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2011高中数学竞赛标准讲义:第四章:几个初等函数的性质


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作者:康康

高中数学竞赛标准讲义:第四章:几个初等函数的性质 高中数学竞赛标准讲义:第四章:
一、基础知识 1.指数函数及其性质:形如 y=ax(a>0, a ≠ 1)的函数叫做指数函数,其定义域为 R,值域为(0, +∞),当 0<a<1 时,y=ax 是减函数,当 a>1 时,y=ax 为增函数,它的图象恒过定点(0,1)。 。 am 3.对数函数及其性质:形如 y=logax(a>0, a ≠ 1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0,+∞), 值域为 R,图象过定点(1,0)。当 0<a<1,y=logax 为减函数,当 a>1 时,y=logax 为增函数。 4.对数的性质(M>0, N>0); 1)ax=M ? x=logaM(a>0, a ≠ 1); 2)loga(MN)= loga M+ loga N; M 3)loga( )= loga M- loga N;4)loga Mn=n loga M;, N log c b 1 5)loga n M = loga M;6)aloga M=M; 7) loga b= (a,b,c>0, a, c ≠ 1). n log c a a 5. 函数 y=x+ (a>0)的单调递增区间是 ? ∞,? a 和 a ,+∞ ,单调递减区间为 ? a ,0 和 x 0, a 。(请读者自己用定义证明) 6.连续函数的性质:若 a<b, f(x)在[a, b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)=0 在(a,b)上至少 有一个实根。 二、方法与例题 1.构造函数解题。 例 1 已知 a, b, c∈(-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0. 【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1)),则 f(x)是关于 x 的一次函数。 所以要证原不等式成立,只需证 f(-1)>0 且 f(1)>0(因为-1<a<1). 因为 f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0, f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0, 所以 f(a)>0,即 ab+bc+ca+1>0.
n n

2.分数指数幂: a = a , a

1 n

m n

= a ,a
n m

?n

1 ? = n ,a n = a

m

1

(

]

(

] [

)

[

)

例 2 (柯西不等式) a1, a2,…,an 是不全为 0 的实数, 1, b2,…,bn∈R, ( ∑ a i2 ) ( ∑ bi2 ) 若 b 则 ·
i =1 i =1

n

n

≥( ∑ a i bi )2,等号当且仅当存在 ? ∈ R,使 ai= ?bi , i=1, 2, …, n 时成立。
i =1

n

【证明】
n

令 f(x)= ( ∑ a i2 )x2-2( ∑ a i bi )x+ ∑ bi2 = ∑ (ai x ? bi ) 2 ,
i =1 i =1 i =1 i =1

n

n

n

n

因为 ∑ a i2 >0,且对任意 x∈R, f(x)≥0,
i =1

所以△=4( ∑ a i bi )-4( ∑ a i2 )( ∑ bi2 )≤0. 展开得( ∑ a i2 )( ∑ bi2 )≥( ∑ a i bi )2。
i =1 i =1 i =1 i =1 n i =1 i =1 n n

n

n

n

等号成立等价于 f(x)=0 有实根,即存在 ? ,使 ai= ?bi , i=1, 2, …, n。

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1 ?? 1? ? 设 x, y∈R+, x+y=c, c 为常数且 c∈(0, 2],求 u= ? x + ?? y + ? 的最小值。 ? x ?? y? ? ? 1 ?? 1? x y 1 1 x y ? 【解】u= ? x + ?? y + ? =xy+ + + ≥xy+ +2· ? ? ? x ?? y? y x xy xy y x ? 1 =xy+ +2. xy
例3 ( x + y) 2 c 2 c2 1 = ,设 f(t)=t+ ,0<t≤ . 4 4 t 4 2 2 ? c ? c 因为 0<c≤2,所以 0< ≤1,所以 f(t)在 ? 0, ? 上单调递减。 ? 4 4 ? ? 令 xy=t,则 0<t=xy≤
c2 c2 4 c2 4 )= + 2 ,所以 u≥ + 2 +2. 4 4 c 4 c c2 4 c 当 x=y= 时,等号成立. 所以 u 的最小值为 + 2 +2. 2 4 c 2.指数和对数的运算技巧。 q 例 4 设 p, q∈R+且满足 log9p= log12q= log16(p+q),求 的值。 p t 【解】 令 log9p= log12q= log16(p+q)=t,则 p=9 , q=12 t , p+q=16t,

所以 f(t)min=f(

?4? ?4? 所以 9 +12 =16 ,即 1+ ? ? = ? ? . ?3? ?3?
t t t

t

2t

1± 5 q 12 t ? 4 ? . = t = ? ? ,则 1+x=x2,解得 x = 2 p 9 ?3? q q 1± 5 又 >0,所以 = . p p 2
t

记 x=

例5

对于正整数 a, b, c(a≤b≤c)和实数 x, y, z, w,若 ax=by=cz=70w,且

1 1 1 1 + + = ,求证: x y z w

a+b=c. 【证明】 由 ax=by=cz=70w 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 1 1 1 1 1 1 所以 lga= lg70, lgb= lg70, lgc= lg70, w x w y w z ?1 1 1? 1 1 1 1 1 相加得 (lga+lgb+lgc)= ? + + ? lg70,由题设 + + = , ?x y z? w x y z w ? ? 所以 lga+lgb+lgc=lg70,所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=2×5×7. 若 a=1,则因为 xlga=wlg70,所以 w=0 与题设矛盾,所以 a>1. 又 a≤b≤c,且 a, b, c 为 70 的正约数,所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例 6 已知 x ≠ 1, ac ≠ 1, a ≠ 1, c ≠ 1. 且 logax+logcx=2logbx,求证 c2=(ac)logab. 【证明】 由题设 logax+logcx=2logbx,化为以 a 为底的对数,得 log a x 2 log a x log a x + = , log a c log a b

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因为 ac>0, ac ≠ 1,所以 logab=logacc2,所以 c2=(ac)logab. 注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。 3.指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调 性的应用和未知数范围的讨论。 例 7 解方程:3x+4 x +5 x =6 x.
?1? ?2? ?5? ?1? ?2? ?5? 【解】 方程可化为 ? ? + ? ? + ? ? =1。设 f(x)= ? ? + ? ? + ? ? , 则 f(x)在(-∞,+∞) ?2? ?3? ?6? ?2? ?3? ?6? 上是减函数,因为 f(3)=1,所以方程只有一个解 x=3. ? x x + y = y 12 ? 例 8 解方程组: ? x + y (其中 x, y∈R+). 3 ?y =x ? ?( x + y ) lg x = 12 lg y 【解】 两边取对数,则原方程组可化为 ? . ①② ?( x + y ) lg y = 3glx 把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx,所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1,由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得 x+y=6, 代入①得 lgx=2lgy,即 x=y2,所以 y2+y-6=0. 又 y>0,所以 y=2, x=4. ? ? ?x = 1 ?x2 = 4 所以方程组的解为 ? 1 . ;? ? y1 = 1 ? y 2 = 2 ? ? 例 9 已知 a>0, a ≠ 1,试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。 ?( x ? ak ) 2 = x 2 ? a 2 ? 【解】由对数性质知,原方程的解 x 应满足 ? x ? ak > 0 .①②③ ?x 2 ? a 2 > 0 ? 若①、②同时成立,则③必成立, ?( x ? ak ) 2 = x 2 ? a 2 故只需解 ? . ? x ? ak > 0
x x x x x x

由①可得 2kx=a(1+k2),



a (1 + k 2 ) 1+ k 2 ,代入②得 >k. 2k 2k 若 k<0,则 k2>1,所以 k<-1;若 k>0,则 k2<1,所以 0<k<1. 综上,当 k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时,原方程有解。

当 k=0 时,④无解;当 k ≠ 0 时,④的解是 x=

三、基础训练题 1.命题 p: “(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命题 q:“x+y≥0”的_________条件。 2.如果 x1 是方程 x+lgx=27 的根,x2 是方程 x+10x=27 的根,则 x1+x2=_________. 3.已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,点 A(-1,1),B(1,3)在它的图象上,y=f-1(x)是它 的反函数,则不等式|f-1(log2x)|<1 的解集为_________。 1+ a2 4.若 log2a <0,则 a 取值范围是_________。 1+ a

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a ? ? 5.命题 p: 函数 y=log2 ? x + ? 3 ? 在[2,+∞)上是增函数;命题 q: 函数 y=log2(ax2-4x+1)的 x ? ? 值域为 R,则 p 是 q 的_________条件。 6.若 0<b<1, a>0 且 a ≠ 1,比较大小:|loga(1-b)|_________|loga(1+b). 7.已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。 1 1 + 8.若 x= ,则与 x 最接近的整数是_________。 1 1 log 1 log 1 3 3 2 5

1 ? ? 1 + 9.函数 y = log 1 ? ? 的单调递增区间是_________。 ?1? x 1+ x ? 2 x ?1 ? ?3 ?? ? x ∈ ? ,2? ? 的值域为_________。 ? ? x ? 2x + 5 ? ?2 ?? 11.设 f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a],其中 n 为给定正整数, n≥2, a∈R.若 f(x)在 x∈(∞,1]时有意义,求 a 的取值范围。 lg 2 x 12.当 a 为何值时,方程 =2 有一解,二解,无解? lg( x + a ) 四、高考水平训练题
10.函数 f(x)=
2

1.函数 f(x)=

8 ? 1 +lg(x2-1)的定义域是_________. x

? 1? 2.已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈ ? 0, ? 时恒成立,则 m 的取值范围是_________. ? 2? -x 2 3.若 x∈{x|log2x=2 },则 x , x, 1 从大到小排列是_________. 1? x ? a+b ? 4. 若 f(x)=ln ,则使 f(a)+f(b)= f ? ? _________. 1+ x ? 1 + ab ?
a ? ? 5. 命题 p: 函数 y=log2 ? x + ? 3 ? 在[2,+∞)上是增函数;命题 q:函数 y=log2(ax2-4x+1)的 x ? ? 值域为 R,则 p 是 q 的_________条件. 6.若 0<b<1, a>0 且 a ≠ 1,比较大小:|loga(1-b)| _________|loga(1+b)|. 7.已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________. 1 1 + 8.若 x= ,则与 x 最接近的整数是_________. 1 1 log 1 log 1 3 3 2 5

1 ? ? 1 + 9.函数 y= log 1 ? ? 的单调递增区间是_________. 1? x 1+ x ? 2? x ?1 ? ?3 ?? ? x ∈ ? ,2? ? 的值域为_________. ? ? x ? 2x + 5 ? ?2 ?? 11.设 f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a],其中 n 为给定正整数,n≥2,a∈R。若 f(x) 在 x ∈(-∞,1]时有意义,求 a 的取值范围。 lg 2 x =2 有一解,二解,无解? 12.当 a 为何值时,方程 lg( x + a )
10.函数 f(x)=
2

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四、高考水平训练题 1.函数 f(x)=

8 ? 1 +lg(x2-1)的定义域是__________. x

? 1? 2.已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈ ? 0, ? 时恒成立,则 m 的取值范围是 ________. ? 2? -x 2 3.若 x∈{x|log2x=2 },则 x , x, 1 从大到小排列是________. 1? x ? a+b ? 4.若 f(x)=ln ,则使 f(a)+f(b)= f ? ? 成立的 a, b 的取值范围是________. 1+ x ? 1 + ab ? 1023 1 q = ,其中 p, q 为整数,且(p ,q)=1,则 p·q 的值为 5.已知 an=logn(n+1),设 ∑ p n = 2 log a n 100 _________. 6.已知 x>10, y>10, xy=1000,则(lgx)·(lgy)的取值范围是________. 7.若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,则实数 k 的取值范围是________. x ≠1 ?| lg | x ? 1 || 的定义域为 R,若关于 x 的方程 f-2(x)+bf(x)+c=0 有 7 个不同 8.函数 f(x)= ? 0 x =1 ? 的实数解,则 b, c 应满足的充要条件是________. (1)b<0 且 c>0;(2)b>0 且 c<0;(3)b<0 且 c=0;(4)b≥0 且 c=0。 1? ? 1 9.已知 f(x)= ? x + ? x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t ≠ 0),则 F(x)是________函数(填奇偶性). ? 2 ?1 2 ? ?1+ x ? ? a+b ? ? a?b ? 10. 已知 f(x)=lg ? 若 其中|a|<1, |b|<1, f(a)+f(b)=________. 则 ?, f ? ? =1,f ? ? =2, ?1? x ? ? 1 ? ab ? ? 1 ? ab ? 11.设 a∈R,试讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。 ?a+b? 12.设 f(x)=|lgx|,实数 a, b 满足 0<a<b, f(a)=f(b)=2f ? ? ,求证: ? 2 ? (1)a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0;(2)3<b<4. 3n + 3?n 13. a>0 且 a ≠ 1, f(x)=loga(x+ x 2 ? 1 )(x≥1),1) f(x)的反函数 f-1(x);2) f-1(n)< 设 ( 求 ( 若 (n 2 ∈N+),求 a 的取值范围。 五、联赛一试水平训练题 1.如果 log2[log 1 (log2x)]= log3[log 1 (log3x)]= log5[log 1 (log5z)]=0,那么将 x, y, z 从小到大排列
2 3 5

为___________. 2.设对任意实数 x0> x1> x2> x3>0,都有 log x 1993+ log x 1993+ log x 1993> klog x 1993 恒成
0 10 2 0

x1

x2

x3

x3

立,则 k 的最大值为___________.
3.实数 x, y 满足 4x2-5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则

的值为___________. S max S min 4.已知 0<b<1, 00<α<450,则以下三个数:x=(sinα)logbsina, y=(cosα) logbsina, z=(sinα) logbsina 从 小到大排列为___________. 5.用[x]表示不超过 x 的最大整数,则方程 lg2x-[lgx]-2=0 的实根个数是___________. 6.设 a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1],记 a, b, c 中的最大数为 M,则 M 的最小值为___________.

1

+

1

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作者:康康
1 1998

7.若 f(x)(x∈R)是周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)= x

? 98 ? ? 101 ? ? 104 ? ,则 f ? ? , f ? ?, f ? ? ? 19 ? ? 17 ? ? 15 ?

由小到大排列为___________. 1 8.不等式 log 2 x ? 1 + log 1 x 2 +2>0 的解集为___________. 2 2
9.已知 a>1, b>1,且 lg(a+b)=lga+lgb,求 lg(a-1)+lg(b-1). lg(6 ? x) + lg( x ? 2) + log 1 ( x ? 2) 10.(1)试画出由方程
10

lg 2 y

=

1 所确定的函数 y=f(x)图象。 2

1 与 y=f(x)的图象恰有一个公共点,求 a 的取值范围。 2 11.对于任意 n∈N+(n>1),试证明:[ n ]+[ 3 n ]+…+[ n n ]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。 六、联赛二试水平训练题 3x 2 ? x 3 y 2 ? y 3z 2 ? z + + 1.设 x, y, z∈R+且 x+y+z=1,求 u= 的最小值。 1+ x2 1+ y2 1+ z2

(2)若函数 y=ax+

当 不等式 log 1 ( x 2 + ax + 5 + 1) · 5(x2+ax+6)+loga3≥0 有且只有一个解 a>1 log ( 2. a 为何值时,
n

且 a ≠ 1)。 3.f(x)是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数,满足条件;对于任何 x, y>1 及
u, v>0, f(x y )≤[f(x)] [f(y)] ①都成立,试确定所有这样的函数 f(x). 4. 求所有函数 f:R→R,使得 xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。 5.设 m≥14 是一个整数,函数 f:N→N 定义如下: ?n ? m + 14 n > m2 ? f(n)= ? , ? f ( f (n + m ? 13)) n ≤ m2 ? 求出所有的 m,使得 f(1995)=1995. 6.求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数 f: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y), x, y∈Q. 7.是否存在函数 f(n),将自然数集 N 映为自身,且对每个 n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。 8.设 p, q 是任意自然数,求证:存在这样的 f(x) ∈Z(x)(表示整系数多项式集合),使对 x 1 p 1 轴上的某个长为 的开区间中的每一个数 x, 有 f ( x) ? < 2 . q q q
u v
1 4u 1 4v

? x? ?f ? 9.设α,β为实数,求所有 f: R+→R,使得对任意的 x,y∈R+, f(x)f(y)=y2·f ? ? + x β f ? ? 成 ?2? ?2?

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