当前位置:首页 >> 数学 >>

二次函数的最值问题举例(附练习、答案)


二次函数的最值问题举例(附练习、答案)
二次函数 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0) 是初中函数的主要内容,也是高中学习的重要基础.在初
2

中阶段大家已经知道:二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况(当 a ? 0 时,函数在
x?? b 2a
2

处取得最小值

4 ac ? b 4a

2

,无最大值;当 a ? 0 时,函数在 x ? ?

b 2a

处取得最大值

4 ac ? b 4a

,无最小值.

本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时,函数的最值问题.同时 还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用. 【例 1】当 ? 2 ? x ? 2 时,求函数 y ? x ? 2 x ? 3 的最大值和最小值.
2

分析:作出函数在所给范围的及其对称轴的草图,观察图象的最高点和最低点,由此得到函 数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值. 解:作出函数的图象.当 x ? 1 时, y min ? ? 4 ,当 x ? ? 2 时, y max ? 5 .

【例 2】当 1 ? x ? 2 时,求函数 y ? ? x ? x ? 1 的最大值和最小值.
2

解:作出函数的图象.当 x ? 1 时, y min ? ? 1 ,当 x ? 2 时, y max ? ? 5 . 由上述两例可以看到, 二次函数在自变量 x 的给定范围内, 对应的图象是抛物线上的一段. 那 么最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值. 根据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异.下面给出一些常 见情况:

【例 3】当 x ? 0 时,求函数 y ? ? x (2 ? x ) 的取值范围. 解:作出函数 y ? ? x (2 ? x ) ? x ? 2 x 在 x ? 0 内的图象.
2

可以看出:当 x ? 1 时, y min ? ? 1 ,无最大值. 所以,当 x ? 0 时,函数的取值范围是 y ? ? 1 . 的最小值(其中 t 为常数). 2 2 分析:由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的相对位置. 1 2 5 解:函数 y ? x ? x ? 的对称轴为 x ? 1 .画出其草图. 2 2 1 2 5 (1) 当对称轴在所给范围左侧.即 t ? 1 时: 当 x ? t 时, y min ? t ? t ? ; 2 2 (2) 当对称轴在所给范围之间.即 t ? 1 ? t ? 1 ? 0 ? t ? 1 时: 1 5 2 当 x ? 1 时, y min ? ? 1 ? 1 ? ? ? 3 ; 2 2 (3) 当对称轴在所给范围右侧.即 t ? 1 ? 1 ? t ? 0 时: 1 5 1 2 2 当 x ? t ? 1 时, y min ? ( t ? 1) ? ( t ? 1) ? ? t ? 3 . 2 2 2 【例 4】当 t ? x ? t ? 1 时,求函数 y ?
1 x ?x?
2

5

?1 2 ? 2 t ? 3, t ? 0 ? 综上所述: y ? ? ? 3, 0 ? t ? 1 ?1 5 ? t2 ? t ? ,t ? 1 2 ?2

在实际生活中,我们也会遇到一些与二次函数有关的问题: 【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量 m (件) 与每件的销售价 x (元)满足一次函数 m ? 162 ? 3 x , 30 ? x ? 54 . (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的函数关系式; (2) 若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为 多少? 解:(1) 由已知得每件商品的销售利润为 ( x ? 30) 元, 那么 m 件的销售利润为 y ? m ( x ? 30) ,又 m ? 162 ? 3 x .
? y ? ( x ? 30)(162 ? 3 x ) ? ? 3 x ? 252 x ? 4860, 30 ? x ? 54
2

(2) 由(1)知对称轴为 x ? 42 ,位于 x 的范围内,另抛物线开口向下
? 当 x ? 42 时, y max ? ? 3 ? 42 ? 252 ? 42 ? 4860 ? 432
2

? 当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润,最大销售利润为 432 元.


A
2




1. 抛物线 y ? x ? ( m ? 4) x ? 2 m ? 3 , m = _____ 时, 当 图象的顶点在 y 轴上; m = _____ 时, 当 图象的顶点在 x 轴上;当 m = _____ 时,图象过原点. 2.用一长度为 l 米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为 ________ . 3.求下列二次函数的最值: (1) y ? 2 x ? 4 x ? 5 ;
2 2

(2) y ? (1 ? x )( x ? 2) .

4.求二次函数 y ? 2 x ? 3 x ? 5 在 ? 2 ? x ? 2 上的最大值和最小值,并求对应的 x 的值. 5.对于函数 y ? 2 x ? 4 x ? 3 ,当 x ? 0 时,求 y 的取值范围.
2

6.求函数 y ? 3 ?

5 x ? 3 x ? 2 的最大值和最小值.
2
2 2

7.已知关于 x 的函数 y ? x ? (2 t ? 1) x ? t ? 1 ,当 t 取何值时, y 的最小值为 0? 组

B
2

1.已知关于 x 的函数 y ? x ? 2 ax ? 2 在 ? 5 ? x ? 5 上. (1) 当 a ? ? 1 时,求函数的最大值和最小值; (2) 当 a 为实数时,求函数的最大值. 2.函数 y ? x ? 2 x ? 3 在 m ? x ? 0 上的最大值为 3,最小值为 2,求 m 的取值范围.
2

3.设 a ? 0 ,当 ? 1 ? x ? 1 时,函数 y ? ? x ? ax ? b ? 1 的最小值是 ? 4 ,最大值是 0,求 a , b 的
2

值. 4.已知函数 y ? x ? 2 ax ? 1 在 ? 1 ? x ? 2 上的最大值为 4,求 a 的值.
2

5.求关于 x 的二次函数 y ? x ? 2 tx ? 1 在 ? 1 ? x ? 1 上的最大值( t 为常数).
2

第五讲 二次函数的最值问题答案
A 组 1.4 14 或 2,
l
2

3 2

2.

16

m

2

3.(1) 有最小值 3,无最大值;(2) 有最大值 4.当 x ?
3 4

9 4

,无最小值.

时, y min ?

31 8

;当 x ? ? 2 时, y max ? 19 .

5. y ? ? 5
5 6

6.当 x ?

时, y m in ? 3 ?
5 4

3 6

;当 x ?

2 3

或 1 时, y max ? 3 .

7.当 t ? ?

时, y min ? 0 . B 组

1.(1) 当 x ? 1 时, y min ? 1 ;当 x ? ? 5 时, y max ? 37 . (2) 当 a ? 0 时, y max ? 27 ? 10 a ;当 a ? 0 时, y max ? 27 ? 10 a . 2. ? 2 ? m ? ? 1 . 3. a ? 2, b ? ? 2 . 4. a ? ?
1 4

或 a ? ?1 .

5.当 t ? 0 时, y max ? 2 ? 2 t ,此时 x ? 1 ;当 t ? 0 时, y max ? 2 ? 2 t ,此时 x ? ? 1 .


相关文章:
二次函数的最值问题(典型例题)
二次函数的最值问题(典型例题) - 2015 年 周末班学案 自信释放潜能;付出铸就成功! WLS 二次函数的最值问题 【例题精讲】 题面:当?1≤x≤2 时,函数 y=...
(01)二次函数 最值问题解答题专项练习60题(有答案)ok
(01)二次函数 最值问题解答题专项练习60题(有答案)ok - 二次函数最值专项练习 60 题 1.画出抛物线 y=4(x﹣3) +2 的大致图象,写出它的最值和增减性....
二次函数的几何最值问题
二次函数的几何最值问题_数学_初中教育_教育专区。针对二次函数压轴题的专题练习 二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题〖方法总结〗:在解答面积最值存在...
二次函数最值问题(含答案)
二次函数最值问题(答案) - 二次函数最值问题 一.选择题(共 8 小题) 1.如果多项式 P=a2+4a+2014,则 P 的最小值是( A.2010 B.2011 C.2012 D....
二次函数的线段最值问题
二次函数的线段最值问题 - 二次函数中线段和,差求最值的7道练习题。包含:将军饮马问题,过河架桥问题,垂线段最短问题以及形成三角形,利用三角形三边关系求最值。
二次函数的实际应用(利润最值问题)附答案
二次函数的实际应用(利润最值问题)附答案 - 第 3 课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问题 [例 1]:求下列二次函数的最值: (1)求函数{ EMBED ...
(825)二次函数 最值问题解答题专项练习60题(有答案)ok
(825)二次函数 最值问题解答题专项练习60题(有答案)ok_数学_高中教育_教育专区。函数必会 二次函数最值专项练习 60 题 1.画出抛物线 y=4(x﹣3) +2 的...
中考二次函数面积最值问题(含答案)
中考二次函数面积最值问题(答案)_数学_初中教育_教育专区。二次函数最值问题 例 1、小磊要制作一个三角形的钢架模型,在这个三角形中,长度为 x(单位:cm)的...
实际问题与二次函数_详解与练习(含答案)
实际问题与二次函数_详解与练习(答案) - 初中数学专项训练:实际问题与二次函数 一、利用函数求图形面积的最值问题 一、围成图形面积的最值 1、 只围二边的...
二次函数符号和最值问题练习题
二次函数符号和最值问题练习题_数学_高中教育_教育专区。二次函数符号和最值问题练习题 一、二次函数符号问题 2 1.已知函数 y=ax +bx+c,图象如图所示,则...
更多相关标签: