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2008年高考模拟创新试题分类汇编(数学)


2008 年高考模拟创新试题分类汇编(数学)
江苏省兴化中学 225752
研究高考,最终需要落实到试题的研究上,而试题研究一般为两个方向,一是研究近 几年的高考题,二是研究针对相应高考的模拟试题,前者是前奏与方向指导,而后者是综合 了前者的具体体现,其中的优秀试题更是如此。 基于此点, 笔者收录了 2005 年 60 套全国各地的模拟试题, 再加上 2004

年 9 月到 2005 年 4 月底期刊中的零碎试题共计 2400 道,对其进行了筛选与归类。在此过程中,笔者认识 到,优秀试题一般有三个先决条件:一是以能力立意,表现为很难单独地判断考查的是什么 知识, 而是在边缘知识上命题, 是对数个知识的“串门”综合;二是蕴涵了一定的数学思想, 不是简单的知识累计, 这些常常通过学生易犯的典型错误或一题多解来体现; 三是源于教材 而又高于教材,其中的“高”不是无休止地向“广”或“深” (俗称“深挖洞” ,这是区分高 考与竞赛题的重要标志)单方面开拓,而是更加突出“新”意(主要是结构形式新或背景紧 跟时代) 、 “平”意(主要是平常生活中常见、常用及知识上不超纲) 。这三个条件中,创新 是试题的核心,这也正应了“知识有纲、能力无纲”的“遵循教学大纲又不拘泥于大纲”的 近年一再提倡的高考政策,所以以创新为基准对试题进行了说明与分类汇编。

一,集合简易逻辑与不等式(复数)
一,考纲要求及分析 1,集合与简易逻辑:理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解空集和全集的意 义.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简 单的集合.理解逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的含义.理解四种命题及其相互关系.掌握充分 条件、必要条件及充要条件的意义. 集合是大学当中第一遇到的内容,也是现代数学的基础,因此,中学阶段集合上的能力 更重要的是作为一种思想的渗透。 而集合的思想方法又主要体现为: 一是理论上的思想渗透 (这不是高考命题的范畴) ,二是集合与其他知识如简易逻辑的类比性渗透(这也难于化到 高考命题的范围) ,三是集合本身内含了博大精深的思想,而这又是高中阶段能解决又能反 应能力的地方, 具体又表现为三点: ⑴集合表示方法间的转化蕴涵了数学解题的原则性思想:

列举法 文字描述法 ?? ??
熟悉化

? 具体化 属性描述法 ?简单化 ??? 符号表示法 ;⑵有限集合元素个数确定的 ? 直观化 图示法

容斥原理(该部分在教材中处于阅读内容,它可以用初中及小学的解方程法加以解决,也可 以用高中的容斥原理) ;⑶集合的运算更多情况下是自定义的;⑷集合与方程或不等式同解 性联系(这一部分通常以其他知识的面貌出现,如: “求…的解集”等等) 。 充要条件的题一般有三种类型:一,传统的判断形: “判断 A 是 B 的……条件” , 它常 常以选择题的形式出现;二是“证明 A 的……条件是 B”的证明型;三是“找出 A 的…… 条件,并证明”的开放型。后二者在高考中很少见到。 2,不等式:理解不等式的性质及其证明掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.掌握分析法、综合法、比较法证明简单 的不等式.掌握简单不等式的解法.理解不等式| a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。 从考题上而言, 能力的反应变化为, 在解法上由原来的等价转化 (穿根法) 更推进一步, 出现了可以用图象法并结合其他知识的解题这一原来认为是特殊技巧的解法的试题, 以此来

-1-

体现创新能力。 3,复数:这是限于理科的内容,考试要求为:了解复数的有关概念及复数的代数表示 和几何意义.掌握复数代数形式的运算法则,能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除 法运算.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想. 该部分降低要求,重心自然也放在基本的代数运算上。 将这几部分结合在一起, 是因为集合中的事例常常是通过不等式解集来体现, 试题中也 最容易体现此点;而复数也可以看作是由于数集的推广得到的。 二,例题简析 |lnx| 2 例 1,不等式 e >x -2 的解集为____________( 《数理天地》2005 年第 4 期 P18) 分析:将不等式转化为等价的有理不等式组,为此需要去掉绝对值符号,而 |lnx| lnx lnx>0 ? x>1,此时 e =e =x;同理得出 lnx<0 时情况,注意 x>0 的隐含条件。 解:原不等式等价于① ?

x ?1 ? 0 ? x ?1 或② ? ,①的解为 1≤x<2;②的解为 2 2 ?x ? x ? 2 ?? x ? x ? 2 ?

0<x<1.总之,填(0,2) 说明:该题综合了对数的运算、不等式的等价转化及分类讨论的数学思想,知识上不 超纲,充分体现了运算与思维能力。 例 2,如图,某药店有一架不准确的天平(其两臂不等)和一个 10 克的砝码。一名患 者想要 20 克中药,售货员将砝码放在左盘中,将药物放在右盘中,待平衡后交给患者;然 后又将药物放在左盘中,将砝码放在右盘中,待平衡后再交给患者。设患者实际购买药物为 m 克,则 m________20 克(填><=)(石家庄质检题)

解:设两臂长分别为 b,a,( b>a ) ,第一次、第二次称得的药物分别为 x,y 克,则: 10b=xa,yb=10a,从而 m=x+y= 10b + 10 a ≥2 10b ? 10a =20,等号成立当且仅当 10b = 10 a 当且仅当
a
b
a b

a

b

a=b

∵a≠b ∴m>20 克 填> 说明:该题容易看不懂题意,凭感觉“药店不吃亏”而错填<;这与考纲中考查理性思 维相对应。 例 3,某商场对商品进行两次提价,现提出四种提价方案,提价幅度较大的一种是( ) A,先提价 p%,后提价 q% B,先提价 q%,后提价 p% C,分两次提价

p?q % 2

D,分两次提价

p2 ? q2 %(以上 p≠q) (吉林质检) 2

解:设原价为 1,则 A、B 提价后都为(1+p%)(1+q%),A、B 都不当选;方案 C 提价后为 (1+

p?q 2 %) ,方案 D 提价后为(1+ 2

p2 ? q2 2 %) ,只要比较 2

p?q p2 ? q2 与 的大小。这 2 2

是教材中一个习题,有

p?q p2 ? q2 ≥ ,由于 p≠q,所以 2 2
-2-

p2 ? q2 p ? q > ,选 D。 2 2

说明:不等式

p?q p2 ? q2 ≥ 反应了平方和与和的大小关系,是教材中的一个习 2 2

题,用它可以解决许多问题,该题给我们的启示是, “应将之视作一个基本不等式对待” 。
m ? n(m与n同奇偶) 例 4,任意两正整数 m、n 之间定义某种运算 ? ,m ? n= ? ,则集合 ? ? m n(m与n异奇偶) ?

M={(a,b)|a ? b=36,a、b∈N+}中元素的个数是___________(金良.《考试》2004(11)P25) 解:a、b 同奇偶时,有 35 个;a、b 异奇偶时,有(1,36)、(3,12)、(4,9)、(9,4)、(12,3)、 (36,1)6 个,共计 41 个。填 41。 说明:定义运算是数学学习到一定程度的抽象产物,它给我们的启示是:集合间的运 算并非仅教材上提及的几个简单运算,多数情况下是自定义的。 [试题汇编] 一,单项选择题 1,已知 M={y|y=x },N={y|x +y =2},则 M ? N=( A、{(1,1),(-1,1)} 2, (理)设复数 z= A,-21 B,35 B、{1} C、[0,1]
2 2 2

) D、[0, 2 ](湖南示范) ) (金榜园模拟 3)

1? i 2 7 +(1+i) ,则(1+z) 展开式的第五项是( 1? i
C,-21i D,-35i ) C,(- ∞ , 0) ∪

(文)不等式|x|≥ A,(- ∞ , 0) (武汉 4 月调研) B,

? 2,???

2 的解集是( x

? 2,???

D, ? 2 ,0 ?

?

? ?

2,??

?

3,函数 y=f(x)是圆心在原点的单位圆的两段圆弧(如图) ,则不等式 f(x)<f(-x)+x

y

1

-1 1
-1

x

第3 题图

的解集为( A,{x|-

) B,{x|-1≤x<-

2 5 2 5 <x<0 或 <x≤1} 5 5 2 5 2 5 或 <x≤1} 5 5

2 5 2 5 或 <x≤1} 5 5

C,{x|-1≤x<-

D,{x|-

2 5 2 5 <x< 且 x≠0} 5 5

-3-

(浙江路桥中学.《中学教研》.2005(4)P47) 4,集合 P={1,4,9,16,??},若 a∈P,b∈P,有 a○b∈P,则运算○可能是() A,加法 B,减法 C,除法 D,乘法 (燕园冲刺三) )

5,设 x、y、a、b∈R,且 x2+y2=4,a2+b2=1,则 S=ax+by 的最值情况是( A,最大值为 5/2,无最小值 C,最大值为 5/2,最小值为-5/2 B,最大值为 2,最小值为-2 D,以上都不对 (燕园冲刺二)

6(文)小区收取冬季供暖费,根据规定,住户可以可以从以下方案中任选其一:方案 一,按使用面积缴纳,4 元/米 ;方案二,按建筑面积缴纳,3 元/米 。李明家的使用面积 是 60 米 ,如果他家选择方案二缴纳费用较少,那么他家的建筑面积最大不超过( )米 A,70 B,80 C,90 D,100(燕园冲刺三)
2 2 2 2

(理)某商店某种货物的进价下降了 8%,但销售价不变,于是这种货物的销售利润率 ( 销售价 ? 进价 ? 100% )由原来的 r%增加到(r+10)%,则 r=(
进价

)

A,12

B,15

C,20

D,25

(名校联考) )

7,a<b,d<c 且(c-a)(c-b)<0,(d-a)(d-b)>0,则 a、b、c、d 的大小关系是( A,d<a<c<b B,a<c<b<d C,a<d<b<c D,a<d<c<b( 黄冈练习)

8,函数 f(x)=lg(ax-bx) (a>1>b>0),则 f(x)>0 的解集为(1,+∞) 的充要条件是( A,a=b+1 B,a<b+1 C,a>b+1 D,b=a+1 (黄冈模拟)



9, 设集合 I={1, 2, 3}, A ? I,若把集合 M∪A=I 的集合 M 叫做集合 A 的配集, 则 A={1, 2}的配集有( 模拟一) 10 (文)设 a1 ≤ a2 ≤ a3,b1 ≤ b2 ≤ b3 为两组实数, c1,c2,c3 为 b1,b2,b3 的任一排列,设 P=a1b1+a2b2+a3b3,Q= a1b3+a2b2+a3b1,R= a1c1+a2c2+a3c3 则必有( ) A,P≤Q≤R B,R≤P≤Q C,P≤R≤Q D,Q≤R≤P (唐山一模) (理) 设 2α 是第二象限的角, 则复数(tanα +i)(1+icotα )对应的点位于复平面内的第 ( ) 象限 A.一 B.二 C.三 D.四 (唐山二模) 2 11,有一个面积为 1 米 ,形状为直角三角形的框架,有下列四种长度的钢管供应用, 其中最合理(够用且最省)的是( )米 A,4.7 B,4.8 C,4.9 D,5(石家庄二模) 12, (文)设全集 U=R,集合 M ? {x | )个 A,1 B,2 C,3 D,4 (黄爱民,胡彬《中学生学习报》2005

x ? x 2 ? 2 , x ? R} , N ? {x | x ?1 ? 2 ,
B. {x | ?1 ? x ? 3} C.{x|x<2,或 2<x

x ? R} 则 (CU M ) ? N 等于( )A.{2}
<3}

D. {x | ?1 ? x ? 2 或 2 ? x ? 3} (北京四中模三)

-4-

(理)不等式组 ? A. (-1,3) (天星教育) 二,填空题

?x ? 1 ? a 2 ? x ? 4 ? 2a

,有解,则实数 a 的满足的取值范围集合是( ) D. (-∞,-3) ? (1,+∞)

B. (-3,1)C. (-∞,1) ? (3,+∞)

13, (文)不等式 x >ax+ (4)P20)

3 的解集为(4,b),则 a.b=_________(胡明显.《考试》2005 2
n n n

(理)已知三角形 ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,满足 a +b =c (n>2),则三角 形 ABC 一定是__________三角形(按角分类) (全国联考)
x

14(文)已知集合 P={(x,y)|y=m},Q={(x,y)|y= a ? 1 ,a>0,a≠1},如 果 P ? Q 有且只有一个元素,那么实数 m 的取值范围是________. (北京四中模二) (理)定义在[-1,1]上的奇函数 f(x)单调增,且 f(-1)=-1,若 f(x)≤t2-2at+1 对一切 x 及 a ∈[-1,1]恒成立,则 t 的取值集合是__________(北京海淀) 15,设含有集合 A={1,2,4,8,16}中三个元素的集合 A 的所有子集记为 B1,B2,B3,…,Bn(其 中 n∈N ),又将 Bk(k=1,2,……,n)的元素之和记为 ak,则
*

?a
k ?1

n

k

=_____(江苏常州模拟)

16,下列 4 个命题:①命题“若 Q 则 P”与命题“若非 P 则非 Q”互为逆否命题;② “am2<bm2”是“a<b”的必要不充分条件;③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假; ④命题“ ? ? {1,2}}或 4 ? {1,2}”为真命题。其中真命题的序号是是:_______ (江西吉安二模) 三,解答题 17, 设命题 P: 关于 x 的不等式 a
2 x

2

-ax-2a

2

>1(a>0 且 a≠1)的解集为{x|-a<x<2a};命题 Q:

y=lg(ax -x+a)的定义域为 R。如果 P 或 Q 为真,P 且 Q 为假,求 a 的取值范围 (根据吉林质检与邯郸一模改编) 18, (文)定义在 D 上的函数 y=f(x)对于 x1,x2∈D,有|f(x1)-f(x2)|<1,则称 y=f(x)是漂亮 函数,否则称非漂亮函数。问 f(x)=x -x+a(x∈[-1,1])是否为漂亮函数,是证明之,否则说 明理由。 (安振平.《数学大世界》.2005(4)P9) (理) 设 f(x)=ax +bx+c, 若 f(1)=
2 3

7 2 1 ,那么是否存在 a,b,c, 使得不等式 x + ≤f(x) 2 2

-5-

≤2x +2x+

2

3 对一切实数 x 都成立,存在求出 f(x)解析式,不存在说明理由(周友良.《高 2

中数理化》2005 年(1) ) 19,从甲到乙的运煤铁路专线,车速由原来的 100km/h 提高到 150km/h,相邻两列火车 的车距(车头与前一列车尾的距离)由原来的 9 倍车长提高到现在的 11 倍车长,则此次提 速运煤效率(单位时间内的运输量)提高了多少?(辛民.《数学通讯》2004(13)P21) 20,⑴已知 a、b 是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),求证:

a2 b2 ( a ? b) 2 + ≥ ,指出等号 x y x? y

成立的条件;⑵利用⑴的结果,求函数 f(x)= x 的值。

2 9 1 + (x∈(0, ))的最小值,并求出相应的 x 1 ? 2x 2

(《中学数学教学参考》2005(3)P25)

21(文)某公司生产的品牌服装年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件,需另投入 1.9

1 3 ? ?10x ? 30 x (0 ? x ? 10) 万元,设 R(x) (单位:万元)为销售收入,根据市场调查,R(x)= ? , 200 ? ( x ? 10) 3 ?
其中 x 是年产量(单位:千件)⑴写出利润 W 与年产量 x 的函数解析式 ⑵年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中获利最大?(唐山二模) (理) 某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆, 预计此后每年报废上一年末汽车保有量 的 6%,并且每年新增汽车数量相等.为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万 辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?(北京四中专题讲座) 22, (文)⑴关于 x 的不等式 2

x 2 -4<22x-2a 在整数集内仅有解{1},求实数 a 的取值范围;

n ? N *, ⑵a 取⑴中的最小值时, 函数 ( f x) =o 图象过点 A (2, 1) 记 an ? 3 f ( n ) , lg 3(ax+b)
是否存在正数 k,使得 (1 ?

1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) ? k 2n ? 1 对一切 n ? N * 均成立,若存 a1 a2 an

在,求出 k 的最大值,若不存在,请说明理由(北京四中模二与石家庄一模合编) (理)对于函数 f(x),如果存在 x∈R,使 f(x)=x 成立,称 x 为 f(x)的一个不动点,已知 2 f(x)=ax +(b+1)x+b-1(a≠0)。⑴若对 b∈R,f(x)恒有两个相异的不动点,求实数 a 的范围; ⑵在⑴条件下,若 y=f(x)图象上两点 A、B 两点的横坐标是函数 f(x)的不动点,且 A、B 关 2 于直线 y=kx+a -4a+4 对称,求 b 的最小值(成都诊断)

函数与数列
一,考纲要求及分析: 1,函数:对于函数的概念,考纲要求是:了解映射的概念,理解函数的概念,对其考查, 主要在于函数的三要素:定义域、值域与最值、对应法则(解析式)上;函数的定义域,其 实多数是解不等式(组) ;解析式则常见的方法有代换法、拼凑法、待定系数法、解方程组 法,比较适宜理解层次的能力考查;单调性、值域与最值往往与基本不等式应用、求导数结 合在一起,其中单调性还可以用图象观察法加以解决。2005 年考纲又再度将奇偶性由三角 部分调回函数部分为理解层次, 这也恢复以前奇偶性以一般函数为背景而不是仅仅限于三角
-6-

函数。对于反函数,考纲要求,了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求 一些简单函数的反函数, 这里反函数存在的条件容易当成边缘知识加以考查。 指数函数与对 数函数考纲要求:理解分数指数幂、对数的概念,掌握有理指数幂、对数的运算性质,掌握 指数函数和对数函数的概念、 图象和性质, 它们容易以方程或不等式形式来体现一定的创新。 2,数列:考纲对数列要求多年一致:理解数列的概念,了解数列的通项公式意义,了 解递推数列是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项;理解等差、等比 数列的概念,掌握等差、等比数列的同项公式和前 n 项和公式,并能解决简单的实际问题。 多年命题也重在解决简单问题上,但对简单问题还存在认识上的差异:由于受大学的影响, 此处常常是超越考纲。 从知识上说,数列是一种特殊的函数;从题上而言,函数与数列常常结合在一起,以函 数与方程的数学思想形式出现,也是近年常考不衰的一个热点。 二,例题简析 例1,学校餐厅每天供应1000名学生用餐,每周一有A、B两种菜谱可供选择(每人限 选一种) ,调查表明:凡周一选A菜谱的人,下周一会有20%的人改选B菜谱,而选B菜谱的 人,下周一有30%的人改选A菜谱。试问,无论原来选A菜谱的人有多少,随着时间的推移, 选A菜谱的人将趋近于多少人?(陶晓静.《数学通讯》2004(21)P12) 解 : 设 An,Bn 为 第 n 周 选 A 、 B 菜 谱 的 人 数 , A1=a, 则

4 3 4 3 1 An+ Bn= An+ (1000-An)= An+300 5 10 5 10 2 1 1 ? [方法一]设An+1-α = (An-α )即An+1= An+ ∴α =600, 2 2 2 1 1 n-1 这样{An-600}构成以 为公比的等比数列,An-600=(a-600)( ) 2 2 1 n-1 lim An=600,∴随着时间的推移,选A菜谱的人将趋近600人 ∴An=600+(a-600)( ) n?? 2 1 1 [方法二]设 lim An=a 则 lim An+1= lim An+300即a= a+300,a=600 ∴随着时 n?? n?? n ? ? 2 2
An+1= 间的推移,选A菜谱的人将趋近600人。 说明:该题以数列极限应用题的形式出现,这在中学试题中并不常见,但在大学基础课 中是最常见的一类题型。其解法上用到一个默认的结论:一个数列含有极限,则极限必须唯 一。 例 2,已知集合 L={(x,y)|y=2x+1},点 Pn(an,bn)∈L,P1 为 L 中元素与直线 y=1 的交点, 数列{an}是公差为 1 的等差数列。⑴求数列{an}、{bn}的通项公式;⑵若 cn=

5 (n≥ n | P1 Pn |

2),求数列{cn}的所有项和(即前 n 项和的极限) ;⑶设 f(n)= ?

?a n (n为奇数) 是否存在正 ?bn (n为偶数)

整数 n,使 f(n+11)=2f(n)成立,若存在,求出 n 的值,若不存在,说明理由(张学文.《数学 通讯》2004(21)P31) 解:⑴P1(0,1),an=a1+(n-1)1=n-1,bn=2an+1=2n-1 ⑵|P1Pn|= (a n ? a1 ) ? (bn ? b1 ) = 5 (n-1),cn=
2 2

1 1 1 = - ,{cn}的前 n 项和 (n ? 1)n n ? 1 n

-7-

Sn=(1-

⑶n 为奇数时, n+11 为偶数,f(n+11)=2f(n) ? 2(n+11)-1=2(n-1)无解;n 为偶数时 f(n+11)=2f(n) ? n+10=2(2n-1),n=4.总之,存在 n=4 满足条件。 说明:该题将数列与函数结合在一起,⑴、⑵只要掌握基本结论、运算的先后次序,就 可以解出,体现了运算中的有序思想;⑶开放设问,解答过程中也体现了分类整合的数学思 想。 例 3,过点 P(1,0)作曲线 c : y ? x k ( x ? (0,??), k ? N * , k ? 1) 的切线切点为 Q1,设 Q1 点在 x 轴上的投影是点 p1, 又过点 p1 作曲线 c 的切线切点为 Q2, 设 Q2 在 x 轴上的投影是 p2?, 依此 下去,得到 一系列点 Q1 , Q2 ,? , Qn ,?,设 点 Qn 的横坐 标为 an ( 1 ) 求证:

1 1 1 1 1 1 )+( - )+??+( - )=1- →0(n→∞)∴{cn}的所有项和为 1 2 2 3 n ?1 n n

an ? (

k n n ( 2 ) 求 证 : an ? 1 ? ; (3)求证: ) ,n? N* ; k ?1 k ?1

?a
i ?1

n

i
i

? k2 ? k (注 :

?a
i ?1

n

i

(湖南示范, 《中学数学教学参考》2005(4)P43) ? a1 ? a2 ? ? ? an )
k

k k ?1 解: (1) y' ? kx k ?1 ,若切点是 Qn(an,an ),则切线方程是 y ? an ? kan ( x ? an )

k ;当 n>1 时,切线过 k ?1 a k k k k ?1 点 pn?1 (an?1 ,0) ; 即 0 ? an , 所以数列 ?an ?是首项为 , ? kan (an?1 ? an ) 得 n ? an ? 1 k ? 1 k ?1
k k ?1 当 n=1 时,切线过点 P(1,0)即 0 ? a1 ? ka1 (1 ? a1 ) ,得 a1 ?

k ? k ? * 公比为 的等比数列, an ? ? ? , n ? N (4 分) k ?1 ? k ?1? k n 1 n 1 1 2 1 n 0 2 n (2) an ? ( ) ? (1 ? ) ? cn ? c1 ? cn ( ) ? ? ? cn ( ) n k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 1 n 0 ? cn ? c1 ?1? n ? k ?1 k ?1 1 2 n ?1 n k ?1 1 2 n ?1 n ? ??? ? ? Sn ? ? ??? ? (3)设 S n ? 则 两式相减, a1 a2 an?1 an k a 2 a3 an an?1 k ?1 1 1 1 n 1 1 1 )S n ? ? ??? ? ? ? ??? 得 (1 ? , k a1 a2 an an?1 a1 a2 an
1 Sn ? k k ?1 k ?1 n [1 ? ( ) ] k k ? k ? 1 ? Sn ? k 2 ? k k ?1 1? k

n

说明:该题结合了解析几何、数列、导数、不等式等诸多知识,综合性较强;解答时需 要较强的思维能力与坚持不懈的精神,而将数列与导数结合一起是一种创新。 例 4,定义在实数集上的偶函数 f(x),满足 f(x+2)=f(x),且 f(x)在[-3,-2]上单调减, 又α 、β 是锐角三角形的三个内角,则( ) A,f(sinα )>f(sinβ ) B,f(cosα )<f(cosβ ) C,f(sinα )>f(cosβ ) D,f(sinα )<f(cosβ ) (金榜园三模) 解:由已知,f(x)的周期为 2,且在[-3,-2]上单调减,根据此点可以作出图象大致如 下:
-8-

y

-3

-2

-1

1

2

3

x

f(x)在[0,1]上↑, 只要比较自变量 的大小∵α 、β 是锐角三角形的三个内角∴α +β >π /2,π /2>α >π /2-β ∴sinα >sin(π /2-β )=cosβ ,于是 f(sinα )>f(cosβ ),选 C. 说明:该题虽小,但综合了三角、函数的有关知识,解法上也用到了转化与数形结合的 思想。 [试题汇编] 一,单项选择题 1,函数 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=x+ m-n 的最小值为( )A,1/3 B,2/3 C,1

4 ,且当 x∈[-3,-1]时,n≤f(x)≤m,则 x
D,4/3 (郑州质检)

7 ),则 x 的取值范围是( ) 2 2 7 7 2 7 2 7 A,(0, )∪(1, ) B,( ,+∞) C,(0, )∪( ,+∞) D,( , )(湖南示范) 7 2 2 7 2 7 2 f ( 2 ? 3 x ) ? f ( 2) 3 3, (文)已知 f(x)=x +1,则 lim =( ) x ?? x
2,设 f(x)=|log3x|,若 f(x)>f( A,4 B,12 C,36 D,39 (邯郸一模) B,1 C,

(理)m,n 是正整数,则 lim
x ?1

xm ?1 =( )A,0 xn ?1

m n

D,

m ?1 (文谱一模) n ?1

4,直角梯形 ABCD 中,P 从 B 点出发,由 B→C→D→A 沿边缘运动,设 P 点运动的距 离是 x,△ABP 的面积为 f(x),图象如图,则△ABC 的面积为( )
D C

0

4

9

14

A

B

A,10 B,16 C,18 D,32 (高慧明《中学生数理化》2005(3)P28) 2 5,平移抛物线 x =-3y,使其顶点总在抛物线 x2=y 上,这样得到的抛物线所经过的区域为 ( )A,xOy 平面 B,y≤

1 2 x 2

C,y≥-

1 2 x 2

D,y≤-

1 2 x (同一套题一模) 2

6,某大楼有 20 层,有 19 人在第一层上了电梯,他们分别要去第 2 层到 20 层,每层 一人,而电梯只允许停一次,可只使一人满意,其余 18 人都要上楼或下楼。假设乘客每向 下走一层不满意度为 1,每向上走一层不满意度为 2。所有人不满意之和为 S,为使 S 最小, 电梯应停在第( )层。

-9-

A,15

B,14

C,13

D,12

(燕园冲刺) )对称

7(文)函数 f(x)= A,x 轴 B,y 轴 (理) 函数 f(x)= A,x 轴 B,y 轴

a2 ? x2 (0<a<b)的图象关于( | x ? b | ?b
C,原点 D,直线 y=x

a2 ? x2 (0<a<b<c)的图象关于( | x?b| ?| x?c|
C,原点 D,直线 y=x

)对称 (石家庄二模) )

8,设 a>1,对于实数 x,y 满足:|x|-loga

1 =0,则 y 关于 x 的函数图象为( y

(石家庄一模) 9(文)已知函数 f(x)=log2x 的反函数为 f-1(x),若 f-1(a)f-1(b)=4,则 a+b=(

)

1 A, 2
A,

B,1

C,2

D,4 )

(理) 已知函数 f(x)=log2x 的反函数为 f-1(x),若 f-1(a)f-1(b)=4,则 a2+b2 的最小值为(

1 2

B,1

C,2

D,4

(江西吉安二模)
n

10,设 y=f(x)是一次函数,f(0)=1,且 f(1),f(4),f(13)成等比数列,则 ? f (2k ) =(
k ?1



A,n(2n+3) B,n(n+4) C,2n(2n+3) D,2n(2n+4) (石家庄一模) 11,a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 成等比数列,公比为 q,则 q+q2+q3=( ) A,1 B,2 C,3 D,4( 〈中国考试.2005 高考专刊〉模二) 12(文)数列{an}前 n 项和为 Sn=3n-2n2,当 n≥2 时,下列不等式成立的是( ) A,na1>Sn>nan B,Sn>na1>nan C,nan>Sn>na1 D,Sn>nan>na1(北京东城练习一) (理)有一条生产流水线,由于改进了设备,预计第一年产量增长率为 150%,以后每 年的增长率是前一年的一半;同时,由于设备不断老化,每年将损失年产量的 10%。则年 产量最高的是改进设备后的第( )年。A,1 B,3 C,4 D,5 (名校联考) 二,填空题 13(文)某银行在某段时间内,规定存款按单利计算,且整存整取的年利率如下: 存期 年利率(%) 1年 2.25 2年 2.4 3年 2.73 5年 2.88

某人在该段时间存入 10000 元,存期两年,利息税为所得利息的 5%。则到期的本利和为 ________________元。 (按石家庄质检改编)

n2 ?1 (理) lim ( +an+b)=3,则 a+b=_____________(湖南示范) n?? n ?1
- 10 -

14,设 f(x)=|x|x+bx+c,给出下列命题中,所有正确的命题序号是___________ ①b=0,c>0 时,f(x)=0 仅有一个根;②c=0 时,y=f(x)为奇函数;③y=f(x)的图象关于点(0,1) 对称;④f(x)=0 至少有两个实数根。 (燕园冲刺二) 15(文)在等比数列{an}中,a7a11=6,a4+a14=5,则

a 20 =________(黄冈模拟) a10
1 (an+1)(an+2),若 a2,a4,a9 成等比数 6
(邯郸一模)

(理)已知数列{an}各项为正数,前 n 项和为 Sn,有 Sn= 列,则 an=______________ 16,已知 f(x)=ax(x∈R),部分对应值如表所示 x f(x)
-1

-2 0.694

0 1

2 1.44

,则不等式 f (|x-1|)<0 的解集是___________ (湖北八校) 三,解答题 17,如图,周长为 16 米的篱笆借助一个墙角围成一个矩形 ABCD,在矩形内的一点 P 处是一棵树,树距离两墙分别为 a、4 米(0<a<12);若将此数围进去,又使围成的面积最大, 如何围法,并求最大面积。 (琚国起.《数学通讯》2004(13) )
A a P
4 B x

D

C

18(文)已知 x∈R+,F(x)是 R+上的减函数,且 f(x)=xF(x) ⑴对任意 x1,x2∈R+,求证:f(x1)>x1F(x1+x2), f(x2)>x2F(x1+x2),并判断 f(x1)+f(x2)>f(x1+x2) 是否为 F(x)在正实数集上递减的必要条件; ⑵将⑴中的结论推广到任意有限个, 写出一个结 论,不必证明 (郑州质检) -x / (理)已知函数 f(x)=e (cosx+sinx),将满足 f (x)=0 的所有正数 x 从小到大排成一个数列

{xn};⑴证明: 数列{xn}等比; ⑵记 Sn 为数列{xnf(xn)}的前 n 项和, 求 S= lim
n??

?S
k ?1

n

k

n

的值 (陈

东明.《试题与研究》2005(14)P17-18) 19,已知 f(x)是定义在实数集上恒不为 0 的函数,对任意实数 x,y,f(x)f(y)=f(x+y),当 x>0 时,有 0<f(x)<f(1)。⑴求 f(0)的值,并证明 f(x)恒正;⑵求证 f(x)在实数集上单调减;⑶设 a1=1/3,an=f(n) (n 为正整数 ) , Sn 为数列 {an} 的前 n 项和 . (文)求 Sn ( 理 ) 求集合 {f(S1),f(S2),……,f(Sn),……,f( lim Sn)}的最小元素 m 与最大元素 M
n??

(邯郸二模)

20(文)已知数列 an=(-1)n,n=1,2,3,……⑴数列{an}的前 n 项和为 An,数列{An}的前 n 项 和为 Sn,求证:2Sn+n=An ⑵设 bn=(1-2n)an,数列{bn}、{|bn|}的前 n 项和分别为 Bn,Cn,若 Cn 比 Bn 大 42,求 n (唐山二模) (理)已知 ? =(2x-2b,19-2b), ? =(-1,1),点列(an,bn)在曲线 E:y= ? ? ? 上,而点(an,bn)在 y=logax(a>0 且 a≠1)的图象上(n∈N*)⑴记 Sn 为{an}的前 n 项和,当 a=3 时,求 lim
n ??

Sn 的 319

- 11 -

值;⑵是否存在正整数 M,使得当 n>M 时,an>1 恒成立?证明你的结论。 (吉安二模) 21(文)商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定:由该区向建设银行贷款 500 万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓,工程于 2002 年初动工,年底竣工 并交付使用,公寓管理处采用收费还贷建行偿贷款形式(年利率 5%,按复利计算) ,公寓 所收费用除去物业管理费和水电费 18 万元.其余部分全部在年底还建行贷款. (1)若公寓 收费标准定为每生每年 800 元,问到哪一年可偿还建行全部贷款; (2)若公寓管理处要在 2010 年底把贷款全部还清,则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元) . (参考数据: lg1.7343=0.2391,lgl.05=0.0212, 1.05 =1.4774) (理)某地区发生流行性病毒传染,居住在该地的居民必须服用一朝药物预防,规定每 人每天早晚 8 时各服一片。现知该药片每片含药量为 220 毫克,若人的肾脏每 12 小时从体 内滤出这种药物的 60%,在体内残留量超过 386 毫克,就将产生负作用。⑴某人上午 8 时第 一次服药, 问到第二天上午 8 时, 这种药物在体内还残留多少?⑵长期服用这种药的人会不 会产生负作用?( 《中学数学教学参考》2005(4)P42) 22( 文 ) 如图,一个粒子在区域 {(x,y)|x ≥ 0,y≥ 0} 上运动,在第一秒内它从原点运动到 B1(0,1)点,接着按图中箭头所示方向在 x 轴、y 轴及其平行方向上运动,且每秒运动一个单
8

位长度。 ⑴设粒子从原点到达点 An、Bn、Cn 时,所经过的时间分别为 an、bn、cn,试写出三者的通 项公式; ⑵求粒子从原点到点 P(16,44)时所需要的时间; ⑶粒子从原点开始运动, 求经过 2004 秒后,它所处的位置( 《中学数学教学参考》2005(4)P42) ( 理 ) 设 A(x1,y1),B(x2,y2) 是 函 数 f(x)=

1 x +log2 图象上任意两点,且 2 1? x

1 1 OM = ( OA + OB ),点 M 的横坐标为 2 2
∈N ,且 n≥2,求 Sn;⑶已知 an= ? ?
* *

⑴求证 M 点的纵坐标为定值; ⑵若 Sn=
*

? f ( n ) ,n
i ?1

n ?1

i

?

2 (n ? 1) 3 ? 1 ( n ? 2) ? ? ( S n ? 1)(S n ?1 ? 1) ?

n∈N ,Tn 为数列{an}的前 n 项和,若 Tn<

λ (Sn+1+1) 对一切 n∈N 都成立,求λ 的取值范围(潍坊模拟) 向量与三角 一,考纲要求及分析 1,平面向量:理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。掌握向 量的加法和减法。掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件。了解平面向量的基 本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。掌握平面向量的数量积及 其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂 直的条件。掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练

- 12 -

运用。掌握平移公式。试题一般设计思路是理解为容易题,掌握为中等题,熟练应用为综合 题,而向量综合又集中于距离、定比分点向量的坐标运算处,创新也主要体现在它与三角、 解析几何的进一步综合性的加强上。 2,三角部分:理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算。掌握 任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义。掌握同角三角函数的基 本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式。了解周期函数与最小正周期的意义。掌握两角和与 两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。能正确运用三角公 式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。了解正弦函数、余弦函数、正切函数 的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(ω x+φ )的简图,理解 A,ω , φ 的物理意义。掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形。此处试 题的创新主要体现为以下几点: 一是由于多年惯性的作用, 仍然在三角函数的图象和性质上 下大力气, 这种创新实质还是将三角函数的图象和性质视作掌握层次加以对待, 小题中出现 尚可,大题中出现不贴切;二是原来以三角求值为重心转化到以化简为重心,这一转换实质 是将求值看作一种特殊的化简对待,是一种认识思想理念的转变,理应给予肯定;三是将平 移综合在一起, 既坚持了传统意义上的左、右、 上、 下平移叙述,也可以以向量的面貌出现, 也是很贴切的处理方式。 例 1,将函数 y=

2 (cos3x-sin3x)的图象沿向量 a=(h,0)平移,可以得到 y=-sin3x 的 2

图象,其中 h=( )A,π /4 B,-π /4 C,π /12 D,-π /12(《高中数理化》 2005(2)P3) 解[方法一]将 y=-sin3x 沿-a=(-h,0)平移得 y=-sin3(x+h)=-sin3xcos3h-cos3xsin3h

? ?sin 3h ? ? ∴? ? ? cos3h ? ? ?

2 2 2 2

3h=-

? 2 ? ? +2kπ ,h= kπ - (k∈Z),k=0 时,h=.选 D 3 12 12 4

[方法二]y=

? ? ? 2 (cos3x-sin3x)=-sin(3x- )=-sin[3(x),沿 a=(,0)平移可得 12 12 4 2

y=-sin3x,选 D. 说明:该题的两种解法体现了正向、逆向两种思维顺序的变化,以此来体现思维能力; 平移又是学生最容易犯错误的地方, 一般的点(x,y)沿向量(h,k)平移后得到(x+h,y+k),而曲 线 f(x,y)=0 沿向量(h,k)平移后得到曲线 f(x-h,y-k)=0,向量(x,y)沿向量(h,k)平移后得到 向量仍然为(x,y),这些规律可以用“点相同,线相反,向量平移永不变”一句话加以总结, 这里沿向量(h,k)平移也可以叙述为沿 x 轴、y 轴平移 h、k 个单位,h、k 为正表示向右、上 平移,为负表示向左、下平移。 例 2,二次函数 f(x)对任意实数 x,f(1-x)=f(1+x)成立, 设 a=(sinx,2),b=(2sinx,

1 ) 2

,c=(cos2x,1),d=(1,2),当 x∈[0,π ]时, 解关于 x 的不等式 f(a.b)>f(c.d)(毛仕理. 《数理 天地》.2005(4).P19) 2 解:由已知 f(x) 关于 x=1 对称,而 a.b=2sin x+1=2-cos2x ≥ 1,c.d=cos2x+2 ≥ 1, f(a.b)>f(c.d),当二次项系数为正时,f(x)在 x≥1 上单调增, a.b>c.d,cos2x<0, ∵x∈ [0,π ]∴解集为{x|

? 3? ? ? ? ? 3? ? <x< };同理,当二次项系数为负时,解集为 ?0, ? ? ? ,? ? 4 4 ? 4? ? 4 ?
- 13 -

例 3, 设两个向量 e1、 e2, 满足|e1|=2, |e2|=1, e1、 e2 的夹角为 60°, 若向量 2te1+7te2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围(邯郸一模) 2 2 2 2 解: 由已知得(2te1+7te2).(e1+te2)=2te1 +(2t +7)e1e2+7te2 =2t +15t+7 欲使夹角为钝 角,需 2t ? 15t ? 7 ? 0 .得
2

1 ? 7 ? t ? ? .又 2te1+7te2 与向量 e1+te2 不能反向,假设二 2

者反向, 设 2te1+7te2=λ (e1+te2) (λ <0) ∴

?2t ? ? , ∴ ? ?7 ? t?

2t 2 ? 7 .



t??

14 , 2

此时 ? ? ? 14 .即 t ? ?

14 时,向量 2te1 ? 7e2 与 e1 ? te2 的夹角为π 2
1 14 14 )? (? ,? ) . 2 2 2



夹角为钝

角时,t 的取值范围是(-7, ?

