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常见递推数列通项公式的求法


数列通项公式的求法
一. 教学内容: 常见递推数列通项公式的求法 二. 本周教学重、难点: 1. 重点: 递推关系的几种形式。 2. 难点: 灵活应用求通项公式的方法解题。

【典型例题】
[例 1] an?1 ? kan ? b 型。 (1) k ? 1 时, an?1 ? an ? b ? {an } 是等差数列, an ? b ? n

? (a1 ? b) (2) k ? 1 时,设 an?1 ? m ? k (an ? m) ∴ an?1 ? kan ? km ? m

比较系数: km ? m ? b



m?

b k ?1



{a n ?

b b } a1 ? k ? 1 是等比数列,公比为 k ,首项为 k ?1 a n ? (a1 ? b b ) ? k n ?1 ? k ?1 k ?1



an ?

b b ? (a1 ? ) ? k n ?1 k ?1 k ?1



[例 2] an?1 ? kan ? f (n) 型。 (1) k ? 1 时, an?1 ? an ? f (n) ,若 f ( n) 可求和,则可用累加消项的方法。

例:已知 {an } 满足 a1 ? 1 , 解:

a n ?1 ? a n ?

1 n(n ? 1) 求 {an } 的通项公式。



a n ?1 ? a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1



a n ? a n ?1 ?

1 1 ? n ?1 n

a n ?1 ? a n ? 2 ?

1 1 ? n ? 2 n ?1

a n ? 2 ? a n ?3 ? a3 ? a 2 ?

1 1 ? n ? 3 n ? 2 ?? a 2 ? a1 ? 1 ? 1 2 1 n


1 1 ? 2 3

对这( n ? 1 )个式子求和得:

a n ? a1 ? 1 ?

an ? 2 ?

1 n

(2) k ? 1 时,当 f (n) ? an ? b 则可设 an?1 ? A(n ? 1) ? B ? k (an ? An ? B) ∴ an?1 ? kan ? (k ? 1) An ? (k ? 1) B ? A

?(k ? 1) A ? a ? ∴ ?(k ? 1) B ? A ? b

解得:

A?

b a a B? ? k ? 1 (k ? 1) 2 k ?1 ,

∴ {an ? An ? B} 是以 a1 ? A ? B 为首项, k 为公比的等比数列 ∴ an ? An ? B ? (a1 ? A ? B) ? k ∴ an ? (a1 ? A ? B) ? k
n?1 n?1

? An ? B

将 A、B 代入即可

n (3) f (n) ? q ( q ? 0,1)

等式两边同时除以 q

n?1

a n?1 k a n 1 ? ? n ? n ?1 q q q 得q
k 1 Cn ? q q
∴ {C n } 可归为 an?1 ? kan ? b 型



Cn ?

an qn



C n ?1 ?

[例 3] an?1 ? f (n) ? an 型。 (1)若 f ( n) 是常数时,可归为等比数列。 (2)若 f ( n) 可求积,可用累积约项的方法化简求通项。

例:已知:

a1 ?

1 2n ? 1 an ? a n ?1 3, 2n ? 1 ( n ? 2 )求数列 {an } 的通项。

an an?1 an?2 a3 a2 2n ? 1 2n ? 3 2n ? 5 5 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a2 a1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 7 5 2n ? 1 解: an?1 an?2 an ?3
a n ? a1 ? 3 1 ? 2n ? 1 2n ? 1



[例 4]

an ? k ?

m ? an?1 m ? an?1 型。
1 1 k ?k? ? a n ?1 m ∴ an

1 1 1 ? k( ? ) a n ?1 m 考虑函数倒数关系有 a n Cn ? 1 an



则 {C n } 可归为 an?1 ? kan ? b 型。

练习: 1. 已知 {an } 满足 a1 ? 3 , an?1 ? 2an ? 1求通项公式。 解: 设 an?1 ? m ? 2(an ? m)

an?1 ? 2an ? m

∴ m ?1

∴ {a n ?1 ? 1}是以 4 为首项,2 为公比为等比数列 ∴ an ? 1 ? 4 ? 2
n?1

∴ an ? 2

n ?1

?1

* 2. 已知 {an } 的首项 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n ( n ? N )求通项公式。

解:

an ? an?1 ? 2(n ? 1) an?1 ? an?2 ? 2(n ? 2) an?2 ? an?3 ? 2(n ? 3) ?? a3 ? a2 ? 2 ? 2

? a2 ? a1 ? 2 ?1
an ? a1 ? 2[1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? n 2 ? n

∴ an ? n ? n ? 1
2

3. 已知 {an } 中, 解:

a n ?1 ?

n an n ? 2 且 a1 ? 2 求数列通项公式。

an an?1 an?2 a3 a2 n ? 1 n ? 2 n ? 3 n ? 4 2 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? an?1 an?2 an?3 a2 a1 n ? 1 n n ? 1 n ? 2 4 3 n(n ? 1) an 2 ? n(n ? 1) ∴ a1
a n ?1 ?
an ? 4 n(n ? 1)



4. 数列 {an } 中, 解:

2 n ?1 ? a n 2 n ?1 ? a n , a1 ? 2 ,求 {an } 的通项。
1
∴ a n ?1

2 n?1 ? an 1 ? n?1 an?1 2 an
bn ? 1 an

?
1 2

1 1 ? n ?1 an 2
bn ? bn ?1 ? 1 2n





bn ?1 ? bn ?

n ?1





bn ? bn ?1 ?

1 2n 1

bn ?1 ? bn ? 2 ? bn ? 2 ? bn ? 3 ? b3 ? b2 ? 1 23

2 n ?1 1 2
n?2

??

? b2 ? b1 ?

1 22

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 2 1 1 2 ? 2 ? ? n 1 1 1 1 2 2 bn ? b1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 1? 2 2 2 2

1 1 1 2n ?1 bn ? ? n ? ? 2 2 2 2n ∴
5. 已知: a1 ? 1 , n ? 2 时, 解:

2n an ? n 2 ?1 ∴
1 a n ?1 ? 2n ? 1 2 ,求 {an } 的通项公式。

an ?

1 a n ? An ? B ? [a n ?1 ? A(n ? 1) ? B] 2 设 an ? 1 1 1 1 a n ?1 ? An ? A ? B 2 2 2 2

? 1 ? A?2 ? ? 2 ? ?? 1 A ? 1 B ? ?1 ? 2 ∴ ? 2

? A ? ?4 ? 解得: ? B ? 6

∴ a1 ? 4 ? 6 ? 3

1 { a ? 4 n ? 6 } n ∴ 是以 3 为首项, 2 为公比的等比数列 1 a n ? 4n ? 6 ? 3 ? ( ) n ?1 2 ∴ an ? 3 2 n ?1 ? 4n ? 6



【模拟试题】
1. 已知 {an } 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? 2 ,求 an 。
n

2. 已知 {an } 中, a1 ? 1 , an ? 3an?1 ? 2 ( n ? 2 )求 an 。 3. 已知 {an } 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 2 ( n ? 2 )求 an 。
n

4. 已知 {an } 中, a1 ? 4 ,

an ? 4 ?

4 a n?1 ( n ? 2 )求 an 。

5. 已知 {an } 中, a1 ? 1 ,其前 n 项和 S n 与 an 满足

an ?

2 2S n 2S n ? 1 ( n ? 2 )

1 } S n (1)求证: 为等差数列 (2)求 {an } 的通项公式 {

6. 已知在正整数数列 {an } 中,前 n 项和 S n 满足

Sn ?

1 ( a n ? 2) 2 8

(1)求证: {an } 是等差数列

(2)若 bn

?

1 a n ? 30 2 ,求 {bn } 的前 n 项和的最小值

【试题答案】
1. 解: 由 an?1 ? an ? 2 ,得 an ? an?1 ? 2
n n?1

∴ an ? an?1 ? 2

n?1

an?1 ? an?2 ? 2 n?2 ??

? a2 ? a1 ? 2
2(1 ? 2 n ?1 ) a n ? a1 ? ? 2n ? 2 1? 2 ∴
2. 解: 由 an ? 3an?1 ? 2 得: an ? 1 ? 3(an?1 ? 1) ∴ an ? 2 ? 2 ? a1 ? 2 ? 1
n n

an ? 1 ?3 ∴ a n ?1 ? 1

即 {an ? 1} 是等比数列 ∴ an ? (a1 ? 1) ? 3
n?1

an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 3n?1
3. 解:

? 1 ? 2 ? 3n?1 ? 1

a n a n ?1 ? n ?1 ? 1 n 2 由 an ? 2an?1 ? 2 得 2
n



{

an an 1 ? ? (n ? 1) } n 2 成等差数列, 2 n 2

∴ an ? n ? 2 ? 2
n

n?1

4. 解:

an?1 ? 2 ? 2 ?
1
∴ a n ?1 ? 2

4 2(an ? 2) ? an an

1
∴ a n ?1 ? 2

?

an 1 1 ? ? 2(an ? 2) 2 an ? 2 ( n ? 1 )

?

1 1 1 ? bn ? a n ? 2 2 ( n ? 1 )设 an ? 2
1 (n ? 1) 2



bn ?1 ? bn ?

∴ {bn } 是等差数列

1 1 1 n ? ? (n ? 1) ? ? 2 2 ∴ a n ? 2 a1 ? 2

an ?

2 ?2 n

5. 解:

(1)

S n ? S n?1 ?

2 2S n 2S n ? 1 ∴ S n?1 ? S n ? 2S n S n?1

1 1 ? ?2 S n S n ?1
1 ? 2n ? 1 S n ∴

{


1 } S n 是首项为 1,公差为 2 的等差数列

(2)

Sn ?

1 2n ? 1

1 2 ) ?2 2n ? 1 ? an ? (n ? 2) 2 1 4n ? 8n ? 3 2? ?1 2n ? 1 ∴ 2(
?1 ? an ? ? ?2 ? 2 ? 4n ? 8n ? 3 ∴ n ?1 (n ? 2)

又 ∵ a1 ? 1 6. 解:

1 a1 ? S1 ? (a1 ? 2) 2 8 (1)

∴ a1 ? 2

1 1 a n ? S n ? S n ?1 ? (a n ? 2) 2 ? (a n ?1 ? 2) 2 n ? 2 时, 8 8
整理得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 ∵ {an } 是正整数数列 ∴ an ? an?1 ? 0 ∴ an ? an?1 ? 4 ∴ an ? 4n ? 2

∴ {an } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列

(2)

bn ?

1 (4n ? 2) ? 30 ? 2n ? 31 2
∴ S n ? n ? 30n
2

∴ {bn } 为等差数列

2 ∴ 当 n ? 15 时, S n 的最小值为 15 ? 30 ? 15 ? ?225

【励志故事】

感恩尴尬(一)
17 岁的我,在离家三十多里的县城读高中一年级。 一个深秋的夜晚,我躺在床上看一本外国文集,其中有一段故事深深地打动了我。杰克·罗 伯特是一个远离父母的孩子,在他 16 岁那年的感恩节,他突然意识到自己长大了,他想到了感 恩。于是,他不顾窗外飘着雪,连夜赶回家,他要对父母说,他爱他们。 和他想象的一样,母亲打开门,他虔诚地说: “妈,今天是感恩节,我特地赶回来向你们表 示感谢,谢谢你给了我生命! ”杰克·罗伯特还没说完,母亲就紧紧地上前拥抱并且亲吻了他, 杰克的爸爸也从里间走出来,深情地拥抱了他们。 那种温馨的场面,一下子掀起了我思乡的狂潮,蓦然想起今天正是西方的感恩节,是的, 我也要给父母一个惊喜! 天太晚了,坐车回家已不可能。我去借了一辆单车,心想,这样回家,更能让父母感动。 刚走出校门,发现天正下着雨,我稍一迟疑,想到故事里的杰克可能冒着风雪回家的,精神一 抖,上路了。


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