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宁夏银川二中2015届高三第一次模拟考试 数学理


宁夏银川二中 2015 届高三第一次模拟考试 数学理 第Ⅰ 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
2 1.已知集合 A= x | x - x - 2 < 0 ,B= {y | y = sin x, x

{

}

r />R},则(



(A) A ? B

(B) B ? A

(C) A ? B

[- 1,2)

(D) A ? B )

F

2. 若 1 + 2ai i =1 - bi ,其中 a, b ? R ,则 | a + bi |= (

(

)

(A)

1 +i 2

(B) 5

(C)

5 2

(D)

5 4

3.设 {an } 是首项为 a1 ,公差为 -1 的等差数列, Sn 是其前 n 项的和,若 S1 , S2 , S4 成等 比数列, 则 a1 =( (A)2 ) (B)-2 (C)

1 2

(D) -

1 2


ì x - y + 1 0, ? ? ? 4. 若实数 x,y 满足 í x + y 0, 则 z = x - 2 y 的最大值是( ? ? ? ? ? y - 3 x + 1 0,
(A) - 3 (B)

3 2

(C)

3 4

(D) -

3 2

5.阅读下列算法: (1)输入 x. (2)判断 x>2 是否成立,若是,y=x; 否则,y=-2x+6. (3)输出 y. 当输入的 x ? [0,7]时,输出的 y 的取值范围是( (A) [2,7] (B) [2,6] (C) [6,7] ) (D) [0,7] )

6. 将三封信件投入两个邮箱,每个邮箱都有信件的概率是( (A)1

3 (B) 4

2 (C) 3


1 (D) 8
; 1 3x ”

7.下列命题正确的个数是(
2 ①命题“ $x0 ? R, x0

1> 3x0 ”的否定是“ " x ? R, x2

②“函数 f x = cos2 ax - sin2 ax 的最小正周期为 p ”是“ a = 1 ”的必要不充分条件; ③ “ x2 + 2 x澄 a x 在 x ; 1 ,2 ]上恒成立”? “ ( x 2 + 2 x)min (ax)max 在 x ? [ 1, 2]上恒成立” [

()

④“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ab<0”. (A)1 (B)2 (C)3 (D) 4 8.把一个三棱锥适当调整位置,可以使它的三视图(正视图, 侧视图,俯视图)都是矩形,形状及尺寸如图所示,则这个 三棱锥的体积是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D) 6
3 俯视图

1 正视图 侧视图

2

9.若函数 f (x) = 2sin wx(w > 0) 在 (0, 2p ) 上恰有两个极大值和一个极小值,则 w 的取值 范围是( (A) ? ? , ú ) (B) ? ? , ú

纟 5 7 ? è4 4 ú ?

纟 3 4 ? è4 5 ú ?

(C) ? ?1, ú

纟5 ? è 4ú ?

(D) ? ? , ú

纟 3 5 ? è4 4 ú ?

10. 设 F 是 抛 物 线 C : y 2 = 12x 的 焦 点 , A 、 B 、 C 为 抛 物 线 上 不 同 的 三 点 , 若

FA + FB + FC = 0 ,则 FA + FB + FC =(
(A)3 (B)9 (C)12



(D) 18 满 足 f ( x+ 1. 5 ) = - f( x ) , 当 x ? [0, 3 ) 时, , 记 集 合

11. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f x

()

f ( x) = ( x- 1) - 0 . 5
A= {n | n是函数y = f ( x)(- 3 #x 则集合 A 的子集个数为( (A)8 (B)16 12. 已 知 椭 圆 C1 :

2

5.5)的图像与直线y = m(m R)的交点个数} ,
(D)64

) (C)32

x2 y 2 + = 1( a > b > 0) 的 左 右 焦 点 分 别 为 F , F ' , 双 曲 线 C2 : a 2 b2

x2 y2 = 1 与椭圆 C1 在第一象限的一个交点为 P,有以下四个结论: a 2 - b2 b2
① PF ?PF '

0 , 且 三 角 形 PFF ' 的 面 积 小 于 b2 ; ② 当 a = 2b 时 ,
p ' ;③分别以 PF,FF 为直径作圆,这两个圆相内切; ④曲线 C1 与 2


? PF ' F

? PFF '

C2 的离心率互为倒数.其中正确的有(

(A)4 个.

(B)3 个.

(C)2 个.

(D)1 个.

x y

0 8

1 m

2 n

3 4

第Ⅱ 卷

(共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题卡中横线上. 13.已知向量 a,b 的夹角为 120 ,若 |a|=3,|b|=4,|a+b|= l |a|,则实数 l 的值为 ________. 14. 已知相关变量 x,y 之间的一组数据如下表所示,回归直线 y=bx+a 所 表示的直线经过的定点为(1.5,5),则 mn=_____________. 15.已知函数 f x = ln 2x +1 +3 ,若方程 f (x)+ f '(x)- 3 = a 有解,则实数 a 的取值范围是_____________________.
0

( )

(

)

2 且n 16.已知数列 {an } 的首项 a1 = 1 ,前 n 项和为 Sn ,且 S n = 2 S n- 1 + 1 (n 澄
列 {bn } 是等差数列, 且 b1 = a1 , b4 = a1 + a2 + a3 , 设 cn = 则 T10 =_________________.

N * ) ,数

1 , 数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn , bnbn +1

三、解答题: (解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答过程写在指定位置) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=sin ? ?2 x -

骣 ? 桫

p÷ 2 ÷+2cos x-1 6÷

(Ⅰ ) 求函数 f(x)的单调递增区间, 并说明把 f ( x) 图像经过怎样的变换得到 g ( x) = sin 2 x 的 图像。 1 (Ⅱ )若在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 a=1,b+c=2,f(A)= ,求 2 △ABC 的面积. 18.(本小题满分 12 分)

如图,在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥ BC,∠ BAD=90° ,A1C1⊥ B1D ,BC=1,AD =AA1=3. (Ⅰ )证明:平面 ACD1⊥ 平面 B1BDD1; (Ⅱ )求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值.

19. (本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件, 测量这些产品的一项质量指标值, 由测量结果得如 下频率分布直方图:

(Ⅰ) 估计这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 。 (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种总产品的质量指标值 Z 近似服从正态分布

N (m, d2 ) ,其中 ? 近似为样本平均数 x ,d2 近似为样本方差 s 2 .(由样本估计得样本方差为
s 2 = 150 )
(i)利用该正态分布,求 P( Z < 212.2) ;

(ii)若这种产品质量指标值位于这三个区间(165,187.8) (187.8,212.2) (187.8,235)的 等级分别为二等品,一等品,优质品,这三类等级的产品在市场上每件产品的利润分别为 2 元,5 元,10 元。某商户随机从该企业批发 100 件这种产品后卖出获利,记 X 表示这 100 件产品的的利润,利用(i)的结果,求 EX . (附: 150 ≈12.2. 若 Z ~ N (m, d2 ) ,则 P(m- d < Z < m+ d) =0.6826,

P(m- 2d < Z < m+ 2d) =0.9544.)

20.(本小题满分 12 分) 如图,点 P(0, - 1) 是椭圆 C1 :

x2 y 2 + = 1 (a > b > 0) 的一个顶点, C1 的长轴是圆 C2 : a 2 b2

x2 + y 2 = 4 的直径,l1 , l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A 、B 两点,

l2 交椭圆 C1 于另一点 D 。
(I) 求椭圆 C1 的方程; (II) 求△ ABD 面积的最大值及取得最大值时直线 l1 的方程。

21.(本小题 12 分) 设函数 f (x) = ax - 2 - ln x (a

R).