说明:该题容易将“两向量数量积小于 0”作为“两向量夹角为钝角”的充要条件,知 识上的错误导致结果错误;另外,还容易知两向量夹角为钝角,其余弦值在(-1,0)之间而进 行大量的计算,一般情况下,夹角、长度用向量直接计算属于了解层次,不作为重点考查的 内容,考查也限于坐标运算的掌握层次上。 [试题汇编] 一,单项选择题 1,已知 ab≠0, A, 3

a sin ? ? b cos ? =tanβ ,且β -α =π /6 则 b/a=( a cos ? ? b sin ?
C,- 3

)

B, 3 /3

D,- 3 /3(毛仕理.〈数理天地〉2005(4)P17) )

2(文)O 为三角形 ABC 内一点, 且( OB - OC ).( OB + OC -2 OA )=0,则△ABC 一定是 ( 三角形 A,等腰 B,等边 C,直角 D,以上都不对(湖北八校)

(理) 点 O 在△ABC 内部且满足 OA ? 2OB ? 2OC ? O ,则△ABC 面积与凹四边形 ABOC 面积之比是( ) A、0 B、

3 2

C、

5 4

D、

4 (湖南示范) 3

3,曲线 y=2cos(x+

? ? ).cos(x- )和直线 y=1/2 在 y 轴右侧的交点横坐标按从小到大依 4 4
)

次记为 P1、P2、??、Pn,则|P2P2n|=( A,π B,2nπ C,(n-1)π D,

n ?1 π 2


(黄爱民,胡彬〈中学生学习报〉模一)

4,曲线 y=Msin2ω x+N(M>0,ω >0)在区间[0,π /ω ]上截直线 y=4 与 y=-2 所得的弦长相 等且不为 0,则下列描述中正确的是( A,N=1,M>3 B,N=1,M≤3

C,N=2,M>3/2

D,N=2,M≤3/2(吉安一模)

5 ,已知 -π /2< θ <π /2,且 sin θ +cosθ =a∈ (0,1), 则关于 tanθ 的值可能正确的是 ( )A,-3, B,3 或 1/3 C,-1/3 D,-3 或-1/3 (燕园冲刺三)

- 14 -

6(文)已知θ 为一个三角形的最小内角,cosθ = ≥3 B,3 ≤ m<7+4

m ?1 ,则 m 的取值范围是( m ?1

)A,m

3

C,m<-1

D,3 ≤ m<7+4 3 或 m<-1( 据北黄预测冲刺改编 )

(理) 已知 a=(lnx,-2),b=(1,lnx),x∈[e-1,e],则关于 x 的方程 a.b=3m 有解, 则 m 的范围是 ( ) A,m≥1/9 或 m≤-1/9 B,-1/3≤m≤1/3 C,m≥1/3 或 m≤-1/3 D,-1/9≤m≤1/9(王

勇《数理天地》2005(4)P14) 7(文)非零不共线向量 OA 、 OB ,且 2 OP =m OA +n OB ,若 PA =λ AB (λ ∈R) ,则 点 Q(m,n)的轨迹方程是( A,x+2y-1=0 B,2x+y-1=0 ) C,x+2y-2=0 D,2x+y-2=0(吉安二模)

(理)若△ABC 的内角满足 sinA+cosA>0,tanA-sinA<0,则角 A 的取值范围是( ) A. (0,

π ) 4

B. (

π π , ) 4 2
2

C. (

8,函数 y= 3 sin2x+cos (x+

? )的振幅为( 4
13 2

π 3π 3π , ) D. ( ,π ) (北京四中模一) 2 4 4


A,2

B,

3 -1/2 C, 3

D,

(唐山二模)

9,在平行四边形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点,DE 交 AF 于 H,记 AB 、 BC 分 别为 a、b,则 AH =(
A H F B E C


D

A,

2 4 ab 5 5

B,

2 4 a+ b 5 5

C,-

2 4 a+ b 5 5

D,-

2 4 a- b 5 5
10,f(x)=sin(x+

(石家庄一模)

? ? ),g(x)=cos(x- ),则下列命题中正确者是( 2 2 ? 个单位可以得到 g(x)的图象 2
(吉安二模)



A,f(x)g(x)的最小正周期为 2π C,将 f(x)的图象向左平移 移

B,函数 y=f(x)g(x)是偶函数 D,将 f(x) 的图象向右平

? 个单位可以得到 g(x)的图象 2

11,已知 A(a,0),B(0,a)(a>0), AP =t AB (0≤t≤1),O 为坐标原点,则|OP|的最大值 为( )A,

3 a 2

B,

2 a 2

C,

1 a 2

D,a (黄爱民,胡彬〈中学生学习报〉模一) )

12, △ABC 中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则 C=(

- 15 -

A,π /6 B,5π /6 C,π /6 或 5π /6 D,π /3 或 2π /3(湖北八校) 二,填空题 13,有两个向量 e1=(1,0),e2=(0,1),今有点 P,从 P0(-1,2)开始沿着与向量 e1+e2 相同的方 向作匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一个动点 Q,从 Q0(-2,-1)开始沿着与向量 3e1+2e2 相同的 方向作匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|。设 P、Q 在时刻 t=0 秒时分别在 P0、Q0 处,则当 PQ ⊥ P0 Q0 时,t=_________________秒。 (名校原创信息卷Ⅲ) 14(文)直角三角形的斜边为 2cm,则其内切圆面积的最大值为_____________cm2(唐 山二模) (理)定点 A(4,0)与圆 x2+y2=4 上动点 B,则满足条件 OA + OB =2 OP 的点 P 的轨迹方 程为_____________(石家庄一模) 15,将函数 y=2x 的图像按向量 ? a 平移后得到函数 y=2x+6 的图像,给出以下四个命 题:① ? ;② ? ;③ ? a 的坐标可以是(-3.0) a 的坐标可以是(0,6) a 的坐标可以是(-3,0) 或(0,6) ;④ ? a 的坐标可以有无数种情况,其中真命题的序号是__________(北京四中一 模) 16(文)△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,则 acosC+ccosA=_______(杭州质 检) (理)x 为实数,f(x)为 sinx 与 cosx 中的较大者,设 a≤f(x)≤b,则 a+b=______(杭 州质检) 三,解答题 0 17(文)设三角形 ABC 的三个内角 A、B、C 对边分别为 a、b、c,∠C=60 ,acosB=bcosA, 且 AB =4i+4 3 j,其中 i、j 分别为互相垂直的单位向量,求△ABC 的面积(石家庄一模) (理)△ABC 中,三个内角 A、B、C 对边分别为 a、b、c,且 ⑵若 b=4 2 ,a=c 求△ABC 的面积(吉林质检) 18(文)已知 f(x)=

c os C 3a ? c = ,⑴求 sinB; b c os B

2 cos x ,⑴求 f(x)的单调减区间 ⑵画出 f(x)在[-π /2,7π ? x sin( ? ) 4 2

/2]之间的图象(石家庄一模) (理)已知电流 I 与时间 t 的关系式为:I=Asin(ω t+φ ) (ω >0,|φ |<π /2),如图是 其在一个周期内的图象

- 16 -

⑴求 I 的解析式 ⑵若 t 在任意一段 1/150 秒的时间内,电流 I 都能取得最大、最小值,那么ω 的最小正整数是多少?( 《中学数学教学参考》2005(1—— 2)期 P48) 19,△ABC 中,若

AB ? BC BC ? CA = = CA ? AB ,求 cosA(杭州质检) 3 2

20,某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地,△ABC 外的地方种草,△ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,其余地方种花,若 BC=a,∠ABC=θ ,△ABC 的面积为 S1,正 方形 PQRS 的面积为 S2 ⑴用 a,θ 表示 S1 和 S2 ⑵当 a 固定,θ 变化时,求 值时的θ ( 《中学数学教学参考》2005(1——2)期 P50)
A P
θ

S1 取得最小 S2

S

B

Q

R

C

21,平面直角坐标系中,A(- 3 ,0),B( 3 ,0),动点 P 在曲线 E 上运动,且满足|PA|+|PB| 不变,设( PA , PB )=θ ,cosθ 有最小值-1/2 ⑴求 E 的方程 ⑵过 A 作斜率为 k 的直线与

曲线 E 交于 M、N 两点,求|BM|.|BN|的最小值和相应的 k 值(吉安二模) 22 (文)已知向量 a=(1+cos α ,sin α ),b=(1-cos β ,sin β ),c=(1,0), α ∈ (0, π ), β ∈ ( π ,2

? ??? ,求 sin 的值(杨志文《考试》2005(3) ) 4 6 C 3? ? (理)m=(1,1),(n,m)= ,m?n=-1,⑴求 n ⑵若(n,q)= ,q=(1,0),p=(cosA,2cos2 2 ),其中 A、 4 2
π ),(a,c)=θ 1,(b,c)=θ 2,θ 1-θ 2= B、C 为△ABC 的内角,A、B、C 依次成等差数列,求|n+p|的取值范围( 《中学数学教学参 考》2005(1——2)期 P49)

计数原理、二项式定理、概率统计
一,考纲要求与分析 1,计数原理、二项式定理、概率考纲多年要求一致:理解排列、组合的意义,掌握分 类记数原理、分步记数原理、排列数公式、组合数公式及性质,并能用它们解决一些简单问 题; 掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题;会计算 一些等可能事件、互斥事件、独立事件及独立重复实验发生次数的概率。相应试题以简单、 中等题为主,且将保持一定的稳定,创新也与主要在题“活”上下功夫。 2,统计,该部分由于教材差异,考纲文理要求也不尽一致:会用样本的频率分布估计 总体分布文理科要求一致,抽样方法在分层抽样上也要求会的层次。而简单随机抽样、系统

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抽样理科要求会用,文科不作要求;理科要求会求简单的离散型随机变量分布列及期望、方 差,文科仅仅要求会用样本估计总体的期望与方差(实质是初中阶段的内容) 。体现一定的 文理差异,且各种语言都出现是该处创新题立意的基本点。 二,例题简析 例 1,设{an}是等差数列,从{a1,a2,……,a20}中任取 3 个不同的数,使这 3 个数仍成等差 数列,则这样不同的等差数列最多有( )个 A,90 B,120 C,180 D,200 (杭州质检) 解[方法一]分类列举法: 3 项相邻的有(a1,a2,a3),(a2,a3,a4),……,(a18,a19,a20) 18 个; 相隔一 项的有(a1,a3,a5),(a2,a4,a6),……,(a16,a18,a20)16 个;相隔二项的有(a1,a4,a7),(a2,a5,a8),……, (a14,a17,a20)14 个;…….,相隔八项的有(a1,a10,a19),(a2,a11,a20)2 个,共有 18+16+……+2=90 个; 又由于每个中第一、 第三项可以互换, 如(a1,a2,a3) 变为(a3,a2,a1)也满足要求, 故有 90?2=180 个,选 C [方法二]分析符号法:三个数 a,b,c 等差,b 是 a,c 的等差中项,只要确定 a,c 后,b 也就
2 2 确定。a,c 取法必须同为奇数项或同为偶数项,有 A 10 +A 10 =180 个,选 C

说明:该题以数列形式出现,方法二分析数列性质再计算比较简单,通过先思后算来 体现思维能力,实现了算中有思,思中有算的交融。 例 2,由等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,定义映射 f: (a1,a2,a3,a4) → (b1,b2,b3,b4), 则 f(4,3,2,1)=( ) A,(1,2,3,4) B,(0,3,4,0) C,(-1,0,2,-2) D,(0,-3,4,-1) (胡彬《理科考试研究》2005⑷.6) 解:该题的题意是 a1=4,a2=3 ,a3=2,a4=1 时,等式为 x4+4x3+3x2+2x+1=(x+1)4+b1(x+1)3 +b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 ①从而产生两个基本思路 [思路一]待定系数法 x4+4x3+3x2+2x+1=(x+1)4-3x2-2x ==(x+1)4-3(x+1)2+4 (x+1)-1,选 D [思路二]赋值法①为恒等式,x=-1 时成立,-1=b4,对照答案选 D 说明:该题通过不同思路来体现不同的思维品质 例 3, 在某次投球游戏中, 规定每 10 位选手投球 10 次,记分规则是,投进一球得 3 分, 否则得 0 分,并且参赛选手一律加 2 分。某选手投进球的概率为 0.8 ⑴求该选手在比赛中得分的分布列 ⑵求该选手得分的期望与方差(邯郸一模理科) 解:⑴设投进为 k 次,则得分为ξ =3k+2 k~B(10,0.8),有 ξ k p 2 0
0 C 10 0.210

5 1
9 C1 10 0.8.0.2

8 2
2 C 10 0.82.0.28

11 3
3 C 10 0.83.0.27

…… …… ……

32 10
10 C 10 10 0.8

⑵∵Ek=10?0.8=8 Dk=10?0.8?0.2=1.6 ∴Eξ =3Ek+2=26,Dξ =32Dk=14.4 2 说明: 教材中对于变量有线性关系:如果η=aξ+b,则 Eη=aEξ+b,Dη=a Dξ,但其应用在 中学却鲜为人所研究,其实此公式可以简化计算过程,将不熟悉的、复杂的数据转化为熟悉 的、简单的数据加以计算。该题的新意正在于此。 [试题汇编] 一,单项选择题 1,从 10 双不同的鞋中,任取 8 只,恰有 2 双成对的鞋的取法有( )种 A,50400 B,3150 C,12600 D,25200( 《数理天地》2005(4)P18) n 2,(文)(1-3x+2y) 展开式中,不含 y 项的系数和为( ) n A,2 B,-2n C,(-2)n D,1 (湖南师范) 2 6 2 (理)(x +4x+2) =a0+a1(x+1)+a2(x+1) +……+a12(x+12)12,则 a2+a4+a6+……+a12=( )
- 18 -

A,-1

B,0 C,63 D,64 (鲁和平.《数理天地》2005(4)P18) 3, 假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为 1-p,且各引擎是否有故障是独立的, 已知 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2 引擎飞机要 2 个引擎全 部正常运行,飞机才可成功飞行,要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全,则 p 的取值范围是 ( ) A、 ( , 1)

2 3

B、 ( , 1)

1 3

C、 (0,

2 ) 3

D、 (0,

1 ) (湖南师范) 3

4,用 1,2,3,4 这四个数字,组成比 2000 大,且无重复数字的四位数的概率是( ) A,1/4 B,1/2 C,3/4 D,1/3 ( 郑州质检) 5,通讯中常用重复法信号的办法减少在接收中可能发生的错误。假设发报机只发 0 和 1 两种信号,接收时发生错误是 0 收为 1 或 1 收为 0 的概率都是 0.05,为减少错误,采取每 种信号连发 3 次,接收时“少数服从多数”原则判断,则判断错一个 信号的概率是( ) .. A,0.002375 B,0.007125 C,0.00725 D,0.0025 (北京东城练习一) 6(文)从 1,2,3,……,9 这 9 个数中,随机取 3 个不同的数,则此三个数和为奇数的概 率是( )A,4/9 B,5/9 C,11/21 D,10/21 (《中国考试.2005 高考专刊》模二) (理)在一次实验中,事件 A 发生的概率为 p(0<p<1),设在 k 次独立重复实验中,事 件 A 发生 k 次的概率记为 pk,则 A,1 B,1-(1-p)n C,p

?p
k ?1

n

k

=( D,np

) (《中国考试.2005 高考专刊》模二)

1? pn 1? p

7, 甲、乙、丙、丁与小强一起比赛象棋,每两人都要比赛一盘,到现在为止,甲已经赛 了 4 盘,乙赛了 3 盘,丙赛了 2 盘,丁只赛了 1 盘,则小强已经赛了( ) A.4 盘 B.3 盘 C.2 盘 D .1 盘 (北京四中模二) 8(文)为估计水库中的鱼的尾数,可以用下列方法:先从水库中捕出一定数量的鱼, 例如 2000 尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库;经过适当时间再从水库 中捕出一定数量的鱼,例如 500 尾,有记号的鱼为 401 尾。根据以上数据,估计水库中的鱼 有( )尾 A,2000 B,8000 C,20000 D,25000 (唐山二模) (理)若随机变量ξ 的分布列如下表,则 Eξ 的值为( ) ξ 0 2x C. 1 3x 2 7x D. 3 2x 4 3x 5

P
A.

x

1 18

B.

