解析,则在此圆域内
n

?z?

可以展开成幂级数

f

?z? ?

?
n?0

?

f

?n?

? z0 ?

n!

?z ?

z0 ?

;并且此展开式是唯

一的。 注:若 f ? z ? 在 z 解析,则 f ? z ? 在 z 的泰勒展开式成立的圆域的收敛
0 0

半径 R ?

z0 ? a


0 0

其中 R 为从 z 到 f ? z ? 的距 z 最近一个奇点 a 之间的距离。 2.常用函数在 z 1) e 2)
z
0

? 0

的泰勒展开式
2

?

?
n?0

?

1 n!

z ? 1? z ?
n

z

?

z

3

?? ?

z

n

??

z ? ?

2!

3!

n!

1 1? z

?

?
n?0

?

z ?1? z ? z ?? ? z ??
n 2 n

z ?1
9

3) s in z ? ?
n?0

?

( ? 1)

n

( 2 n ? 1) ! ( ? 1)
n

z

2 n ?1

? z?

z

3

?

z

5

?? ?

( ? 1)

n

3! z
2

5! ( ? 1)

( 2 n ? 1) !
n

z

2 n ?1

??

z ? ?

4) c o s z ? ?
n?0

?

z

2n

?1?

?

z

4

?? ?

z

2n

??

z ? ?

(2n)!

2!

4!

(2 n)!

3.解析函数展开成泰勒级数的方法 1)直接法:直接求出 c
n

?

1 n!

f

?n?

? z0 ?

,于是 f ? z ? ? ? c
n?0

?

n

?z ?

z0 ?

n



2)间接法:利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复 合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。 (十二)幂函数的洛朗展开 1. 洛朗级数的概念: ?
n ? ?? ?

cn ? z ? z0 ?

n

,含正幂项和负幂项。
1

2.洛朗展开定理:设函数 f ? z ? 在圆环域 R
c
0

? z ? z0 ? R2

内处处解析,

为圆环域内绕 z 的任意一条正向简单闭曲线,则在此在圆
?

环域内,有 f ? z ? ? ?
n ? ??

cn ? z ? z0 ?

n

,且展开式唯一。

3.解析函数的洛朗展开法:洛朗级数一般只能用间接法展开。 *4.利用洛朗级数求围线积分:设 f ? z ? 在 r ?
r ? z ? z0 ? R
z ? z0 ? R

内解析, c 为
? 2 ? ic ? 1

内的任何一条正向简单闭曲线,则 ? ?
z ? z0 ? R

f

c

? z ?d z

。其中

c ?1

为 f (z) 在 r ?

内洛朗展开式中

1 z ? z0

的系数。
0

说明:围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中 ( z ? z 数。 (十三)孤立奇点的概念与分类 1。 孤立奇点的定义 : f ? z ? 在 z 点不解析,但在 z 的 0 ?
0 0

)

?1

的系

z ? z0 ? ?



解析。
10

2。孤立奇点的类型: 1 ) 可 去 奇 点 : 展 开 式 中 不 含
f

z ? z0

的 负 幂 项 ;

? ?z ?

0

c?

?1

c

? z0 ?

? ?z

2

? c ? ?0z
2

? z

2)极点:展开式中含有限项 z ? z 的负幂项;
0

f

?z? ?

c? m ( z ? z0 )
m

?

c ? ( m ?1 ) ( z ? z0 )
m ?1

?? ?

c ?1 ( z ? z0 )

? c 0 ? c1 ( z ? z 0 ) ? c 2 ( z ? z 0 ) ? ? ?
2

g ?z? ( z ? z0 )
m

,

其中 g ? z ? ? c 且g ?z
0

?m

? c ? ( m ? 1) ( z ? z 0 ) ? ? ? c ? 1 ( z ? z 0 )

m ?1

? c0 ( z ? z0 ) ? ?
m

在 z 解析,
0

??

0, m ? 1, c ? m ? 0


0

3)本性奇点:展开式中含无穷多项 z ? z 的负幂项;
f

?z? ? ?

?

c? m ( z ? z0 )
m

?? ?

c ?1 ( z ? z0 )

? c 0 ? c1 ( z ? z 0 ) ? ? ? c m ( z ? z 0 )

m

??

(十四)孤立奇点的判别方法 1.可去奇点: lim 2.极点: lim
z ? z0 z ? z0

f

?z? ?

c0

常数;

f

?z? ?
z ? z0

? f

3.本性奇点: lim

? z ? 不存在且不为 ? 。

4.零点与极点的关系 1)零点的概念:不恒为零的解析函数
f f

?z?

,如果能表示成

?z? ?

( z ? z0 ) ? ? z ?
m


0

其中 ? ? z ? 在 z 解析,? ? z
0

??

0, m

为正整数,称 z 为 f ? z ? 的 m 级零点;
0

2)零点级数判别的充要条件
z0

是 f ? z ? 的 m 级零点

? f ? ? ? ? f ?

?n? ?m ?

? z0 ? ? ? z0 ? ?

0, 0

( n ? 1, 2 , ? m ? 1)

3) 零点与极点的关系:z 是 f ? z ? 的 m 级零点 ?
0

z0


f

1

?z?

的 m 级极点;

4)重要结论
11

若 z ? a 分别是 ? ? z ? 与? ?
z ? a

?z? 的m

级与 n 级零点,则

是 ? ? z ? ??

? z ? 的 m ? n 级零点;
? ?z? ?

? 当 m ? n 时, z ? a 是

?z?

的 m ? n 级零点; 的 n ? m 级极点; 的可去奇点;
? z ? 的 l 级零点, l
? m in ( m , n ) ? m (n)

当 m ? n 时, z ? a 是 当 m ? n 时, z ? a 是

? ?z? ?

?z?

? ?z? ?

?z?

? 当 m ? n 时, z ? a 是 ? ? z ? ? ?

当 m ? n 时, z ? a 是 ? ? z ? ? ? (十五)留数的概念 1.留数的定义:设 z 为
0

? z ? 的 l 级零点,其中 l

f

?z?

的孤立奇点, f ? z ? 在 z 的去心邻域
0 0

0 ? z ? z0 ? ?

内解析,c 为该域内包含 z 的任一正向简单闭曲线, 则称
? ?
f
c

积分
R e s[ f

1 2? i

z ? ?

d z



f

?z?



z0

的 留 数 ( 或 残 留 ), 记 作

?z?, z

]?
0

1 2? i

? ?

f

c

? z ? dz

2.留数的计算方法 若 z 是 f ? z ? 的孤立奇点, R e s [ f ? z ? , z 则
0
0

] ? c ?1

, 其中 c 为 f ? z ? 在
?1

z0

的去心邻域内洛朗展开式中 ( z ? z
0

0

)

?1

的系数。
]? 0
0

1)可去奇点处的留数:若 z 是 f ? z ? 的可去奇点,则 R e s [ f ? z ? , z 2) m 级极点处的留数 法则 I
R e s[ f

若 z 是 f ? z ? 的 m 级极点,则
0

?z?, z

]?
0

1

( m ? 1) ! z ? z 0 d z

lim

d

m ?1 m ?1

[( z ? z 0 )

m

f

? z ?]
] ? lim ( z ? z 0 ) f
z ? z0

特别地,若 z 是 f ? z ? 的一级极点,则 R e s [ f ? z ? , z
0

0

?z?

12

注:如果极点的实际级数比 m 低,上述规则仍然有效。 法则 II 设 f ?z? ?
P ?z? Q ?z?

, P ? z ? , Q ? z ? 在 z 解析, P ? z
0

0

??

0,

Q ? z 0 ? ? 0, Q ? ? z 0 ? ? 0

,则 R e s [

P ?z? Q ?z?

,z ]?
0

P ? z0 ? Q ? ? z0 ?

(十六)留数基本定理 设 f ? z ? 在区域 D 内除有限个孤立奇点 z , z
1 2

? , zn

外处处解析, c


? ?
f
c

D

内 包 围 诸 奇 点 的 一 条 正 向 简 单 闭 曲 线 , 则
?

? z ? d z ? 2? i ? R e s[ f
n ?1

? z ? , zn ]

说明:留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积 函数 f ? z ? 在 c 内各孤立奇点处留数的局部问题。 注意:当在 c 内的起点较多时,采用无穷点处的留数进行转换。 无穷点留数的定义及计算方法需要掌握。

积分变换复习提纲 一、傅里叶变换的概念 ? ?
F [ f ( t )] ?

?

?? ??

f (t )e

? j wt

dt ? F (w)
j? t

F

?1

[ F ( ? )] ?

1 2?

?

?? ??

F (? ) e

d ? ? f (t )

二、几个常用函数的傅里叶变换

13

? ? ? ? ? ? ?

F [e

??t

]?

1

? ? j?
1 j?

F [ u ( t )] ?

? ? ? (? )

F [ ? ( t )] ? 1 F [1] ? 2 ? ? ( ? )

F [co s w 0 t ] ? ? ( ? ( ? ? ? 0 ) ? ? ( ? ? ? 0 )) F [sin w 0 t ] ? j ? ( ? ( ? ? ? 0 ) ? ? ( ? ? ? 0 ))
?? t

F [e

]?

2?

?

2

??

2

三、傅里叶变换的性质 ? 位移性(时域) F [ f ( t ? t : ? 位移性(频域) F [ e :
0
j w0t

0

)] ? e

? jw t 0

F [ f ( t )]
? F ( w ? w0 )

f ( t )] ? F ( w )

w ? w ? w0

? 位移性推论: F [s in w t f ( t )] ? ? 位移性推论: F [c o s w t f ( t )] ?
0

1 2j

[ F ( w ? w 0 ) ? F ( w ? w 0 )]

1 2

[ F ( w ? w 0 ) ? F ( w ? w 0 )]

? 微分性(时域) F [ f ?( t )] ? ( jw ) F ( w ) ( t :
F[ f
(n)

? ? ? , f (t ) ? 0

) ,

( t )] ? ( jw ) F ( w )
n

,t

? ?? , f

( n ? 1)

(t ) ? 0
n

? 微分性(频域) F [( ? j t ) f ? t ? ] ? F ? ? w ? , F [( ? j t ) : ? 相似性: F [ f ( a t )] ?
1 a F( w a )
(a ? 0 )

f ( t )] ? F

(n)

(w)

四、拉普拉斯变换的概念 ?
L [ f ( t )] ?

?

??

f (t )e
0

? st

dt ? F (s)

五、几个常用函数的拉普拉斯变换 ? ?
L[e ] ?
kt

1 s?k s


? m! s
m ?1

L[t ] ?
m

? ( m ? 1)
m ?1

(m

是自然数 ) ; ? (1) ? 1, ? ( 1 ) ? (
2
14

? , ? ( m ? 1) ? m ? ( m )



? ? ? ?

L [ u ( t )] ? L [1] ?
L [ ? ( t )] ? 1

1 s



L [s in k t ] ?
L [s h k t ] ?

k s ?k
2 2

,
,

L [c o s k t ] ?
L[ch kt ] ?

s s ?k
2 2

k s ?k
2 2

s s ?k
2 2

? 设 f (t ? T ) ? 函数)

f (t )

, L [ f( )]t 则

?

1 1? e
?Ts

? ()f
0

T

t dt

。 f ( t ) 是以 T 为周期的周期 (

六、拉普拉斯变换的性质 ? 微分性(时域) L [ f ? ? t ? ] ? sF ? s ? ? : ? 微分性(频域) L [) tf t :( ? ? 积分性(时域) L [ ? : ? 积分性(频域) L [ :
t 0

2 f ? 0 ? , L [ f ?? ( t )] ? s F ( s ) ? sf (0 ) ? f ? (0 )

] F s? ? ?

??

? , L [( ? t )

n

f ? t ?] ? F

(n)

?s?

f ?t ? dt] ?

F ?s? s

f ?t ? t
at

]?

?

? s

F ? s ?d s

(收敛)

? 位移性(时域) L [ e :

f ? t ?] ? F ? s ? a ?
? s?

? 位移性(频域) L [ f ? t ? ? ? ] ? e : ? 相似性: L [ f ( a t )] ?
1 s F( ) a a

F ?s?

(?

? 0 t ? 0 , f (t ) ? 0

,



(a ? 0 )

七、卷积及卷积定理 ? ? ? ?
f1 ( t ) * f 2 ( t ) ?

?

?? ??

f 1 (? ) f 2 ( t ? ? ) d ?

F [ f 1 ( t ) ? f 2 ( t )] ? F1 ( w ) ? F 2 ( w )
F [ f 1 ( t ) ? f 2 ( t )] ? 1 2? F1 ( w ) ? F 2 ( w )

L [ f 1 ( t ) ? f 2 ( t )] ? F1 ( s ) ? F 2 ( s )

八、几个积分公式 ? ? ? ?
?? ?? ?? ??

f ( t ) ? ( t ) d t ? f (0 ) f ( t )? ( t ? t 0 ) d t ? f ( t 0 )

15

? ?

?? 0
??

f (t ) t

dt ?
? kt

?

? 0

L [ f ( t )] d s ?

?

?

F (s)ds
0

16

?

?

f (t )e
0

d t ? L [ f ( t )]

s?k

模拟试卷一

一.填空题 1. 2. I= 3.
tan 1
?1? i ? ? ? ?1 ? i ?
7

?

.

I=

? ?z
c

? e sin z ?dz , 其中 c 为 z ? a ? 0的正向
z

,



.
0 ? z ? R 内展成 Lraurent 级数? z 能否在
1 z dz

2 4.其中 c 为 z ? 2 的正向: ? z sin c

=

5. 已知 F ?? ? ? 二.选择题

sin ?

?

,则 f ?t ? =

1. f ? z ? ? z Re ? z ? 在何处解析 (A) 0 (D)无 2.沿正向圆周的积分. (A)2 ? i sin 1 . 以上都不对. 3. ?
??

(B)1

(C)2

?
z ?2

sin z z
2

?1

dz

= (C) ? i sin 1 . (D)

(B) 0.

4

? n

?z

? 1?

n

的收敛域为
16

n ? ??

(A) . 法确定

1 4

? z ?1 ? 4

. (B) 1 ?

z?2 ? e

(C)
f ?? z ? f ?z ?

1? z ?1 ? 2

. (D)无

4. 设 z=a 是 是 (A) m. 都不对. 三.计算题

f ?z ? 的

m 级极点,则 .

在点 z=a 的留数

(B) -2m.

(C) -m.

(D) 以上

1. f ? z ? ? u ? iv 为解析函数, u u

? v ? x ? 3 x y ? 3 xy
3 2

2

? y

3

,求

2. 设函数 f ? z ? 与分别以 z=a 为 m 级与 n 级极点, 那么函数
f ? z ? g ? z ? .在

z=a 处极点如何?

3.求下列函数在指定点 z0 处的 Taylor 级数及其收敛半径。
f ?z ? ? 1 z
2

, z0 ? ?1

4.求拉氏变换 f ?t ? ? sin 6 t (k 为实数)
?t 5. 求方程 y ?? ? 4 y ? ? 3 y ? e 满足条件 y ?0 ? ?

y ? ? 0 ? ? 1 的解.

四.证明题 1.利用 ez 的 Taylor 展式,证明不等式 e 2.若 F ??
z

?1 ? e

z

?1? z e
1

z

? ? ? ? f ?t ?? (a 为非零常数) 证明: ? f ? at ?? ? ?
模拟试卷一答案

?? ? F? ? a ? a ?

一.填空题
17

1.

i

2.

0

3.否

4.? 1 / 6

5.

? 0 .5, ? f ? t ? ? ? 0, ? ? 0 .2 5,

t ?1 t ?1 t ?1

二.选择题 1. (D) 三.计算题 1.
u ? 3x y ? y ? c
2 3

2. (A)

3.(A)

4. (C)

2.函数 f ? z ? g ? z ? 在 z=a 处极点为 m+n 级 3.
f

?z? ?

1 z
2

?

? n ? z ? 1?
n ?1

?

n ?1

R ?1

6

4. s 2 ? 3 6 5.
y ?t ? ? ? 3 4 e
?3t

?

7 4

e

?t

?

1 2

te

?t

.

模拟试卷二 一.填空题 1. C 为 z ? 1 正向,则 ?c 2.
f ? z ? ? my
3 2

z dz
3

=
2

? nx y ? i x ? lxy

?

? 为解析函数,则 l, m, n 分

别为 3. R e s ?
? shz ? z
2

.
,0 ? ? ? ?

4. 级数 ? 5.
?

?

?z

? 2? n
2

n

n ?1

.收敛半径为

-函数的筛选性质是
18

二.选择题

?t 1. f ?t ? ? e u ?t ? 1 ? ,则 ? ? f ? t ? ? ? ?
? ? s ?1 ?

?
? ? s ?1 ?

e

(A) .

s ?1

(B)

e

? ? s ?1 ?

e

s ?1

(C)2

s ?1

(D) 以

上都不对 2.? ? f ?t ?? ? F ?? ? ,则 ? ??t ? 2 ? f ?t ?? ? (A) F ??? ? ? (C)
i F ???
2 F ??

? .

(B) ?
dz
10

F ???

??

2 F ??

?.

??

2 F ??

?.
c

(D) 以上都不对
z
3

3.C 为 (A) .1

z ? 3 的正向, ?

?z

? 2?

.

(B)2

(C)0

(D) 以

上都不对 4. 沿正向圆周的积分 ? (A).0. 以上都不对. 三.计算题 1. 求 sin(3+4i). 2.计算 ? ? z c
dz ? a ?? z ? b ? ,
sin z
z ?2

? ? ? ?z ? ? 2 ? ?

2

dz

= (C).2+i. (D).

(B).2

其中 a、b 为不在简单闭曲线 c 上的

复常数,a ? b. 3. 求函数
f ?z ? ? z ?1 z ?1 , z 0 ? 1 在指定点

z0 处的 Taylor 级数及其

收敛半径。
19

4.求拉氏变换 f ?t ? ? e 四.证明题 1. ? C n 收敛,而 ?
n?0 ?
?

kt

(k 为实数)

Cn

n?0

发散,证明 ? C
n?0

?

n

z

n

收敛半径为 1

2. 若 ? ? ? f ? at ?? ?

? f ? t ?? ? F ? s ?
? s ? F? ? a ?a ? 1

, (a 为 正 常 数 ) 证 明 :

模拟试卷二答案 一.填空题 1. 2 ? i 5. ?
?? ??

2. l ? n ? ? 3, m ? 1

3.1

4. 1

? ?t ? f ?t ? dt ? f ? 0 ? -

二.选择题 1. (B) 三.计算题
e
?4? 3i

2.(C)
4?3i

3. (C)

4. (A)

?e 2i

1.

2.当 a、b 均在简单闭曲线 c 之内或之外时
? ?z ? a??z ? b? ?
c

dz

? 0,
dz 2? i a?b
? 2? i a?b ,

当 a 在 c 之内, b 在 c 之外时 ? ? z ? a ? ? z ? b ? ?
c

?

,

当 b 在 c 之内, a 在 c 之外时 ? ? z ? a ? ? z ? b ? ? ?
c

dz

20

3. f ? z ? ?
1

z ?1 z ?1

?

? ? ? 1?
n?0

?

n

? z ?1? ? ? ? 2 ?

n ?1

R ? 2

.

4. s ? k 模拟试卷三 一.填空题 1. z=0 为 f ? z ? ? z 2. 3. 吗?
Re s 1 ? ? ,0 3 ? 2 ? ?z ? z ?
2

?e

z

2

?1 的

?

级零点,

.

a,b,c 均 为 复 数 , 问 .
dz z

?a ?
b

c

与a

bc

一 定 相 等

4. 每个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点吗? 5. ?c cos = .

二.选择题 1. 设 u 和 v 都是调和函数,如果 v 是 u 的共轭调和函数, 那 么 v 的共轭调和函数为 (A) u. 不对。 2.级数 ? n n ?1 (A) . 发散. (D)无法确定
?

. (C)2u (D)以上都

(B)-u.

e

in

. (B)条件收敛 (C)绝对收敛

21

3.C 为 z (A) .1

? 2

的正向, 则 ? z ?
c

e dz
2

z

?z

2

? 9?

?

. (C) 2 ? i 1
9

(B)2
F ??

(D)

以上都不对 4.? ? f ?t ?? ? (A)
F ?? ?e
? i?

? ,则 ? ? f ?1 ? t ?? ?
F ? ? ? ?e
? i?

.
F ?? ?e
i?

(B)

(C)

(D) 以上

都不对 三.计算题 1.计算 f ? z ? ? ?
dz z? 2 , 从而 证明

?

?
0

1 ? 2 cos ? 5 ? 4 cos ?

d? ? 0.

z ?1

2.求在指定圆环域内的 Laurent 级数
f ?z ? ? z ?1 z
2?

2

, z ?1 ? 1

.

3.利用留数计算定积分:

?

d? 2 ? cos ?

0



kt 4.求拉氏变换 f ?t ? ? te (k 为实数).

四.证明题 1.说明 Lnz
2

? 2 Lnz

是否正确,为什么?
t F ?s ? ? ? ? ? ? 0 f ?t ?dt ? ? s ? ?

2.利用卷积定理证明

模拟试卷三答案 一.填空题 1. 4 2. 1 3.
22

不一定

4. 否

5. 0

二.选择题 1. (B) 三.计算题 2. (A) 3. (C) 4. (D)

? 1. ? z ? ? ?
f

dz z?2
?

? 0,
?

z ?1

2. f ? z ? ? 3. 3 3 ? 4.
1

z ?1 z
2

? ? ? 1?
n?0

n ?1

? n ? 1? ? z ? 1?

? n ?1

.

2

?s ? k ?

2

模拟试卷四 一.填空题 1. 式 2. 设 u 3. ? 4. 级极点 5. 卷积定理为 二.选择题 1. F ?? ? ? (A) .7
2 ?? ??
? n?0





z ?

1? i 1?i

三 .









? x

2

? y
n

2

? xy

为调和函数,其共轭调和函数为

cn ?z ? i?

能否在 z=-2i 处收敛而 z=2+3i 发散. 为
f ? z ? ? 6 sin z ? z
3 3

z ?0

?z

6

?6

?



? 则 f ?t ? =

(B)1
23

(C)2

(D) 以

上都不对 2. 若 ?1 ? (A) 6k (D)6 3. C 是直线 OA,O 为原点,A 为 2+i, 则 ? Re ? z ?dz =
c

3i

?

n

? 1?

?

3i

?

n

,n 为整数.n= (B)3 (C)3k

(A).0. 上都不对. 4.设

(B) 1+i) ( /2.

(C).2+i.

(D). 以

? ? ? f ? t ? ? sin ? t ? ? ,则 3 ? ?
1? 3s s
2

? ? f ?t ?? ? ?
3
2

?
?
3

(A) . 2 ?1 ? 都不对 三.计算题

?

(B)

2 ?1 ? s

s ?

?

(C)

1 1? s
2

?

s

e

(D) 以上

1.求在指定圆环域内的 Laurent 级数
f ?z ? ? sin z z ,0 ? z ? ? .

2.设函数 f ? z ? 与分别以 z=a 为 m 级与 n 级极点,那么函数
f ?z ? g ?z ?

.在 z=a 极点如何?
? E ,0 ? t ? 5; f ?t ? ? ? ? 0 , 其他

3.求

傅氏变换。
?2 t

4.求拉氏变换 f ?t ? ? e 四.证明题

sin 6 t

.
24

1.若 ?

? 1, ? ? 1,

求证 1 ? ? ?

? ? ?

?1

2.若 F ?? ? ? ? ? f ?t ?? ,证明:. ? ? f ?t ? cos
? 0t? ?
1 2

? F ??

? ? 0 ? ? F ?? ? ? 0

??

模拟试卷四答案 一.填空题 1.
cos

?
2

? i s in

?
2

2.

y ? x
2

2

? 2 xy ? c

2

3. 否 4. 15 5. 略 二.选择题

1.(B) 三.计算题

2. (C)

3. (C)

4.(C)

1. f ? z ? ? ? ? ? 1 ?
n?0

?

n

? n ? 1?

z

2n

? 2 n ? 1?!
g ?z ?

2.当 m>n 时, z=a 为 f ? z ? 的 m-n 级极点 当 m≤n 时, z=a 为 f ? z ? 的可去奇点
g ?z ?

3.

2E

?

e

5 ? ? j 2

s in

5? 2
25

4.

6

?s ? 2?

2

? 36

.

四.证明题

1.略 2.略

模拟试卷五 一.填空题 1.
z ? 4 iz ? ? 4 ? 9 i ? ? 0
2

根为
z z dz

, 是否相等

2. ?

z
z ?2

dz

z

和 ? z ?4

3. 叙述傅氏积分定理 4. 拉氏变换的主要性质 二.选择题 1. 已知 c (A). 4 定 2.
w ? 1 z
1
0

? 1, c n ?

n! n
n

, c? n ? 1 ?

1 2

?? ?

1 n

.

则?
n ? ??

??

cn ? z ? 2 ?

n

的收敛圆环为 . (D)无法确

? z ? 2 ? 4

.

(B) 1 ?

z ? 2 ? e

(C)

1? z ?1 ? 2

将 z 平面上 x

2

? y

2

? 4

映射成 w 平面上的 (C) u
2

(A) .直线

(B)u+v=1
26

? v

2

?

1 4

(D)以

上都不对
1

3.z=0 是 f ? z ? ? (A) . 可 去

z e

2

z

什么奇点 (B) 本 性 奇 点 (C)2 级 极 点

(D) 以上都不对 4. ? ?t ? t ? 的傅氏变换为
0

(A) 1 (D) 以上都不对 三.计算题 1. 解方程 e
z

(B)

e

? i? t 0

(C)

e

i? t 0

?i ? 0

.

2.利用留数计算定积分: 3.利用能量积分求 ?? ? 4.求 F ? s ? ? 四.证明题
1 s
2

?
2

??

cos x x
2

??

?3

2

dx

??

sin x x
2

dx

?s ? 1?

的拉氏逆变换.

1. 试证 argz 在原点与负实轴上不连续. 2. 下列推导是否正确?若不正确,把它改正:
1

?

1
z ? 3 2

z ? z ? 1?

dz ?

?

z ?

3 2

?1? dz ? 2 ? i ? ? z ?1 ? z? z

z ?1

? 2? i.

模拟试卷五答案 一.填空题
27

1.

3 2 2

? 3 2 ??2? ? 2 ?

? 3 2 ? 3 2 ??2? ? i和 ? ? 2 2 ? ?

? ?i ? ?

2. 相等 3. 略 4. 略 二.选择题 1. (B) 三.计算题 1.
? ? ? z ? ?? ? 2 k? ? i ? 2 ?

2. (C)

3. (B)

4. (B)

.

?
2. 3 e 3 3. ? 4.
e
?t
?? ??

s in x x
2

2

dx ? ?

? t ?1

复变函数与积分变换试题(本科)

一、填空题(每小题 2 分,共 12 分)
1、设 z
? 2 2 ? 2i

,则其三角表示式为______________;

2、满足|z+3|-|z-1|=0 的 z 的轨迹是__________; 3、 Ln (
3 ? i ) ? ___________________;
28

4、 5 e 的傅氏变换为__________;
jat

5、 6

1 s
2

? s

的拉氏逆变换为_________________.
f (z) ? z 1
5



?1



z0 ? 0

















_________________________________。

二、选择题(每小题 2 分,共 10 分)
1、设 f ( z ) ?
cos z

,则下列命题正确的是( ) B、 f ( z ) 以 ? 为周期; D、 f ( z ) 在复平面上处处解析。

A、 |

f ( z ) | 是有界的;

C、 f ( z ) ? 2、设 z
? i

e

iz

?e 2

? iz



,则 z

48

? z

21

? z

10

的值等于( ) C、 i ;
dz ?

A、1;

B、-1;
2, 则 ?

D、 ? i 。

3、设 C 是正向圆周 | z |? A、 4 ? i ; 4、z=0 是
1 z sin z

z |z |



) D、 4 ? 。

c

B、 2 ? i ;

C、 2 ? ;

的孤立奇点的类型为( ) B、简单极点; D、本性奇点。
1

A、二阶极点; C、可去奇点; 5、若幂级数 ? c
n?0 ? n

z

n

在z

?1? i

处发散,则该级数在 z=2 处的敛散性为( ) B、条件收敛; D、不能确定;
u ? x
2

A、绝对收敛; C、发散;

三、已知调和函数
f ( z ) ? u ? iv ,

? y

2

? xy , f ( i ) ? ? 1 ? i

,求解析函数

,并求 f
2

'

(z)

。 分) (8
29

四、设 f ( z ) ? x

? ixy

,试确定 f ( z ) 在何处可导,何处解析,并求

可导点处的导数。 分) (6

五、求下列函数的积分(每小题 6 分,共 24 分) 1、沿 y ? x 算出积分 ? 2、 ?
sin z 1 ? cos z
2?
|z |? 3?

1? i

(x

2

? iy )dz

的值;

0

dz

; ;
? 0

3、 ?
4、 ?

1 5 ? 3 cos ?
cos z z(z
2

d?

0

| z | ?1

? a )
2

dz

,其中 | a |? 1, a

六、将下列函数展开为级数(每小题 7 分,共 14 分) 1、 将函数 f ( z ) ? 其收敛区间。 2、 将函数 f ( z ) ? 为洛朗级数。 七、 求微分方程 y
"

z ?1 z ?1

在z

0

?1

处展开成幂级数,并指出

2 z ( z ? i)
2

以 z ? i 为中心的圆环域内展开

? 4y ? 3y ? e
'

?t

, y ( 0 ) ? y ?( 0 ) ? 1

的解。 分 (6

八、 求下列函数的积分变换(每小题 6 分,共 12 分) 1、 求 f ( t ) ? ? e ? 2 、 求 f ( t ) ? te
?t

sin t ,

t ? 0 t ? 0

的傅氏变换。

?0
?2 t

cos 7 t

的拉氏变换

九、证明题(每小题 4 分,共 8 分) 1、设复数 z
, z 2 ,... z n 1

全部满足 Rs ( z ) ? 0 .i ? 1, 2 ,... n ,且 ? z 和 ? z 都
2

?

?

i

n

n

n ?1

n ?1

收敛,证明 ? | z | 也收敛。
2 n ?1

?

2、已知 f ( z ) 在 0<|z|<1 内解析,且 lim
f (z)

z? 0

zf ( z ) ? 1

,证明 z=0 是

的一级极点,并求其留数。
30

31


相关文章:
【绝对有用】复变函数与积分变换复习提纲 (1)
【绝对有用】复变函数与积分变换复习提纲 (1) 隐藏>> 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 2 1.复数的概念: z ? x ? iy , x, y 是实数, x ? Re ?...
复变函数与积分变换复习资料
t ? 1 8 复变函数与积分变换试题(本科) 一、填空题(每小题 2 分,共 12 分) 1、设 z ? 2 2 ? 2i ,则其三角表示式为___; 2、满足|z+3|-|...
复变函数与积分变换复习重点
复变函数与积分变换复习重点_理学_高等教育_教育专区。复变重点知识 复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念: 1.复数的概念: z = x + iy , x, ...
复变函数与积分变换期末考试复习知识点
复变函数与积分变换期末考试复习知识点_工学_高等教育_教育专区。复变函数与积分变换期末考试复习知识点复习要点一 题型 1、填空题(每题 3 分,共 18 分) 2、...
复变函数与积分变换公式与复习
复变函数与积分变换公式与复习_理学_高等教育_教育专区。考前复习必备!复变函数复习一复数的概念 1.复数的概念: z ? x ? iy , x, y 是实数, x ? Re ?...
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数与积分变换重要知识点归纳_理学_高等教育_教育专区。复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念: z ? x ? iy , x, y 是实数, x ? Re ?...
复变函数与积分变换公式汇总
此文档囊括了大学教育中《复变函数与积分变换》一门课程中所涉及的重点公式和定理,对高校在校学生此门课程的复习有一定的帮助!复变函数复习重点 (一)复数的概念 ...
复变函数与积分变换复习提纲
复变函数复习提纲 (一)复数的概念 2 1.复数的概念: z ? x ? iy , x,...n ?? k ?1 n 注:复变函数积分实际是复平面上的线积分。 2. 复变函数...
复变函数与积分变换复习
复变函数与积分变换复习提纲期末考试题型 一、 二、 三、 四、 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 判断题 选择题 填空题 计算题 乘幂公式与求根...
更多相关标签: