当前位置:首页 >> 音频/视频技巧 >>

高二数学直线与圆锥曲线同步测试1


安陆一中高二数学同步测试直线与圆锥曲线(一)
一、选择题 1.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 A.2
2

x

2

+y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( C.
4 10 5

)

4

B.

4 5 5

D.

8 10 5

2.抛物线 y=ax 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1,x2, 直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( ) A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 3. (浙江)函数 y=ax +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a=( (A)
1 8
2

)

(B)

1 4
2

(C)

1 2

(D)1

4. (上海)过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的 横坐标之和等于 5,则这样的直线( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在

5. ( 山 东 卷 ) 设 直 线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关 于 原 点 对 称 的 直 线 为 l ? , 若 l ? 与 椭 圆
x ?
2

y

2

?1

1

4

的交点为 A、B、 ,点 P 为椭圆上的动点,则使 ? P A B 的面积为 2 的点 P 的个 (B)2
x
2 2

数为( ) (A)1

(C)3
x ? 3

(D)4

? y

2

? 1 (a ? 0)

6. (全国卷Ⅰ)已知双曲线 a 心率为(
3

的一条准线为

2 ,则该双曲线的离


3

6

2

3

(A) 2

(B) 2

(C) 2

(D) 3

7. (全国卷 III)设椭圆的两个焦点分别为 F1、 F2, F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 、 过 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )
2 2 ?1

(A) 2

(B)

2

(C) 2 ?

2

(D) 2 ? 1

x

2 2

y

2 2

8.(湖南卷)已知双曲线 a

-b
a
2

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条

渐近线交于点 A,△OAF 的面积为 2 (O 为原点) ,则两条渐近线的夹角为(



A.30? B.45? C.60? D.90? 9. (福建卷)已知定点 A、B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是 ( )
1 3 7

A. 2

B. 2

C. 2
x
2

D.5
? y
2

?1

1

10. (广东卷)若焦点在轴上的椭圆 2
3 8

m

的离心率为 2 ,则 m=(
2

)

(A) 3 二、填空题

(B) 2

(C) 3

(D) 3

11.已知两点 M(1, ②x2+y2=3,③
x
2

5 4

)、N(-4,-
x
2

5 4

),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0,

+y2=1,④

-y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是

2

2

_________. 12.正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上,C、D 两点在抛物线 y2=x 上,则正方形 ABCD 的面积为_________. 13.在抛物线 y2=16x 内, 通过点(2, 1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 三、解答题 14.已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的 两点 A、B,且|AB|≤2p. (1)求 a 的取值范围. (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最大值.

15.已知中心在原点,顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率 e=

21 3

的双曲线过点 P(6,6).

(1)求双曲线方程. (2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N,问:是否存在直 线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论.

16.已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点,且都以点 A( 2 ,0)为圆心,1 为半径的圆 相切,双曲线的一个顶点 A1 与 A 点关于直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程. (2)设直线 l 过点 A,斜率为 k,当 0<k<1 时,双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直 线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时 B 点的坐标.

17.已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q, 且 OP⊥OQ,|PQ|=
10 2

,求椭圆方程.

18.如图所示,抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为

?
4

的直线 l

与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积.

19. 已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2) (1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜率取值范围,使 l 与 C 分别有一个交点,两个交点, 没有交点. (2)若 Q(1,1),试判断以 Q 为中点的弦是否存在.

20.如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与 椭圆的一个交点为 B, 1B|+|F2B|=10, 且|F 椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件: 2A|、 |F |F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m,求 m 的取值范围.

直线与圆锥曲线(一) 参考答案

一、选择题 1.. C

2. B

3.B

4.B

5.B

6.A

7.D

8.D

9. C

10.B

二、填空题 11.解析: P 在线段 MN 的垂直平分线上, 点 判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是否存 在交点. 答案:②③④ 12.解析:设 C、D 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长,利 用|CD|的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离,求出 b 的值,再代入求出|CD|的长. 答案:18 或 50 13.解析:设所求直线与 y2=16x 相交于点 A、B,且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2). 即
y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? 16 y1 ? y 2 ?

kAB=8.

故所求直线方程为 y=8x-15. 答案:8x-y-15=0 三、解答题 14. 解 : (1) 设 直 线 l 的 方 程 为 : y=x - a, 代 入 抛 物 线 方 程 得 (x - a)2=2px, 即 x2 - 2(a+p)x+a2=0 ∴|AB|= 2 ? 4 ( a ? p ) 2 ? 4 a 2 ≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤-p2 又∵p>0,∴a≤-
p 4

.

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y), 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p, 则有 x=
x1 ? x 2 2 ? a ? p, y ? y1 ? y 2 2
|a ? 2p ? a| 2

?

x1 ? x 2 ? 2 a 2

=p.

∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-p=-(x-a-p),从而 N 点坐标为(a+2p,0)? 点 N 到 AB 的距离为 从而 S△NAB=
1 2
p 4

?

2p

?

2 ?

4(a ? p )

2

? 4a

2

?

2p ? 2p

2 ap ? p

2

当 a 有最大值-

时,S 有最大值为 2 p2.
x a
2 2

15.解:(1)如图,设双曲线方程为

?

y b

2 2

=1.由已知得

6 a

2 2

?

6 b

2 2

? 1, e

2

?

a

2

? b a
2

2

?

21 3

,

解得 a2=9,b2=12.

所以所求双曲线方程为

x

2

?

y

2

=1.

9

12

(2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0) , ∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2).则有
?12 x 2 ? 9 y 2 ? 108 1 1 ? 2 2 y ? y2 12 4 ?12 x 2 ? 9 y 2 ? 108 ? 1 ? ? ? x1 ? x 2 9 3 ? x1 ? x 2 ? 4 ? ? y1 ? y 2 ? 4

,∴kl=

4 3

∴l 的方程为 y=

4 3

(x-2)+2,

?12 x 2 ? 9 y 2 ? 108 ? 由? 4 ? y ? ( x ? 2) 3 ?

,消去 y,整理得 x2-4x+28=0.

∵Δ =16-4×28<0,∴所求直线 l 不存在. 16.解:(1)设双曲线的渐近线为 y=kx,由 d=
| k 2k |
2

=1,解得 k=±1.

?1

即渐近线为 y=±x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0, 2 ). ∴a= 2 =b,所求双曲线 C 的方程为 x2-y2=2. (2)设直线 l:y=k(x- 2 )(0<k<1 ) ,依题意 B 点在平行的直线 l′上,且 l 与 l′间的 距离为 2 . 设直线 l′:y=kx+m,应有
| 2k ? m | k
2

?

2

,化简得 m2+2 2 km=2.

?1

② 把 l′代入双曲线方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0,

由Δ =4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0.可得 m2+2k2=2 ③ ② 、 ③ 两 式 相 减 得 k= x=
? mk k
2

2

m, 代 入 ③ 得 m2=

2 5

, 解 设 m=

10 5

,k=

2 5 5

,此时

?1

? 2

2

,y= 10 .故 B(2 2 , 10 ).

17.解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0), P(x1,y1),Q(x2,y2) 由?
?y ? x ?1 ? mx
2

? ny

2

?1

得(m+n)x2+2nx+n-1=0,

Δ =4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0, 由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴ ① 又2
4(m ? n ? mn ) m ? n ? ( 10 2 )
2

2 ( n ? 1) m ? n

?

2n m ? n

+1=0,∴m+n=2

,

将 m+n=2,代入得 m·n= ② 由①、②式得 m= 故椭圆方程为
x
2

3 4

1 2

,n=
3 2

3 2

或 m=
3 2

3 2

,n=
1 2

1 2

+

y2=1 或

x2+

y2=1.

2

18.解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0. 由方程组 ? ① ∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ =(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2, ∴|MN|=4 2 (1 ? m ) . 点 A 到直线 l 的距离为 d=
5? m 2

?y ? x ? m ?y
2

? 4x

,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0

.

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2

=2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2(

2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3

)3=128.

∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 . 19.解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点.当 l 的斜率 存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),代入 C 的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0 * () (ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时 Δ =[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) ①当Δ =0,即 3-2k=0,k= ②当Δ >0,即 k<
3 2 3 2

时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点.
3 2

,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k<

时,

方程(*)有两不等实根,l 与 C 有两个交点. ③当Δ <0,即 k>
3 2

时,方程(*)无解,l 与 C 无交点.
3 2

综上知:当 k=± 2 ,或 k= 当 2 <k< 当 k>
3 2 3 2

,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点;

,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点;

时,l 与 C 没有交点.

(2)假设以 Q 为中点的弦存在, 设为 AB, A(x1,y1),B(x2,y2), 2x12-y12=2,2x22-y22=2 且 则 两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即 kAB=
y1 ? y 2 x1 ? x 2

=2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为 中点的弦不存在. 20.解:(1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b= a 2 ? c 2 =3.

故椭圆方程为

x

2

?

y

2

=1.
9 5

25

9

(2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= 根据椭圆定义,有|F2A|=
4 5

.因为椭圆右准线方程为 x= (
25 4

25 4

,离心率为

4 5



(

25 4

-x1),|F2C|=

4 5

-x2),

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得
4 5

(

25 4

-x1)+

4 5

(

25 4

-x2)=2×

9 5

,由此得出:x1+x2=8.
x1 ? x 2 2

设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0=

=4.

(3)解法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上. 得?
2 2 ? ? 9 x 1 ? 25 y 1 ? 9 ? 25

? 9 x 2 ? 25 y 2 ?

2

2

? 9 ? 25

① ②

①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0, 即 9× (
x1 ? x 2 2 ) ? 25 ( y1 ? y 2 2 )?( y1 ? y 2 x1 ? x 2 )

=0(x1≠x2)


1 k

x1 ? x 2 2

? x0 ? 4,

y1 ? y 2 2

? y0,

y1 ? y 2 x1 ? x 2

? ?

1 k

(k ≠ 0) 代 入 上 式 , 得 9 × 4+25y0( -

)=0

(k≠0) 即 k=
25 36

y0(当 k=0 时也成立).
25 9

由点 P(4, 0)在弦 AC 的垂直平分线上, y0=4k+m,所以 m=y0-4k=y0- y 得 由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部,得- <m<
16 5

y0=-

16 9

y0.
16 5

9 5

<y0<

9 5

,所以-

.

解法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为 y-y0=- ③ 将③代入椭圆方程
x
2

1 k

(x-4)(k≠0)

?

y

2

=1,得

25

9

(9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0

所以 x1+x2=

50 ( k 0 ? 4 ) 9k
2

? 25

=8,解得 k=

25 36

y0.(当 k=0 时也成立)

(以下同解法一).


相关文章:
【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学选修2-1:第...
年人教A版高中数学选修2-1:第二章 圆锥曲线与方程 单元同步测试]_高中教育_...1<0,2sinθ+3>0,∴方程表示焦点在 y 轴上的双曲 线. 答案 D ) 2.双...
高中数学第2章圆锥曲线(一)同步练习北师大版4-1.
高中数学第2章圆锥曲线(一)同步练习北师大版4-1. - 第二章 圆锥曲线 1. 过球面上一点可以作球的( A.一条切线和一个切平面 C.无数条切线和无数个切...
2014-2015学年新课标A版高中数学选修2-1:第二章++圆锥曲线与方程+...
选修2-1:第二章++圆锥曲线与方程+单元同步测试(含解析)_数学_高中教育_教育...1 解析 直线 ax+by+1=0 中,与 x 轴的交点为 P(-a,0),与 y 1 轴...
河南师范大学附属中学高中数学(理)选修2-1(实验班)同步练习:第2章...
河南师范大学附属中学高中数学(理)选修2-1(实验班)同步练习:第2章 圆锥曲线10 - 练习十 一、选择题 1.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)...
2011年高考一轮数学复习 8-4直线与圆锥曲线的位置关系 ...
2011年高考一轮数学复习 8-4直线与圆锥曲线的位置关系 理 同步练习(名师解析) - 第8章 第4节 知能训练·提升 考点一:交点问题 x2 y2 1.直线 kx-y+k+...
2011年高考一轮数学复习 8-5圆锥曲线综合问题 理 同步...
2011年高考数学复习 8-5圆锥曲线综合问题 理 同步练习(名师解析) - 第8章 第5节 知能训练·提升 考点一:定点定值问题 1.在平面直角坐标系 xOy 中,...
更多相关标签: