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全称量词与存在量词习题


[学业水平训练] 1.(2013· 高考四川卷)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:? x∈ A,2x∈B,则( ) A.綈 p:? x∈A,2x?B C.綈 p:? x?A,2x∈B D. 2.(2012· 高考安徽卷)命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是( ) A.对任意实数 x,都有 x>1 B.不存在实数 x,使 x≤1 C.对任意实数 x,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1 解析:选 C.“存在实数 x,使 x>1”的否定是“对任意实数 x,都有 x≤1”.故选 C. 3.下列四个命题中的真命题为( ) A.若 sin A=sin B,则 A=B B.? x∈R,都有 x2+1>0 C.若 lg x2=0,则 x=1 D.? x0∈Z,使 1<4x0<3 解析:选 B.A 中,若 sin A=sin B,不一定有 A=B,故 A 为假命题;B 显然是真命题; 1 3 C 中,若 lg x2=0,则 x2=1,解得 x=± 1,故 C 为假命题;D 中,解 1<4x0<3 得 <x0< , 4 4 故不存在这样的 x0∈Z,故 D 为假命题. 4.下列四个命题中,既是全称命题又是真命题的是( ) A.斜三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数 x,使 x2>0 C.任意无理数的平方必是无理数 1 D.存在一个负数 x,使 >2 x 解析:选 A.只有 A,C 两个选项中的命题是全称命题,且 A 显然为真命题.因为 2是 无理数,而( 2)2=2 不是无理数,所以 C 为假命题. 5.对下列命题的否定说法错误的是( ) A.p:能被 2 整除的数是偶数;綈 p:存在一个能被 2 整除的数不是偶数 B.p:有些矩形是正方形;綈 p:所有的矩形都不是正方形 C.p:有的三角形为正三角形;綈 p:所有的三角形不都是正三角形
2 D.p:? x0∈R,x0 +x0+2≤0;綈 p:? x∈R,x2+x+2>0 解析:选 C.“有的三角形为正三角形”为特称命题,其否定为全称命题:所有的三角 形都不是正三角形,故选项 C 错误. 6.用符号“? ”与“? ”表示含有量词的命题. (1)实数的平方大于等于 0___________________________________. (2)存在一对实数 x0,y0,使 2x0+3y0+3>0 成立________. 答案:(1)? x∈R,有 x2≥0 (2)? x0,y0∈R,使 2x0+3y0+3>0 成立 7.命题 p:? x0∈R,x2 0+2x0+5<0 是________(填“全称命题”或“特称命题”),它

B.綈 p:? x?A,2x?B D.綈 p:? x∈A,2x?B

解析:选 D.因全称命题的否定是特称命题,故命题 p 的否定为綈 p:? x∈A,2x?B.故选

是________命题(填“真”或“假”),它的否定为綈 p:________.

2 2 解析:命题 p:? x0∈R,x2 0+2x0+5<0 是特称命题.因为 x +2x+5=(x+1) +4>0 恒成立, 所以命题 p 为假命题. 命题 p 的否定为:? x∈R,x2+2x+5≥0. 答案:特称命题 假 ? x∈R,x2+2x+5≥0

8.设命题 p:对一切 x∈R,都有 x2+ax+2<0,若綈 p 为真,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析:綈 p 为真,又綈 p:? x∈R,x2+ax+2≥0,而函数 f(x)=x2+ax+2 开口向上, 所以 a∈R. 答案:a∈R 1 9.已知 p:|3x-4|>2,q: 2 >0,求非 p 和非 q 对应的 x 值的集合. x -x-2 2 解:由 p:|3x-4|>2,得 p:x>2 或 x< , 3 2 ∴非 p: ≤x≤2, 3 ? 2 ? 即非 p 对应的 x 值的集合为?x3≤x≤2?. ? ? 1 由 q: 2 >0,得 q:x>2 或 x<-1, x -x-2 ∴非 q:-1≤x≤2, 即非 q 对应的 x 值的集合为{x|-1≤x≤2}. 10.命题 p 是“对某些实数 x,有 x-a>0 或 x-b≤0”,其中 a、b 是常数. (1)写出命题 p 的否定; (2)当 a、b 满足什么条件时,命题 p 的否定为真? 解:(1)命题 p 的否定:对任意实数 x,有 x-a≤0 且 x-b>0. ? ?x-a≤0 (2)要使命题 p 的否定为真,需要使不等式组? 的解集不为空集, ?x-b>0 ? 通过画数轴可看出,a、b 应满足的条件是 b<a. [高考水平训练] 2 1.若存在 x0∈R,使 ax0+2x0+a<0,则实数 a 的取值范围是( ) A.a<1 B.a≤1 C.-1<a<1 D.-1<a≤1 解析:选 A.当 a≤0 时,显然存在 x0∈R,使 ax2 0+2x0+a<0.当 a>0 时,需满足 Δ=4 -4a2>0,得-1<a<1,故 0<a<1,综上所述,实数 a 的取值范围是 a<1. 2.已知命题 p:? m∈R,m+1<0,命题 q:? x∈R,x2+mx+1>0 恒成立,若 p∧q 为假命题,则实数 m 的取值范围是________. 解析:因为 p∧q 为假命题,所以 p,q 中至少有一个为假命题.而命题 p:? m∈R,m +1<0 为真命题,所以命题 q:? x∈R,x2+mx+1>0 恒成立必定为假命题,所以 Δ=m2 -4×1≥0,解得 m≤-2 或 m≥2.又命题 p:? m∈R,m+1<0 为真命题,所以 m<-1. 故综上可知 m≤-2. 答案:(-∞,-2] 3.已知命题 p:“? x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“? x0∈R,x2 0+2ax0+2-a=0”, 若命题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围. 解:由“p 且 q”是真命题,则 p 为真命题,q 也为真命题. 若 p 为真命题,a≤x2 恒成立. 因为 x∈[1,2],所以 a≤1. 若 q 为真命题,即 x2+2ax+2-a=0 有实根,Δ=4a2-4(2-a)≥0,即 a≥1 或 a≤- 2. 综上,实数 a 的取值范围为 a≤-2 或 a=1.

4.已知命题 p:? m∈[-1,1],不等式 a2-5a-3≥ m2+8;命题 q:? x0,使不等式 x2 0+ax0+2<0.若 p 或 q 是真命题,綈 q 是真命题,求 a 的取值范围. 解:根据 p 或 q 是真命题,綈 q 是真命题,得 p 是真命题,q 是假命题. ∵m∈[-1,1],∴ m2+8∈[2 2,3]. ∵? m∈[-1,1],不等式 a2-5a-3≥ m2+8, ∴a2-5a-3≥3,∴a≥6 或 a≤-1. 故命题 p 为真命题时,a≥6 或 a≤-1. 2 又命题 q:? x0,使不等式 x0 +ax0+2<0, ∴Δ=a2-8>0, ∴a>2 2或 a<-2 2, 从而命题 q 为假命题时,-2 2≤a≤2 2, ∴命题 p 为真命题,q 为假命题时, a 的取值范围为-2 2≤a≤-1.


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