1 9

20 9

9 20

(北京四中模一)

9,6 名学生中,3 人会独唱,5 人能跳舞,从 6 名学生中取 3 人,使这三人能排演由 1 人独唱,2 人拌舞的概率为( )A,4/5 B,2/5 C,9/10 D,19/20(唐山二模) 10,(文)对某新产品有 5 件不同的正品和 4 件不同的次品一一进行检测 ,直到区分出 所有的次品为止; 若所有次品恰好经过五次检测被全部发现, 则这样的检测方法有 ( ) 种。 A,20 B,96 C,480 D,600 (潍坊统考) (理)所有的三位数中,各位数字按严格递增(如 145)或严格递减(如 321)顺序排 列的个数为( )A,120 B,168 C,204 D,216 (名校联考) 11 甲、乙二人抛掷均匀的硬币,其中甲掷 n+1 次,乙掷 n 次,甲掷出正面的次数大于 乙掷出正面次数的概率是( )A,1/3 B,1/4 C,1/2 D,1/5( 〈高中数理化〉05⑵P23) n * 12,如果(3lnx-1) (n∈N )的展开式中各项系数和为 128,则展开式中 ln2x 项的系数为 ( )A,189 B,252 C,-189 D,-252 (吉安二模) 二,填空题 13(文)两人相约 9 点到 10 点在一个地点会面,早到的人要等到 20 分钟才可以离开, 则两人会面的概率为________________(屠庆丰《中学教研》2004(10)P13)

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(理)A、B 各有 6 个球的箱子,其中 A 有 x 个红球、y 个白球、其余是黄球,B 有 3 个红球、2 个白球、1 个黄球,两人各自从自己箱子中任意取一个球比颜色,规定同色时为 A 胜,异色时为 B 胜。 A 要使自己获胜的概率最大,其箱子内球的颜色情况应该是 ___________________(黄冈模拟) 14(文)定义“n 的双阶乘 n!!”如下:当 n 为偶数时 n!!=2?4?6?……?(n-2)?n ; 当 n 为奇数时,n!!=1?3?5?……?(n-4)(n-2)n。现有下列命题:①2004!!.2003!!=2004!;② 2004!!=21002.1002!; ③ 2004!! 个位数字为 0 ;④ 2003!! 个位数字是 5 。其中真命题的序号是 _________________ (金榜园模三) (理)质点从原点出发,当投下的均匀硬币出现正面时,质点沿数轴正方向移动一个 长度单位;当硬币出现反面时,质点沿数轴负方向平移一个单位;移动 4 次停止。则停止时 质点在数轴上的坐标 x 的期望值是_____________(唐山三模) 15,已知(x+a/x)8 展开式中常数项是 1120,其中 a 为常数,则展开式中各项系数和是 ________________(石家庄一模) 16(文)将数字 1,2,3,……,9 这九个数字填写在三行三列的表格中,要求每一行从 左到右依次增大,每一列从上到下依次增大,当数字 4 在中心位置时,则数字的填写方法有 _________种 (金榜园二模) (理)足球场上三个人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过五次传球后, 球又回到甲手中,则不同的传球种数有________种 (石家庄一模) 三,解答题 17(文)从原点出发的某质点 M,按 a=(0,1)平移的概率为 2/3,按 b=(0,2)平移的概率为 1/3,设可以到达(0,n)的概率为 Pn, ⑴求 P1,P2 ⑵找出 Pn+2,Pn+1,Pn 的关系式,并证明数列{Pn+1+Pn}成等比数列 ⑶求数列{Pn}的通项公式 (金良《考试》2004(11)P15) (理)军事演习中,我方对敌方设施进行炮击。假设每次炮击命中的概率为 1/2,若第一 次命中,只能给该设施以重创而不能将其摧毁,第二次命中才能摧毁 ⑴若对敌设施进行了五次炮击,试求将其摧毁的概率 ⑵为确保将改设施摧毁的概率达到 90%以上,至少要对其进行多少次炮击 (唐山 二模) 18(文)在一次由三人参加的围棋对抗赛中,甲胜乙的概率为 0.4,乙胜丙的概率为 0.5, 丙胜甲的概率为 0.6,比赛按以下规则进行;第一局:甲对乙;第二局:第一局胜者对丙; 第三局:第二局胜者对第一局败者;第四局:第三局胜者对第二局败者,求: (1) 乙连胜四局的概率; (2) 丙连胜三局的概率. (北京四中模拟三) (理) 若随机变量 A 在一次试验中发生的概率为 p(0<p<1),用随机变量ξ 表示 A 在一次 试验中发生的次数 ⑴求方差 Dξ 的最大值 ⑵求

2 D? ? 1 的最小值( 《理科考试研究》2005⑷P6) E?

19(文)一批 20 件产品中,有 n 件特等品,5 件一等品,10 件二等品(以上均为合格品) , 其余为次品 ⑴从这 20 件产品中任取 3 件,恰好是统一等级的合格品的概率是 131/1140,计算特等 品的件数

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⑵根据⑴的结论,计算从 20 件产品中任意抽取 3 件,至少有一件是特等品的概率 (吉安二模) (理)把圆周分成四等份,A 是其中的一个分点,动点 P 在四个分点上按逆时针方向前 进。现投掷一个质地均匀的正四面体,它的四个面上分别写有 1,2,3,4 四个数字。P 点 从 A 点出发,按照正四面体底面上的数字前进几个分点,转一周之前连续投掷 ⑴求点 P 恰好返回 A 的概率 ⑵在点 P 转一周恰好返回 A 点的所有结果中,用随机变量ξ 表示点 P 返回 A 点的投掷 次数,求ξ 的分布列和期望 (邯郸一模) 20,从 A 地到 B 地有 6 条不同的网络线路并联,它们通过的最大信息量分别为 1,1, 2,2,3,4,现从中任取三条网线且使每条网线都通过最大信息量,三条网线可通过的信息 总量即为三条网线各自的最大信息量之和 ⑴(文)设三条网线可通过的信息总量为 x,当 x≥6 时,则保证线路信息畅通,求线 路信息畅通的概率; (理)求出选取三条网线可通过信息总量的数学期望; ⑵为保证网络在 x≥6 时信息畅通的概率超过 85%,需要增加一条网线,其最大信息量 不低于 3,问增加的这条网线最大信息量最少应为多少?(邯郸二模) 21,甲、乙两射击运动员进行比赛,射击相同的次数,已知两运动员射击的环数稳定在 7,8,9,10 环,他们的成绩及频率分布条形图如下
频率 0.3 0.2 0.15

0.35

0.2

7 甲

8

9

10 环数
乙 7 8 9 10

⑴推断乙击中 8 环及甲击中 10 环的概率 ⑵(文)求甲、乙同时击中 9 环之上的概率 (理)甲、乙谁的平均水平高?(胡彬《理科考试研究》2005(4)P6) 22,A 袋中有一张 10 元、一张 5 元的钱币,B 袋中有两张 10 元、1 张 5 元的钱币,从 A 袋中任取一张钱币与 B 袋中任取一张钱币互换,这样的互换进行了一次 ⑴求 A 袋中 10 元钱币恰好是一张的概率 ⑵(文)求 A 袋中 10 元钱币至少是一张的概率 (理)A 袋中钱币的期望金额

空间几何
一,考纲要求与分析 空间几何考纲,多年来处于稳中有变的情况,其变化主要有以下几点:1,由于教材分 作 A、B 两个版本,相应的考题上一般是用传统的方法可以求解,用向量方法也可以求解; 2,对于多面体的 Euler 公式,在理解与了解之间摇摆,2005 年考纲为了解内容;3,三垂线 定理及逆定理,又再度由了解恢复到 2002 年前的掌握内容,相应的试题也有线线成角的核 心恢复为求二面角的平面角为核心, 以此来重点考查空间想象能力。 其余部分仍然按惯例进 行。

- 21 -

二,例题简析 0 例 1,正三棱柱 ABC-A1B1C1 底面边长及高都为 2,过 AB 作一个与底面成 60 角的截面⑴ 求截面面积 ⑵求直线 BC 与截面成角的大小 ⑶求点 A1 到截面的距离(邯郸一模)
E

A1

Q
R P

C1

B1

H A
D

C B

解:⑴过 C 作 CD⊥AB 于 D,则 D 为 AB 的中点,CD= 3 ∵CC1/CD=2/ 3 ∴∠CDC1<60 ,
0

过 AB 作的截面与 CC1 的交点 E 必在 CC1 的延长线上,设截面交 A1C1、B1C1 分别为 Q、P,则梯 形 ABPQ 面积 S 即为所求,CE=CDtan60 =3,S=(QP+AB)RD/2=16 3 /9
0

⑵过 C 作 CH⊥DE 于 H,∵平面 CED⊥平面 ABPQ,交线为 DR∴CH⊥平面 ABPQ,∠CBH 即 0 为 CB 与截面 ABPQ 成角 CH=CDsin60 =3/2 sin∠CBH=CH/CB=3/4, CB 与截面 ABPQ 成角为 arcsin

3 4

⑶[方法一]因 A1Q:QC1=2:1,A1 到截面的距离为 C1 到截面距离的 2 倍,过 C1 作 C1K⊥DE 于 0 H,C1K 即为 C1 到面 ABE 的距离,C1K=C1Rsin60 =1/2, A1 到截面的距离为 1 [方法二]棱柱 A1-QPE 的高 h 即为所求,据 VA 1 -QPE=VE-A 1 QP,解得 h=1 说明:该题第一问容易错将截面当成三角形而求错;求空间量的试题一般有: “ (作出) ——证出——指出——求出”四个步骤要点,容易在此点上丢三落四;本题的⑶还蕴涵了等 价转换的思想方法。 例二,已知四棱锥 P-ABCD 底面边长为 a 的正方形,PB⊥平面 ABCD ⑴求证 AD⊥平面 0 PAB ⑵若平面 PDA 与平面 ABCD 成 60 的二面角, 求该四棱锥的体积 ⑶在 P-ABCD 的高 PB 0 长度变化时,二面角 A-PD-C 与 90 的大小关系如何?证明你的结论 ( 湖北八校 )
P

E

B

C

A

D

解⑴证明:PB⊥平面 ABCD∴PB⊥AD ∵AD⊥AB ∴AD⊥平面 PBA ⑵∠PBA 为平面 PDA 与平面 ABCD 成的二面角的平面角,∠PDA=60 ,PB= 3 a,∴体积
0

- 22 -

V= 3 a3/3 ⑶过 A 作 AE⊥PD 于 E, ∵△PAD≌△PCD ∴CE⊥PD, ∠AEC 为 A-PD-C 二面角的平面角, 设 PB=x,AE=CE=

x2 ? a2 a x 2 ? 2a 2

,AE2+EC2=

2( x 2 ? a 2 ) 2 2 a <2a =AC2∴AEC>900 x 2 ? 2a 2

说明:该题新意在于⑶中非程序式开放设问,这在空间几何题中并不多见。 例 3,设 MN 为互相垂直的异面直线 a、b 的公垂线,P 为 MN 上不同于 M、N 的点, A、 B 分别为 a、 b 上的点, 则三角形 APB 为 ( ) 三角形 A, 锐角 B, 钝角 C, 直角 D,都有可能 (刘大鸣.《中学生数理化》2004(4)P35)
M P
b

A

a

B N a/ A/

解:过 N 作 a/∥a,在 a/上截取 NA/ = MA ,则 AB2=A/A2+A/B2=

MN2+A/N2+NB2=(MP+PN)2+AM2+NB2,AP2+BP2=PM2+AM2+PN2+NB2<AB2,选 B 说明:该题虽以空间两点距离及转换公式立意,这在对公式不要求情况下可通过平移导 出,属于边缘性知识,设臵为小题显得不偏、不难,考查了分析问题的能力。 [试题汇编] 一,单项选择题 1,设 a、b、c 是空间的三条直线,α 、β 是空间的两个平面,则下列命题中逆命题不成 立的是( ) A,当 c⊥α 时,若 c⊥β 则α ∥β B,当 b ? ? 时,若 b⊥β 则α ⊥β C,当 b ? ? 时,且 c 是 a 在α 内的射影时,若 b⊥c 则 a⊥b D, 当 b ? ? ,且 c ? ? 时,若 c∥α 则 b∥c (毛仕理《数理天地》2005(4)P17) 2, (文) 正四面体 ABCD 的棱长为 1, G 是△ABC 的中心, M 在线段 DG 上, 且∠AMB=900, 则 GM 的长为( )A,1/2 B,

2 2
A

C,

3 3

D,

6 6

(湖北师范)

D

M A G B 第二 题文 科图 C B

E D F C 第二 题理 科图

(理)在正三棱锥 A-BCD 中,E、F 分别是 AB、BC 的中点,EF⊥DE,且 BC=1,则 A-BCD 的体积为( )A,

12 12

B,

2 24

C,

3 12

D,

3 24

(毛仕理《数理天地》2005(4)P17) 3,正方体 ABCD-A B C D 的棱长为 1,点 M 在棱 AB 上,且 AM=1/3,P 是平面 ABCD 内一个动
/ / / /

- 23 -

点,且 P 到直线 A D 的距离与点 P 到 M 的距离的平方差为 1,则 P 的轨迹为( ) A,椭圆 B,双曲线 C,抛物线 D,直线 (金榜园模三)
D' F A' B' C'

/ /

D' A' O P B'

C'

B面

D E A M P B

C

M D N

Q

C A面
底 面

A

B 第四 题文 图
/ / / /

第三 题图

第四 题理 图

4(文)在棱长为 a 的正方体 ABCD-A B C D 内有一个内切球 O,过正方体中两条互相垂 / 直的异面直线的棱 AA 、 BC 的中点 P、 Q 作直线, 该直线被球面截在球内的线段 MN 的长为 ( ) A,( 2 -1)a B,

a 2

C,

a 4

D,

2 a 2

(金榜园模三)

(理)如图是一个组合体,下面是棱长为 2 米的正方体基座,基座上面中心位置放着一个 大球,阳光从 A 正前方照下时,基座在 B 面正前方底面的射影长为 4.8 米,此时大球影子最 远点伸到距离 B 面 8.8 米处,则大球的体积是( )立方米 A,

4? 3

B,

15625 ? 10368

C,

864? 375

D,

256? (黄爱民,胡彬《中学生学习报》模拟一) 375

5(文)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BB1、DD1 上的动点,且 BE=D1F,设 EF 与 AB、BC 的成角分别为α 、β ,则α +β 的最小值为( ) 0 0 0 A,45 B,60 C,90 D,无法确定 (石家庄一模) (理)正三棱锥 A-BCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上.并且

AE CF ? ? ? (λ >0),设 EB FD
(邯郸二模)

α 为异面直线 EF 与 AC 所成的角,β 为异面直线 EF 与 BD 所成的角,则α +β 的值是( ) A.