(I)若 f ( x )在点(e, f (e)) 处的切线为 x - ey + b = 0, 求a , b 的值; (II)求 f ( x) 的单调区间;
x (Ⅲ)若 g ( x) = ax - e ,求证:在 x > 0 时, f ( x) > g ( x)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.在答题卡 .... 选答区域指定位置答题 ,并用 .注意所做题目的 .......... .. 2B . .铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 ................. ....... 题号必须与所涂题目的题号一致 . .............. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,C、D 是圆 O 上的两个点, CE ? AB 于 E , BD 交 AC 于G , 交 CE 于 F , CF ? FG . (I)求证:C 是劣弧 BD 的中点; (II)求证: BF = FG
C D G A O F E B

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

ì ? 2 5 ? x = 2t ? 2 2 ? x y 5 ? + = 1 ,直线 l : í 已知曲线 C : ( t 为参数) ? 16 12 5 ? ? y = 2+ t ? ? 5 ?
(I)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (II)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值及此 时 P 点的坐标。

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f (x) = 2x + 1 - x - 4 . (I)解不等式 f(x)>0; (II)若 f(x)+ x - 4 >m 对一切实数 x 均成立,求实数 m 的取值范围.

2015 年银川二中高三模拟一 (理科)数学

第Ⅰ 卷(共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
2 1.已知集合 A= x | x - x - 2 < 0 ,B= {y | y = sin x, x

{

}

R},则(



(A) A ? B

(B) B ? A

(C) A ? B

[- 1,2)

(D) A ? B )

F

2. 若 1 + 2ai i =1 - bi ,其中 a, b ? R ,则 | a + bi |= (

(

)

(A)

1 +i 2

(B) 5

(C)

5 2

(D)

5 4

3.设 {an } 是首项为 a1 ,公差为 -1 的等差数列, Sn 是其前 n 项的和,若 S1 , S2 , S4 成等 比数列, 则 a1 =( (A)2 ) (B)-2 (C)

1 2

(D) -

1 2


ì x - y + 1 0, ? ? ? 4. 若实数 x,y 满足 í x + y 0, 则 z = x - 2 y 的最大值是( ? ? ? ? ? y - 3 x + 1 0,
(A) - 3 (B)

3 2

(C)

3 4

(D) -

3 2

5.阅读下列算法: (1)输入 x. (2)判断 x>2 是否成立,若是,y=x; 否则,y=-2x+6. (3)输出 y. 当输入的 x ? [0,7]时,输出的 y 的取值范围是( (A) [2,7] (B) [2,6] (C) [6,7] ) (D) [0,7] )

6. 将三封信件投入两个邮箱,每个邮箱都有信件的概率是( (A)1 (B)

3 4

(C) )

2 3

(D)

1 8
; 1 3x ”

7.下列命题正确的个数是(
2 ①命题“ $x0 ? R, x0

1> 3x0 ”的否定是“ " x ? R, x2
2 2

②“函数 f x = cos ax - sin ax 的最小正周期为 p ”是“ a = 1 ”的必要不充分条件; ③ “x + 2 x澄 a x 在 x
2

()

; 1 ,2 ]上恒成立”? “ ( x 2 + 2 x)min (ax)max 在 x ? [ 1, 2]上恒成立” [

④“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ab<0”. (A)1 (B)2 (C)3 (D) 4

8.把一个三棱锥适当调整位置,可以使它的三视图(正视图, 侧视图,俯视图)都是矩形,形状及尺寸如图所示,则这个 三棱锥的体积是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D) 6

1 正视图 侧视图

2 3 俯视图

9.若函数 f (x) = 2sin wx(w > 0) 在 (0, 2p ) 上恰有两个极大值和一个极小值,则 w 的取值 范围是( (A) ? ? , ú ) (B) ? ? , ú

纟 5 7 ?4 4 ú è ?

纟 3 4 ?4 5 ú è ?

(C) ? ?1, ú

纟5 ? 4ú è ?

(D) ? ? , ú

纟 3 5 ?4 4 ú è ?

10. 设 F 是 抛 物 线 C : y 2 = 12x 的 焦 点 , A 、 B 、 C 为 抛 物 线 上 不 同 的 三 点 , 若

FA + FB + FC = 0 ,则 FA + FB + FC =(
(A)3 (B)9 (C)12



(D) 18 满 足 f ( x+ 1. 5 ) = - f( x ) , 当 x ? [0, 3 ) 时, , 记 集 合

11. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f x

()

f ( x) = ( x- 1) - 0 . 5
A= {n | n是函数y = f ( x)(- 3 #x 则集合 A 的子集个数为( (A)8 (B)16 12. 已 知 椭 圆 C1 :

2

5.5)的图像与直线y = m(m R)的交点个数} ,
(D)64

) (C)32

x2 y 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的 左 右 焦 点 分 别 为 F , F ' , 双 曲 线 C2 : 2 a b

x2 y2 = 1 与椭圆 C1 在第一象限的一个交点为 P,有以下四个结论: a 2 - b2 b2
① PF ?PF '

0 , 且 三 角 形 PFF ' 的 面 积 小 于 b2 ; ② 当 a = 2b 时 ,
p ' ;③分别以 PF,FF 为直径作圆,这两个圆相内切; ④曲线 C1 与 2
) (D)1 个.

? PF ' F

? PFF '

C2 的离心率互为倒数.其中正确的有(
(A)4 个. (B)3 个. (C)2 个.

理 科 数 学 选 择 题 答 案 : CCDCA DB 第Ⅱ 卷

BBBAD

x y

0 8

1 m

n 2

3 4

(共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题卡中横线上. 13.已知向量 a,b 的夹角为 120 ,若 |a|=3,|b|=4,|a+b|= l |a|,则实数 l 的值为 ________. 14. 已知相关变量 x,y 之间的一组数据如下表所示,回归直线 y=bx+a 所 表示的直线经过的定点为(1.5,5),则 mn=_____________. 15.已知函数 f x = ln 2x +1 +3 ,若方程 f (x)+ f '(x)- 3 = a 有解,则实数 a 的取值范围是_____________________.
0

( )

(

)

2 且n 16.已知数列 {an } 的首项 a1 = 1 ,前 n 项和为 Sn ,且 S n = 2 S n- 1 + 1 (n 澄
列 {bn } 是等差数列, 且 b1 = a1 , b4 = a1 + a2 + a3 , 设 cn = 则 T10 =_________________.

N * ) ,数

1 , 数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn , bnbn +1

填空题答案

13 ; 12; 3

[1+ ln 2, + );

10 21

三、解答题: (解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答过程写在指定位置) 17. (本小题满分 12 分) π? 2 已知函数 f(x)=sin? ?2x-6?+2cos x-1 ( Ⅰ) 求 函 数 f(x) 的 单 调 增 区 间 , 并 说 明 可 把 f ( x) 图 像 经 过 怎 样 的 平 移 变 换 得 到

g ( x) ? sin 2 x 的图像。
1 (Ⅱ )若在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 a=1,b+c=2,f(A)= ,求 2 △ABC 的面积.



π? 3 1 3 1 2 (1)∵f(x)=sin? ?2x-6?+2cos x-1= 2 sin2x-2cos2x+cos2x= 2 sin 2x+2cos 2x=

π? sin? ?2x+6?. π π? ∴函数 f(x)的单调递增区间是? ?kπ-3,kπ+6?(k∈Z). 可将 f ( x) 图像横坐标向右平移 1 (2)∵f(A)= , 2

? 个单位,纵坐标不变得到 g ( x) ? sin 2 x 的图像。 12
又 0<A<π, π π 13π ∴ <2A+ < . 6 6 6

π? 1 ∴sin ? ?2A+6?=2.

π 5π π ∴2A+ = ,故 A= . 6 6 3
2 2

π 在△ABC 中,∵a=1,b+c=2,A= , 3 1 3 ∴bc=1. ∴S△ABC= bcsin A= . 2 4

∴1=b +c -2bccos A,即 1=4-3bc.

18.(本小题满分 12 分) 如图,在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥ BC,∠ BAD=90° ,A1C1⊥ B1D ,BC=1,AD= AA1=3. (Ⅰ )证明:平面 ACD1⊥ 平面 B1BDD1; (Ⅱ )求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值. 方法一 (1)证明 ∵ AA1∥ CC1 且 AA1=CC1,∴AC∥ A1C1 ∵A1C1⊥ B1D ,∴AC⊥ B1D 因为 BB1⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD,所以 AC⊥BB1. , 所以 AC⊥平面 B1BDD1 又因为 AC ? 面 ACD1, 平面 ACD1⊥ 平面 B1BDD1;

(2)解 因为 B1C1∥AD,所以直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角等于直线 AD 与平面 ACD1 所 成的角(记为 θ).如图,连接 A1D,因为棱柱 ABCD-A1B1C1D1 是直棱柱,且∠B1A1D1=∠ BAD=90° , 所以 A1B1⊥平面 ADD1A1,从而 A1B1⊥AD1.又 AD=AA1=3,所以四边形 ADD1A1 是正方 形. 于是 A1D⊥AD1,故 AD1⊥平面 A1B1D,于是 AD1⊥B1D. 由(1)知,AC⊥B1D,所以 B1D⊥平面 ACD1.故∠ADB1=90° -θ,在直角梯形 ABCD 中, AB BC 因为 AC⊥BD,所以∠BAC=∠ADB.从而 Rt△ABC∽Rt△DAB,故 = , DA AB 即 AB= DA· BC= 3.
2 2 2 2 连接 AB1,易知△AB1D 是直角三角形,且 B1D2=BB2 1+BD =BB1+AB +AD =21,

即 B1D= 21.在 Rt△AB1D 中,cos∠ADB1= 即 cos(90° -θ)= 从而 sin θ= 21 . 7 21 . 7

AD 3 21 = = , B1D 7 21

即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为

21 . 7

方法二 (1)证明 易知,AB,AD,AA1 两两垂直.如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 设 AB=t, 则相关各点的坐标为 A(0,0,0), B(t,0,0), B1(t,0,3), C(t,1,0), C1(t,1,3), D(0,3,0), D1(0,3,3). 从而 B1 D =(-t,3,-3), AC ? A1C1 =(t,1,0), BD =(-t,3,0). 因为 AC⊥BD,所以· -t2+3+0=0,解得 t= 3或 t=- 3(舍去). 于是 B1 D =(- 3,3,-3), AC ? A1C1 =( 3,1,0), 因为 AC ? A1C1 AC BD =-3+3+0=0, 所以⊥,即 AC⊥B1D. 因为 BB1⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, 所以 AC⊥BB1. ,所以 AC⊥平面 B1BDD1 又因为 AC ? 面 ACD1,
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

平面 ACD1⊥ 平面 B1BDD1;
?

(2)解 由(1)知, AD =(0,3,3), AC ? =( 3,1,0), B1C1 ? =(0,1,0).

?

? 3x+y=0, 设 n=(x,y,z)是平面 ACD1 的一个法向量,则,即? ?3y+3z=0,
令 x=1,则 n=(1,- 3, 3).设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ,则 sin θ=|cos〈n, 〉|== 3 21 = . 7 7 21 . 7

即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为

19. (本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件, 测量这些产品的一项质量指标值, 由测量结果得如 下频率分布直方图: (Ⅰ) 估计这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 。 (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种总产品的质量指标值 Z 近似服从正态分布

N (?, ? 2 ) ,其中 ? 近似为样本平均数 x , d2 近似为样本方差 s 2 .(由样本估计得样本方差

为 s ? 150 )
2

(i)利用该正态分布,求 P( Z < 212.2) ; (ii) 若将这种产品质量指标值位于这三个区间 (, 187.8) (187.8,212.2) (212.2.,+ )

的等级分别为二等品,一等品,优质品,这三类等级的产品在市场上每件产品的利润分别为 2 元,5 元,10 元。某商户随机从该企业批发 100 件这种产品后卖出获利,记 X 表示这 100 件产品的的利润,利用正态分布原理和(i) 的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2. 若 Z ~ N (m, d2 ) ,则

P(m- d < Z < m+ d) =0.6826,
P(m- 2d < Z < m+ 2d) =0.9544.

解: (1)取个区间中点值为区间代表计算得:
-

x = 170? 0.02 180? 0.09 190? 0.22

200 ? 0.33

210 ? 0.24

220 ? 0.08

230? 0.02

200

(2)(i) P( Z < 212.2) =0.8413 (ii)设这种产品每件利润为随机变量 Y,其分布列为 Y P 2 0.1587 5 0.6826 10 0.1587

E (Y ) = 2? 0.1587

5? 0.6826 10? 0.1587 531.74.

5.3174

E ( x) = E (100Y ) = 100? 5.3174
20.(本小题满分 12 分) 如图,点 P(0, ?1) 是椭圆 C1 :

x2 y 2 + = 1 (a > b > 0) 的一个顶点, C1 的长轴是圆 C2 : a 2 b2

x2 + y 2 = 4 的直径,l1 , l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A 、B 两点,

l2 交椭圆 C1 于另一点 D 。
(I) 求椭圆 C1 的方程; (II) 求△ ABD 面积的最大值及取得最大值时直线 l1 的方程。 解: (1)由题意得 ? í

ì b= 1 ? ? ? ?a= 2

∴椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)设 A( x1 , y2 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) . 由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k ,则直线 l1 的方程为

y = kx - 1 。故点 O 到直线 l1 的距离为 d =

1 k +1
2

,又圆 C2 : x2 + y 2 = 4 ,

4k 2 + 3 ∴ | AB |= 2 4 - d = 2 . k2 + 1
2

又 l1 ^ l2 , ∴直线 l2 的方程为 x + ky + k = 0. 由

ì x + ky + k = 0 ? ? ,消去 y ,整理得 (4 + k 2 ) x2 + 8kx = 0 , í 2 2 ? x + 4 y = 4 ? ?
故 x0 = -

8k ,代入 l2 的方程得 4+ k2

y0 =

4- k2 . ∴ | PD |= 4+ k2

(

8k 2 4- k2 8 k2 + 1 2 ) + ( + 1) = . 4+ k2 4+ k2 4+ k2

设△ ABD 的面积为 S ,

1 8 k2 + 1 则 S = | AB || PD |= 2 4+ k2
? 2 32 4k 2 + 3 13 4k 2 + 3 16 13 . 13

∴S =

32 4k 2 + 3 + 13 4k + 3
2

当且仅当 4k + 3 =

2

13 4k 2 + 3



即k =

10 时上式取等号。 2

∴当 k =

10 16 13 时 , △ ABD 的 面 积 取 得 最 大 值 , 此 时 直 线 l1 的 方 程 为 2 13

y= ?

10 x 1. 2

21.(本小题 12 分) 设函数 f (x) = ax - 2 - ln x (a

R).

(I)若 f ( x )在点(e, f (e)) 处的切线为 x - ey + b = 0, 求a , b 的值; (II)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 g ( x) = ax - e x ,求证:在 x > 0 时, f ( x) > g ( x) 21.解(I)∵
'

f (x) = ax - 2 - ln x (a R)
1 ax - 1 = x x 1 e

∴ f ( x) = a -

又 f ( x )在点(e, f (e)) 的切线的斜率为 ∴

f (e) ?

'

ae ? 1 1 ? e e

∴a?

2 e

∴ 切 点 为 (e,?1) 把 切 点 代 入 切 线 方 程 得

b ? ?2e

1 1 又 g (1) = e - 1 > 0, g ( ) = e 3 - 3 < 0 3 '

'

'

∴ g (1) ?g ( )

'

1 3

0

' ' 1 g ( x ) 在 ( ,1) 内存在唯一的零点,也即 g ( x ) 在 (0, + 3

) 上有唯一零点

设 g ( x ) 的零点为 t,则 g (t ) = e ' '

'

'

t

' 1 1 1 = 0, 即 et = ( < t < 1), 由 g ( x ) 得单调性知: t t 3

当 x ? (0, t ) 时, g ( x ) < g (t ) = 0, g ( x) 为减函数 当 x ? (t ,

) 时, g ( x ) > g (t ) = 0, g ( x) 为增函数,所以
1 1 1 et - ln t - 2 = - ln t - 2 = + t - 2 ? 2 2 = 0 t e t

'

'

当 x > 0 时, g ( x) ? g (t ) 又

1 < t < 1, ,等号不成立∴, g ( x) > 0 3

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.在答题卡 .... 选答区域指定位置答题 ,并用 .注意所做题目的 .......... .. 2B . .铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 ................. ....... 题号必须与所涂题目的题号一致 . .............. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,C、D 是圆 O 上的两个点,
CE ? AB 于 E , BD 交 AC 于 G ,

C D G A O F E B

交 CE 于 F , CF ? FG .

(I)求证:C 是劣弧 BD 的中点; 22.解: (I)? CF=FG , \ ? CGF

(II)求证: BF ? FG .

FCG .

? AB 圆 O 的直径, \ ? ACB ? CE ? AB , \ ? CEA ? ? CBA
? CGF \ ? CAB
(II) ? ? GBC

? ADB

p . 2

p . 2 CAB , \ ? CBA
ACE .

p p - 行 CAB, ACE = 2 2
DGA , ? DGA

衆 ABC ,

p - ? DGA 2

p 2

ABC ,
…………5 分

DAC ,? C为劣弧BD的中点 .

\ ? GBC

p p - 行 CGB, FCB = - GCF , 2 2 FCB , \ CF = FB , \ BF = FG.

…………10 分

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

ì ? 2 5 ? x = 2t ? 2 2 ? x y 5 ? + = 1 ,直线 l : í 已知曲线 C : ( t 为参数) ? 16 12 5 ? ? y = 2+ t ? ? 5 ?
(I)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (II)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值及取 得最大值时 P 点的坐标。 解: (1)曲线 C 的参数方程为: ? í

ì ? x = 4 cos q 直线 L 的普通方程为 x + 2 y - 6 = 0 ? y = 2 3 sin q ? ?

(2)设曲线上任意一点 P 的坐标为 (4 cos? ,2 3 sin ? ) ,则 PA 的距离是 P 到直线距离的 两倍

所以得 PA = 2d = 2

4cos q + 4 3 sin q - 6 = 2 5

8sin(q + 5

p )- 6 6

当 sin(q +

p 28 5 ) = - 1 时, PA 有最大值 ,此时 P 的坐标为 (- 2, - 3) 6 5

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 4 (I)解不等式 f(x)>0; (II)若 f(x)+ \ ? CEA

p >m 对一切实数 x 均成立,求实数 m 的取值范围. 2

24.解: (I)当 x ? 4 时, f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0,得 x>-5,所以 x ? 4 成立. 当?

1 ? x ? 4 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0,得 x>1,所以 1<x<4 成立. 2
1 时, f(x)=-x-5>0,得 x<-5,所以 x<-5 成立. 2
. …………5 分

当x??

综上,原不等式的解集为{x|x>1 或 x<-5}

(II)f(x)+ 3 x ? 4 =|2x+1|+2|x-4| ?| 2 x ? 1 ? (2 x ? 8) |? 9 . 当 x ? 4或x ? ? 时等号成立 ,所以 m<9.

1 2

…………10 分


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