π 6

B.

π 4

C.
/ / /

π 2
/

D.与λ 有关的变量
/ /

6,在正三棱柱 ABC-A B C 中,A B 与侧面 AA C C 成角的取值范围是( ) A,(0,π /6) B,(0,π /4) C,(0,π /3) D,(0,π /2)(《中国考试.2005 高考专刊》) 7,下列各图是正方体或正四面体,P、Q、R、S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面 的一个图是( )
S P P R R S

P
Q Q

Q R

P S Q

R

S

A

B

C

D

(浙江路桥中学《中学教研》2005(4)P45) 8,一个三棱锥的所有棱长都是 1,那么这个三棱锥在某个平面内的射影不可能是( ) A,

3 4

B,

3 2

C,

1 2

D,

2 4

(赵春祥,宋质彬《中学生学习报》2005 模拟题)
- 24 -

9,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E、F 分别是棱 AD、CC1 上的点,若 AF⊥A1E,则( ) A,AE=ED B,AE=C1F C,AE=CF D,C1F=CF (唐山二模) 10(文)设三棱柱 ABC- A1 B1C1 的体积为 V,P 为其侧棱 BB 1 上的任意一点,则四棱锥

P- ACC1 A1 的体积等于( )A. V

2 3

B. V

1 3

C. V

3 4

D. V (北京四中模拟三)

1 2

(理)以平行六面体相邻两个面上互相异面的两条面对角线的端点为顶点的四面体的体 积是平行六面的体积的( ) A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 (北京四中模拟二) 5

11, 正方形 ABCD 中,M 为 AD 的中点,N 为 AB 中点,沿 CM、 CN 分别将三角形 CDM 和△CBN 折起,使 CB 与 CD 重合,设 B 点与 D 点重合于 P,设 T 为 PM 的中点,则异面直线 CT 与 PN 0 0 0 0 所成的角为( ) A,30 B,45 C,60 D,90 (吉安二模)
(D) M T A C

P

N 第11题图

(B)

12,四面体内切球与外接球的半径分别为 r 和 R,则 r:R=( ) A,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:9 (名校联考) 二,填空题 13,以正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点中的 4 个为顶点,且 4 个面均为直角三角形的一 个四面体是_______________ (江苏常州) 14,(文) 三角形 ABC 的一个边 AB 在平面α 内, CD 是 AB 边上的高, CD⊥α , 将三角形 ACD 沿 CD 折叠过程产生三棱锥 C-ABD,则下列结论正确的序号是______________ ①若 AD<BD,则折叠过程产生的三棱锥中,一定会产生侧面与底面都是直角三角形的三棱 锥;②若 AD>BD,则折叠过程产生会产生侧面与底面都是直角三角形的三棱锥;③若 AD=BD, 在折叠过程中一定会产生两个侧面与底面都是直角三角形的三棱锥, 但一定不会产生侧面与 底 面 都 是 直角 三 角形 的三 棱 锥 。 (邯郸二模)
D1
C

Q

C1

A1

P B1 D

B D α A 14题文 科图

C A F B 14题理 科图
E

(理)已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,P 是 A1D1 上的定点,Q 是 C1D1 上的动点, 长为 b(0<b<a,b 为常数)的线段 EF 在棱 AB 上滑动,则四面体 P-QEF 的体积变化情况是 ________________________ (北京黄冈冲刺信息卷)

- 25 -

15(文)E、F 分别为正方体 AC1 的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正 方体面上的射影可能是下图中的____________(填序号) ( 《高中数理化》2005(2)P24)
D1 A1 E D
A

C1 B1 F C B


D1 A1 F D
A


E C1 B1 G C





15题文 科图

15题理 科图 B

(理)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,G、E 分别为 BB1、C1D1 的中点,若 F 为正方形 ADD1A1 的中心,则四边形 BGEF 在正方体侧面及底面六个面内射影图形的面积最 大值为______________ (名校联考) 16,正三棱锥 P-ABC 底面边长为 2 3 ,体积为 4 3 ,底面△ABC 的中心为 O,则 O 到 面 PAB 的距离为______________ (山东潍坊统考) 三,解答题 0 17,四棱锥 P-ANCD 表面是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90 ,侧面 PAD 是等腰直角三角形, 0 ∠PDA=90 ,已知 DC=DA=2AB=2 ⑴若 E 为 BC 中点,证明 BE∥平面 PAD ⑵若△PDC 为钝角三角形,四棱锥的高为 3 , 求异面直线 PC 与 AD 的距离
P E A B

(唐山三模)

F

D

C 第17题图

(第 18 题图)

18,如图,平面 VAD⊥平面 ABCD,△VAD 是等边三角形,ABCD 是矩形,AB∶AD= 2 ∶ 1,F 是 AB 的中点. (1)求 VC 与平面 ABCD 所成的角; (2)求二面角 V-FC-B 的度数; (3) 当 V 到平面 ABCD 的距离是 3 时,求 B 到平面 VFC 的距离. (北京四中模拟一) 19,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB、BC 的中点,EF 与 BD 交于 点 G,⑴求二面角 B1-EF-B 的大小;⑵M 为棱 B1B 上一点,当 B1M:MB 的值为多少时,D1M⊥平 面 EFB1 ,证明之;⑶求点 D1 到平面 EFB1 的距离 ( 燕园高考冲刺卷三 )

- 26 -

D1 B1

C1
C1 A1

A1

G

D G

M C F
B F C E 第20题图
A

A

E B 第19题图

20,如图,正方形 ACC1A1 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直,且 AC=BC=2,E、 F、G 分别是线段 AB、BC、AA1 的中点。⑴判断 C1B 与平面 EFG 的位置关系,并说明理由;⑵ 求异面直线 AC1 与 GF 所成角的大小;⑶求点 C 到平面 EFG 的距离(石家庄二模) 0 21,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,三角形 ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90 ,且 AB=AA1,D、 E、F 分别是 B1A、C1C、BC 的中点 ⑴求证(文)DE∥平面 ABC (理)B1F⊥平面 AEF ⑵(文)求二面角 B1-AF-B 的大小 (理)求二面角 B1-AE-F 的大小 ⑶求 F-B1AE 的体积 ( 北京东城练习一 )
A1 B1 D
A

D1

C1 B1 P

C1
A1

H

E
D F

C

B

F 第21题图

C

A

E 第22题图

B

22,已知 E 为长方体 AC1 棱 AB 的中点,AB=2,BC=1,P 为棱 CC1 上的一点(CC1≥1),设 PC=x, 锐角∠APE 的正弦为 y ⑴将 y 表示成关于 x 的函数;⑵求出 y 的最大值,并指出此时点 P 的位置;⑶当 y 取得最大值时,求此时三棱锥 P-ABC 的体积( 《求学》2005⑺P37-P38)

解析几何
一,考纲要求与分析 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜 式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程.、掌握两条直线平行与垂直的条 件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关 系.了解二元一次不等式表示平面区域.了解线性规划的意义, 并会简单的应用.了解解析几何 的基本思想,了解坐标法.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的 参数方程.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程.掌握双 曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的 简单几何性质.了解圆锥曲线的初步应用. 这里的变化是, 将直线倾斜角的概念又再度由不要求恢复到理解层次; 多年高考中求直 线方程是个冷热交替的过程,一般要化为一般式的标准型:方程右边为 0,左边按 x、y、常 数项顺序排列;x 前系数非负(为 0 时,y 前系数为正) ;所有系数不含分母及除±1 以外的
- 27 -

公约数,这样可以使结果“化一” ;两直线的位置关系涉及内容更加注重内涵的过程是创新 的走向;简单线形规划这一内容易与面积、长度等度量关系结合在一起出现创新题;作为求 轨迹或轨迹方程的原传统题, 一段时间内由于以求范围为核心而受到冷落, 再度恢复并将范 围结合一起是创新的立意点。 二,例题简析 例 1,已知抛物线 y2=4x 上两个动点 B、C 和点 A(1,2),且∠BAC=900,则动直线 BC 必 过定点( )A,(2,5) B,(-2,5) C,(5,-2) D,(5,2)(毛仕理《数理天地》2005⑷P17) 2 2 解:[方法一]设 B(y1 /4,y1),C(y2 /4,y2),BC 的中点为 D(x0,y0),则 y1+y2=2y0,直线 BC:

y x? 1 4 = y ? y1 ,即:4x-2y0y+y1y2=0① 2 2 y 2 ? y1 y1 y2 ? 4 4

2

又 AB ? AC =0,y1y2=-4y0-20 代入①有

2(x-5)-y0(y+2)=0 恒过 x-5=0 与 y+2=0 的交点,选 C [方法二]BC 过的定点可以通过两个特殊情况求得:AB 斜率为 1 时,求得一个 BC 的方 程;AB 斜率为 2 时,再求得一个直线 BC 的方程。解两直线的交点,选 C [方法三]B、C、A 三点的横坐标均为正,BC 过的定点的横坐标也为正,作出一个草图 知,BC 过定点的纵坐标为负,选 C 说明:该题通过以上不同解法,体现不同的思维品质差异,方法三还用到了数形结合 的技巧,这是高考命题刻意追求的创新立意点。 例 2,已知 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)上一点,若 PF1 ? PF2 =0, a2 b2
B,2/3 C,1/3 D,

tan∠PF1F2=1/2,则此椭圆的离心率为(

)A,1/2

5 (吉林质检) 3

解:如图, △F1PF2 是直角三角形,|F1F2|=2c,|PF1|=2c.cos∠PF1F2= D 说明:借助三角函数去求值比硬性代入椭圆方程中解方程组要简捷得多,该题的创新 启示为: 三角函数的定义不仅仅是高中阶段的坐标定义法与单位圆定义法, 初中阶段的直角 三角形定义法更应熟练掌握,谨防“前学后忘,割断联系”的学习陋习。 例 3,方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2 表示椭圆,求实数 m 的范围(屠庆丰《中学教研》 2004(10)P20) 解:原不等式可化为

4c 5

,|PF2|=

2c 5

,e=

2c ,选 | PF1 | ? | PF2 |

x 2 ? ( y ? 1) 2 5 表示到点(0,-1)与到直线 x-2y+3=0 的 ? | x ? 2y ? 3 | m 5
- 28 -

距离为

5 5 的轨迹,要表示椭圆,有 0< <1,m>5 m m

说明:这种题容易用思维定势:将方程转化为标准方程!这可谓想得简单,操作不易, 而椭圆除了第一定义外,还有第二定义,用第二定义避开了思维定势,与《考纲》中的考查 思维能力相对应。 [试题汇编] 一,单项选择题
B 1 C 1 O A

1,目标函数 u=ax-y 的可行域为四边形 OACB(含边界) ,如图 若点 C(2/3,4/5)是该目标函数的最优解,则 a 的取值范围是( ) A,(-10/3,-5/12) B,(-12/5,-3/10) D,(-12/5,3/10) (邯郸一模) 2,设 P(x,y)是曲线 C: A,小于 10 B,大于 10

C,(3/10,12/5)

x2 + 25

y2 =1 上的点,F1(-4,0),F2(4,0),则|PF1|+|PF2|( 9

)

C,不大于 10 D,不小于 10 (黄冈模拟) ?y ? x ? 2 2 3(文)已知 x、y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ,则 S=x +y +2x-2y+2,最小值是( ) ? y ? ?2 ?

A、

9 5

B、2

C、3
2 2

D、 2

(湖南示范)

(理)直线 y=kx+1 与圆 x +y +kx+my-4=0 交于 M、N 两点,M、N 关于直线 x+y=0 对称,

?kx ? y ? 1 ? 0 ? 则不等式组 ? kx ? m y ? 0 表示的平面区域的面积为( ? y?0 ?
2 2

)A,2 B,1 C,1/2 D,1/4

(王勇《数理天地》2005⑷P14) 4,直线 x-y-1=0 与双曲线 x -y =m(m<0)的交点在以原点为中心, 边长为 2 且边分别平行两 坐标轴的正方形内部,则( ) A,0<m<1 B,m>-1 C,m<0 D,-1<m<0 (王宝洪《中学生学习报》第 25 期第 5 版) 0 5(文)如图在△ABC 中,∠CAB=∠CBA=30 ,AC、BC 边上的高分别为 BD、AE,则以 A、B 为焦点且过 D、E 的椭圆和双曲线的离心率的倒数和为( ) A, 3 B,1 C,2 3 D,2 (金榜园模一)

- 29 -

E C

M

N F2 F1

A F2

D
F1

M

N F2

F1

A 第5 题文 图

B

第5 题理 图 一

第5 题理 图 二

第5 题理 图三

(理)如图三个图中的多边形都是正多边形,M、N 是所在边的中点,双曲线以图中的 F1,F2 为焦点,且离心率为 e1,e2,e3,它们的大小为( ) A,e1>e2>e3 B,e1<e2<e3 C,e1=e3<e2 D,e1=e2>e3(安振平《数学大世界》2005⑷P39) 6,如果圆 x2+y2=k2 至少覆盖函数 f(x)= 3 sin k 的取值范围是( A,|k|≥3 B,|k|≥2 ) C,|k|≥1

?x 的图象的一个最大值与一个最小值,则 k

D,1≤|k|≤2(浙江路桥中学《中学教研》2005⑷P47)

7(文)在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的方程为 x=-1,AM⊥l 于 M, |AM|=λ , |AO|=

1 + 2

λ (λ ≥0) ,则 A 的轨迹是( ) A,椭圆 B,双曲线 C,抛物线 D,圆 (唐山二模) (理)一个圆形纸片,圆心为 O,F 为圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于 P,则 P 的轨迹是( ) A,椭圆 B,双曲线 C,抛物线 D,圆 ( 《中学数学教学参考》2005⑸P46) 8(文)已知 F 为双曲线

x2 y2 =1(a,b>0)的右焦点,点 P 为双曲线右支上一点,以线段 a2 b2
(石家庄一模)

PF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 的位置关系是( ) A,相交 B,相切 C,相离 D,不确定 (理)P 为双曲线

x2 y2 =1(a,b>0)右支上一点,F1,F2 分别是左右焦点,且焦距为 a2 b2

2c,则△F1PF2 的内切圆圆心的横坐标为( ) A,a B,b C,c D,a+b-c (湖北八校) 9,某城市各项土地单位面积租金为 y(万元)与该段地区离开市中心的距离 x(km)的关 系如图所示,其中 l1、l2、l3 分别代表商业用地、工业用地、住宅用地,该市规划局按单位 面积租金最高标准规划用地,应将工业用地划在与市区( )范围内 A,3km 和 5km 的圆环形区域内 B,1km 和 4km 的原环形区域内 C,5km 区域外 D,5km 区域外 (常州模拟)

- 30 -

(1, 4)

(2, 2) O
l1

(4, 1)
l2 l3

第9 题图

10, 如图, 南北方向的公路 l ,A 地在公路正东 2km 处, B 地在 A 东偏北 300 方向 2 3 km 处,河流沿岸曲线 PQ 上任意一点到公路 l 和到 A 地距离相等。现要在曲线 PQ 上一处建一 座码头,向 A、B 两地运货物,经测算,从 M 到 A、到 B 修建费用都为 a 万元/km,那么, 修建这条公路的总费用最低是( )万元 A,(2+ 3 )a B,2( 3 +1)a C,5a D,6a (全国联考)

11(文)已知点 P 是椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 上的动点,F1、F2 分别是左右焦点,O 为坐标原 8 4


点,则 || PF1 | ? | PF2 || 的取值范围是(
| OP |

A,[0,

2 ] 2

B, ?0,2?

C, ?

?1 2 ? ? ?2, 2 ? ? ?

D,[0, 2 ]

(武汉 4 月调研)

(理)已知直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0)与圆 x2+y2=50 有公共点,且公共点横、纵坐标 均为整数,那么这样的直线有( )条 A,66 B,72 C,74 D,78 (海淀理) 2 2 12,已知θ 为三角形的一个内角,且 sinθ +cosθ =1/4,则 x sinθ -y cosθ =1 表示( ) A,焦点在 x 轴上的椭圆 B,焦点在 y 轴上的椭圆 C,焦点在 x 轴上的双曲线 D,焦点在 y 轴上的双曲线 (同一套题模二) 二,填空题 13,若 x ? 5 ≠kx+2 对一切 x≥5 都成立,则 k 的取值范围是________(刘大鸣《中学 生数理化》2005⑷P85) 14(文)⊙M:x2+y2=4,点 P(x0,y0)在圆外,则直线 x0x+y0y=4 与⊙M 的位置关系是_____ (理)抛物线 x2=4y 的准线 l 与 y 轴交于 P 点,若 l 绕点 P 以每秒 逆时针方向旋转,则经过_______秒,l 恰好与抛物线第一次相切 15,椭圆

? 弧度的角速度按 12
(邯郸二模)

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 a=________ 2 loga 8 9

(北京四中模拟二)

16,⊙O:x2+y2=r2 内一点 C(c,0),A、B 在⊙O 上,且∠ACB=900,AB 的中点 P 的轨迹 方程为_______________ ( 《高中数理化》2005⑵P24)
- 31 -

三,解答题 17,已知 G 是△ABC 的重心,A(0,-1),B(0,1)在 x 轴上有一点 M,使|MA|=|MC|, GM = λ AB (λ ∈R)⑴求点 C 的轨迹方程 ⑵若斜率为 k 的直线 l 与点 C 的轨迹交于不同的两 点 P、Q,且|AP|=|AQ|,求 k 的取值范围 (新高考大纲卷五) 2 2 18,垂直于 x 轴的直线交双曲线 x -2y =1 于 M、N 不同的两点,A1、A2 分别为双曲线 的左、右顶点,设 A1M 与 A2N 交于点 P(x0,y0) ⑴证明 x02+2y02 为定值;⑵过 P 作斜率为 - x0 的直线 l,原点到直线 l 的距离为 d,求 d 的最小值
2 y0

(唐山二模)

19, (理)设双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的离心率为 e,若准线 l 与两条渐 a2 b2

近线相交于 P、Q 两点, F 为右焦点,△FPQ 为等边三角形. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的值; (2)若双曲线 C 被直线 y=ax+b 截得的弦长为

b 2e 2 求双曲线 c 的方程. a

(文)在△ABC 中,A 点的坐标为(3,0) ,BC 边长为 2,且 BC 在 y 轴上的区间[-3,3] 上滑动. (1)求△ABC 外心的轨迹方程; (2)设直线 l∶y=3x+b 与(1)的轨迹交于 E,F 两点,原点到直线 l 的距离为 d,求

| EF | 的最大值.并求出此时 b 的值. (北京四中模拟 d

一) 2 20,过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线 l 与该抛物线交于 A、B 两点。⑴若直线 AB 的斜率 为 k, 试求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。 ⑵直线 AB 斜率为 k>2,且 M 到直线 3x+4y+m=0 的距 离为 1/5,试确定 m 的取值范围 ( 《中学数学教学参考》2005⑸P44) 21, 如图,已知抛物线的方程为 x 2 ? 2 py( p ? 0为常数) ,过点 M(0,m)且倾斜角为

? ,B(x2,y2)两点,且 x1 x2 ? ? p 2(1)求 m 的值(2) ? (0 ? ? ? ) 的直线交抛物线于 A(x1,y1)
2
y

(文)若点 M 分 AB 所成的比为 ? ? 求 ? 关于 ?A的函数关系式。 M
O x B

1 ,求直线 AB 的方程(理)若点 M 分 AB 所成的比为 ? , 2
(湖南示范)

22(文)如图,O、A 是定点,|OA|=1, AM 在 OA 上投影为 a, | AM |-a=2.⑴建立适当坐 标系,求动点 M 的轨迹方程;⑵E、F 为⑴中轨迹上两点,直线 OE、OF 的方向向量分别为 e1=(i,j),e2=(m,n),jn=-2im,求证 EF 过定点 (石家庄二模)

- 32 -

M

O 第22文图

A

x2 y2 (理)C1: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)左右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,P 为 C1 上任意一点, a b
PF1 ? PF2 的最大值的取值范围为[c2,3c2],c= a 2 ? b 2
⑴求点 C1 的离心率 e 的范围; ⑵

设双曲线 C2 以 C1 的焦点为顶点,顶点为焦点,B 是双曲线 C2 在第一象限上任意一点,当 e 取最小值时,猜想是否存在常数λ (λ >0),使∠BAF1=λ ∠BF1A 恒成立?若存在,求出λ 的 值;若不存在,说明理由。 (济南模拟)

[答案]集合与简易逻辑不等式
答案:1,M={y|y≥0},N={x|- 2 ≤x≤ 2 },选 D(注意:集合表示的是范围不是点)
4 4 2, (理)z=-i+2i=i,(1+i)7 展开式中第五项为 C 7 i =35 选 B

(文)[方法一]数形结合:作出两边函数图象,通过图象得到 C;[方法二]等价转化:将不 等式转化为 ?

? ? x?0 ?x ? 0 2 或? ?? x ? 2 ,解得答案 C x? ? x ? x ? ?

3,f(x)是奇函数,f(x)<-f(x)+x,f(x)<x/2,结合图形解出答案 A 2 4,P={n },ab∈P,选 D 5,设 x=2cosθ ,y=2sinθ ;a=cosα ,b=sinα 则 S=2sin(θ +α ),选 B 6,(文)3x≤4×60,选 B; (理)设原进价为 a,则售价为 a(1+r%),后来进价为 0.92a 所以

a(1 ? r %) ? 0.92 a × 0.92 a

100%=(r+10)%,选 B 7,且(c-a)(c-b)<0 ? a<c<b,(d-a)(d-b)>0 ? d<a 或 d>b;由于 a<b,d<c,选 A 8,ax-bx>1 ? ax>bx+1 解为 x>1,作出左右两边函数图象,交点处 x=1,选 A 9,分 A 的配集中一定含有元素 3,余下两个元素 1,2 可以全不含、仅有一个、两个都 有;选 D 10(文)赋值选 D;依据:顺序和≥乱序和≥反序和 (理)原式=tanα-cotα+2i=

sin ? cos ? +2i=-4cot2α+2i,选 A cos ? sin ?

11,设两个直角边为 a、b,则 ab=2,周长 p=a+b+ a 2 ? b 2 ≥2 ab + 2ab =2 2 +2≈ 4.828,等号成立当且仅当 a=b= 2 ,选 C

- 33 -

12(文)M={2},N=[-1,3],CUM=(-≦,2)∪(2,+≦),选 D (理)a2+1<2a+4,解得选 A

3 3 2 即 x=(ax+ ) 的两个解,a=1/8,b=36,a.b=9/2,填 9/2 2 2 a n b n a a 2 a n b 2 b n (理)( ) +( ) =1, 0< <1,( ) >( ), 同理( ) >( ),所以 c c c c c c c a 2 b 2 ( ) +( ) >1,a2+b2>c2,△ABC 是锐角三角形,填锐角三角形 c c
13,(文)4,b 是方程 x =ax+ 14(文)Q={y|y>1},所以 m>1。填 m>1 (理)fmax(x)=f(1)=1≤-2a+t2+1 恒成立,只要 g(a)=-2a+t2≥0 恒成立,g(-1)≥0,或 g(1) ≥0.填{t|t≤-2 或 t=0 或 t≥2} 15,五个元素中,每个元素都出现 C 4 =6 次,
2

?a
k ?1

n

k

=6×(1+2+4+8+16)=186,填 186

16,填①③④ 17,简解:P:0<a<1;Q:a>1/2;P、Q 中有且仅有一个为真?0<a≤1/2 或 a≥1 18,简解: (文)|f(x1)-f(x2)|<fmax(x)-fmin(x),f (x)=3x -1 在(/ 2

3 3 , )上为负,在(3 3

≦,

3 3 3 3 )及( ,+≦)上为正,故 fmax(x)=f(),fmin(x)=f( ),fmax(x)-fmin(x)<1 是 3 3 3 3

漂亮函数。 (理)简解:a+b+c=
2

7 3 3 5 2 1 2 ; x + =2x +2x+ 时 x=-1,f(-1)=a-b+c= ?c= -a,b=1 2 2 2 2 2
?(a ? 1) x 2 ? x ? 2 ? a ? 0 ? 2 ?(2 ? a) x ? x ? 1 ? a ? 0

?x+

1 5 3 2 2 ≤ ax +x+ -a ≤ 2x +2x+ 恒成立, 2 2 2

恒成立,从而有

a ?1 ? 0 ? 3 3 2 ? , a= ?存在 f(x)= x +x+1 满足条件。 ? ? 1 ? 4 ( a ? 1 )( 2 ? a ) ? 0 ? 2 2 ? 2?a ? 0 ?

19 简解:设甲乙距 S(km),每列车长为 L(km) ,每列运煤 a 吨,则原来效率

S × 10 L

25Sa 10Sa ? 10 Sa S 25Sa 2 L L = 1 =25% 100a= ,提速后效率为 ×150a= ,提高了 10Sa L 2L 4 12 L L y a2 b2 x 2 2 2 2 2 2 2 20,简解:⑴( + ) 〃(x+y)=a +b +a x +b . ≥a +b +2ab=(a+b) 等号成立 ? x y y
y
a x +b .
2 2

x y

? ay=bx

⑵ 由 ⑴ f(x)=

22 33 (2 ? 3) 2 + ≥ =25 等 号 成 立 2 x 1 ? 2x 2 x ? (1 ? 2 x)

- 34 -

? x=1/5,fmin(x)=25
? x3 ? ?8.1x ? 30 (0 ? x ? 10) 21 , ( 文 ) 简 解 : ⑴ W=R(x)-10-1.9x= ? ⑵ 当 0 ≤ x ≤ 10 时 ? 170 ? 1.9 x ( x ? 10) ? ? 3
w/=

1 (81-x2),当 x=9 时,wmax;而 x>10 上,w↓ ?年产量为 9 千件时,获利最大 10

(理) 简解: 设 2001 年末的汽车保有量为 b1 万辆, 以后各年汽车保有量依次为 b2 万辆, b3 万辆, ……每年新增汽车 x 万辆, 则 b1=30,b2=b1×0.94+x,…对于 n>1, 有 bn+1=bn×0.94+x=bn 2 n 2 n–1 × 0.94 +(1+0.94) x , …所以 b = b × 0.94 + x (1+0.94+0.94 + … +0.94 ) –1 n+1 1 =b1×0.94 +
n

x 1 ? 0.94n x x ?x ? ? (30 ? ) ? 0.94n .当 30 ? ≥0,即 x≤1.8 时,bn+1 0.06 0.06 0.06 0.06

x <0,即 x>1.8 时, lim[ x ? (30 ? x ) ? 0.94 n?1 ] ? x n?? 0.06 0.06 0.06 0.06 x 并且数列{bn}逐项递增,可以任意靠近 .因此如果要求汽车保有量不超过 60 万辆,即 0.06 x bn≤60(n=1,2,…)则有 ≤60,所以 x≤3.6 0.06
≤bn≤…≤b1=30;当 30 ? 综上,每年新增汽车不应超过 3.6 万辆. 22(文)⑴x2-4<2x-2a 即 g(x)=x2-2x+2a-4<0 仅有一个整数解 1,故 g(0)≥0,g(1)<0,g(2)≥ 0,解得 2≤a<5/2; ⑵amin=2, f(2)=1 得 b=-1,f(x)=log3(2x-1), an ? 3
log3 ( 2 n?1)

使得 ? 2n ?1.n ? N * 设存在正数 k,

(1 ?

1 1 1 )(1 ? ) ? … ? (1 ? ) ? k 2n ? 1 an a1 a2

对 一 切

n? N* 均 成 立 , 则

k?

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? ) ? ? (1 ? ) . 记 F (n) ? (1 ? )(1 ? ) ? ? (1 ? ) , a1 a2 a1 a2 an an 2n ? 1 2n ? 1

F (n ? 1) 2n ? 2 2(n ? 1) 2(n ? 1) ? ? ? ? 1 .? F(n)是随 n 的增大而 2 F (n) (2n ? 1)(2n ? 3) 4(n ? 1) ? 1 2(n ? 1)
增大, ≧

n ? N * ,? 当 n ? 1 时, F (n) min ? F (1) ?

2 3 .? 3

k?

2 3 ,即 k 的 3

最大值为

2 3 . 3

(理)⑴f(x)=x 即 ax2+bx+b-1=0 有两个不等的实数解,△=b2-4ab+4a>0 对任意 b 成立,△ 2 2=16a -16a<0,0<a<1 ⑵设 A(x1,x1),B(x2,x2),kAB=1 所以 k=-1;又 x1,x2 是 ax2+bx+b-1=0 的两个解,x1+x2=-

b ,AB a

- 35 -

中点是(-

b b b b 2 2 ,)在直线 y=-x+a -4a+4 上,= +a -4a+4,b=-a3+4a2-4a,b/=-3a2+8a-4 2a 2a 2a 2a

=-(a-2)(3a-2),a=2/3 时,bmin=-32/27 函数与数列 1 , m,n 分 别 为 f(x) 在 [-3,-1] 上 的 最 大 、 最 小 值 , 也 是 [1,3] 的 最 大 、 最 小 值 , m=f(1)=5,n=f(2)=4,m-n=1,选 C 2,作图象,选 C 3, (文)原式=3 lim
3 x ?0

f (2 ? 3x) ? f (2) =3f/(2)=36,选 C; 3x

(理)方法一:原式= lim

( x ? 1)(x m?1 ? x m?2 ? ......? 1) m = ,选 C x ?1 ( x ? 1)(x n ?1 ? x n ? 2 ? ......? 1) n

xm ?1 ( x m ) / | x ?1 m x ?1 x ? 1 方法二:原式= = = ,选 C x n ? 1 ( x n ) / | x ?1 n lim x ?1 x ? 1 lim
4,由已知:BC=4,DC=9-4=5,AB=8,面积=16,选 B 5,设 x2=-3y 沿(h,h2)平移后得到(x-h)2=-3(y-h2),2h2+2xh-3y-x2=0 有解,△≥0,y≥x2/2, 选C 6,设停在第 k 层,不满意度为 S=1+2+…+(k-2)+2(1+2+3+..+20-k)= k=14 时 S 最小,选 B 7, (文)化简 f(x)=

1 (3k2-85k+842), 2

a2 ? x2 为奇函数,选 C x?b?b

(理)化简 f(x)=

a2 ? x2 为偶函数,选 B x ? b ? ( x ? c)

8,y=a-|x|过点(0,1),在 x>0 上单调减,选 B 9, (文)2a2b=2a+b=4,则 a+b=2,选 C。
2 2 (理)2a2b=2a+b=4,则 a+b=2, a ? b ≥ a ? b ,选 C

2

2

10,由已知 f(x)=2x+1,按等差数列求和,选 A 11,第二、三、四项和为(a+b+c)(q+q2+q3)=(a+b+c),选 A 12(文)n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-4n+5 单调减,选 A

an 1 ? 1.5 ? 0.5 n ?1 ( 理 ) 设 原 来 为 a , 则 an=an-1(1+1.5 × 0.5 )-0.1an, = ≥1, 1.1 a n ?1
n-1

an 1.1 = ≥1,选 C a n ?1 1 ? 1.5 ? 0.5 n
13(文)10000×(1+2×2.4%)-10000×2×2.4%×5%=10456

- 36 -

(理)原式= lim

n??

(1 ? a)n 2 ? (b ? a)n ? b ? 1 =3,1+a=0,a+b=3 n ?1

14,①②③ 15(文)a7a11=a4a14=6,a4,a14 是 x2-5x+6=0 的两个根,填 2/3 或 3/2 ( 理 ) 6Sn=an2+3an+2,6Sn-1=an-12+3an-1+2 两 式 作 差 6an=an2-an-12+3an-3an-1,3(an+an-1)= an2-an-12,an-an-1=3,{an}等差,填 3n-2 16,f(x)单调增,|x-1|>f(0)=1,填(0,1)∪(1,2) 17,设 CD=x,则 S=x(16-x)=-x2+16x(4≤x≤16-a);当 8<16-a 时,S(8)最大=64;当 8≥16-a

?? a 2 ? 16a(8 ? a ? 12) 时,S(16-a)最大=-a2+16a,总之 Smax= ? 64(0 ? a ? 8) ?
18(文)⑴x1F(x1+x2)<x1F(x1)=f(x1),同理 x2F(x1+x2)<f(x2),两式相加得结论是必要条件⑵ f(x1)+f(x2)+……+f(xn)>f(x1+x2+……+xn) π π (理)⑴f/(x)=-2e-xsinx=0,xn=nπ(n∈N*) ,f(x1)=(-1)ne-n ,f(xn)=-e- f(xn-1),{f(xn)} 等比;⑵ Sn=πq(1+2q+3q2+……+nqn-1),qSn=πq(q+2q2+3q3+……+nqn)

x x x + )=f2( ) ≥ 0 , f(x) 不 恒 为 0 , f(x)>0; ⑵ 2 2 2 1 d>0,f(x+d)=f(x)f(d)<f(x),f(x) ↓ ; ⑶ an+1=f(n+1)=f(n)f(1)= an,{an} 等 比 , 3
19 ⑴ f(x)f(0)=f(x),f(0)=1,f(x)=f( an=(

1 n 1 1 1 ) (文)Sn= (1- n );(理)Sn↑,f(Sn)↓,m=f( lim S n )=f( )= n ? ? 3 2 2 3
3 1 3 3 1 3 9 )= f ( ) = f (1) = 3 3 3

1 3 , f 2 ( ) = f (1) = 3 2

M=f(S1)=f(

? ?? 1( n为奇数) 20(文)⑴An= ? ,Sn= ? 2 (n为奇数) 从而结论成立;⑵bn=(1-2n)(-1)n, ? n ( 0 n 为偶数) ? ? ? (n为偶数) ? 2

? n ?1

?? n( n为偶数) |bn|=2n-1,cn=n2,Bn= ? ,分类讨论解得 n=6 或 7 ? n( n为奇数)
(理)⑴E:u=19-2x,bn=19-2n,a=3 时,an=3
bn

=319-2n,{an}是以 317 为公比的等比数列,

lim

Sn =1/8;⑵an>1,a>1 时 bn>0,n<10 不存在;当 0<a<1 时,an>1,bn<0,n>9,存在 M=9 满足 n ?? 319

条件 21,(文) (1) 设公寓投入使用后 n 年可偿还全部贷款, 则公寓每年收费总额为 1000×80 (元) =800000(元)=80 万元,扣除 18 万元,可偿还贷款 62 万元. 依题意有

62[1 ? (1 ? 5%) ? (1 ? 5%)2 ? … ? (1 ? 5%)n?1 ] ? 500(1 ? 5%)n?1 .化简得
1.05n ? 1.7343 . 两 边 取 对 数 整 理 得
- 37 -

62(1.05n ?1) ? 25?1.05n?1 . ?

n?

lg1.7343 0.2391 ? ? 11.28 .? lg1.05 0.0212

取 n=12(年) .? 到 2014 年底可全部还清贷款.

(2)设每生和每年的最低收费标准为 x 元,因到 2010 年底公寓共使用了 8 年, 1000 x 依题意有 ( ? 18)[1 ? (1 ? 5%) ? (1 ? 5%) 2 ? … ? (1 ? 5%)7 ] ? 500(1 ? 5%)9 . 10000 化简得 (0.1x ? 18) ?
x ? 10(18 ?

10.58 ? 1 ? 500? 1.059 . 1.05 ? 1

25? 1.059 25? 1.05 ? 1.4774 ) ? 10(18 ? ) ? 10 ? (18 ? 81.2) ? 992(元) 1.4774? 1 1.058 ? 1

故每生每年的最低收费标准为 992 元. (理)⑴设第 n 次服药后药在体内残留量为 an 毫克,则 a1=220,a2=220×1.4,a3=343.2 ⑵an=220+0.4an-1,an-1100/3=0.4(an-1-1100/3),an<1100/3<386 不产生负作用。 22 (文) ⑴a2n-1=4n2-1,a2n=4n2,b2n-1=4n2-4n+1,b2n=4n2+4n,求出 c2n-1,c2n 得出 cn=n2+n⑵粒子 从 原 点 运 动 到 P(16,44) 时 , 所 需 要 的 时 间 是 到 达 C44 所 经 过 的 时 间 + ( 44-16 ) , t=442+44+28=2008 秒;⑶cn=n2+n≤2004,1≤n≤

? 1 ? 8017 ,取最大值为 n=14 2
x1 x2 ? log2 1 ? x1 1 ? x2 1 = ;⑵倒序相加得 2 2

( 理 ) ⑴ x1+x2=1,yM=

f ( x1 ) ? f ( x2 ) = 2

1 ? log2

Sn=

n ?1 1 1 2n n?2 4 ? ? , ; ⑶ n ≥ 2 时 , an= =4( ),Tn= < 2 n ?1 n ? 2 n?2 2 (n ? 1)(n ? 2)

λ>

4 n?4? 4 n

,而

4 n?4? 4 n



4 2 n 4 ?4 n

=

1 ,等号成立当且仅当 n=2,?λ>1/2 2

向量与三角 1 ,将原式左边分子分母同时除以 cos α,得出

a tan ? ? b =tan β =tan (α + π /6 ) a ? b tan ?

=

3 tan? ? 1 3 ? tan?

,a= 3 ,b=1。选 B

2(文)原式为 CB 〃 ( AB ? AC )=0,从而 CB 垂直其中线,选 A (理)取 BD 的中点 D,由已知 OA =-2( OB + OC )=-4 OD ,A、O、D 共线且|OA|=4|OD|,
1

SABC:SABOC=SABC:(SABC-SBOC)= 2

| BC || AD | sin ?ADC

=5/4,选 C

1 | BC || AO | sin ?ADC 2

- 38 -

3, 曲线可以转化为 y=cos2x 与 y=1/2 的交点横坐标 xn 为 nπ±

? 的从小到大的顺序排 6

列的正数数列,其中偶数项是以 5π/6 为首项、π为公差的等差数列,|P2P2n|=|x2n-x2|,选 C 4,4 与-2 的平均数为 N=1,最大小于 4、最小值大于-2,可得 M>3,选 A 5,θ∈(-π/4,0),选 C 6(文)0<θ≤π/3,从而 1/2≤cosθ<1,选 A (理)3m=-lnx∈[-1,1],选 B 7 ( 文 ) 由 PA = λ AB 得 OA - OP = λ ( OB - OA ) , OP = ( λ +1 ) OA - λ

OB =m OA /2+n OB , m=2(λ+1),n=-λ,消去λ选 C
(理)由 sinA+cosA>0 知 A<3π/4,tanA-sinA<0 知 A>π/2,选 C 8,化简 y=( 3 -

1 )sin2x+1/2,选 B 2 3 3 4 CF= DF, AH = AF ,选 B 2 2 5

9,过 E 作 EG∥BA 交 AF 于 G,EG= 10,f(x)=cosx,g(x)=sinx,选 D

11, OP =t OB +(1-t) OA =(a-ta,ta),|OP|= 2t 2 ? 2t ? 1 a,选 t=0 或 1 时|OP|最大,选 D 12,平方相加化简得 sin(A+B)=1/2,但 A+B=π/6 时,A、B 都小于π/6 两个已知式都不 成立,故选 A 13, P0 P = ( t,t) , P0 Q0 =( -1 , -3 ) , PQ = PP 0 ?P 0 Q0 ? Q0 Q =(2t-1,t-3),1-2t-3t+9=0, 填2秒 14(文)r=

4 sin A cos A =sinA+cosA-1,rmax= 2 -1,填(3-2 2 )π 2(1 ? sin A ? cos A)

(理) (4+xB,yB)=(2x,2y),xB=2x-4,yB=2y 代入 x2+y2=4 得(x-2)2+y2=1.
? 15,设 ? a =(h,k),则 y=2x 沿 a 平移后得到 y-k=2(x-h)即 y=2x+k-2h,只要 k-2h=6,填①②③

④ 16(文)如图,过 B 作 BD⊥AC 于 D,则 acosC=CD,ccosA=AD,填 b
B

C

D

A

(理)b=fmax(x)=1,a=fmin(x)=-

2 2 ,填 12 2

17,(文)|AB|=c=8,sin(A-B)=0,A=B,ABC 是等边三角形,面积 S=16 3 (理)⑴bcosC=(3a-c)cosB ? sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB ? sin(B+C)=3sinAcosB=sinA,

- 39 -

cosB=1/3, sinB= 1 ? cos2 B = 2 2
3

⑵b2=a2+c2-2accosB=2a2(1-cosB),a2=c2=24, S= 18,(文)⑴f(x)=4sin( [4kπ-

3? ? ,4kπ+ ] 2 2

x ? ? ) 分母不为 0 得定义域为{x|x≠2kπ+π/2,k∈Z},增区间为 2 4
⑵图略

1 acsinB=8 2 2

(理)⑴A=300,T=1/75,I=300(sin150π+π/6) ⑵T≤1/150,ω≥300π,ωmin=943 19,ca.cos(π-B)=3bc.cos(π-A),ab.cos(π-C)=2bc.cos(π-A),3tanB=3tanC=tanA,

5 tan A tan B ? tan C 3 ? tan A 3 6 tanA=-tan(B+C)= = = ,tanA= 11 ,cosA= 2 2 tan B tan C ? 1 tan A tan ? 6 6 ?1 6
20,⑴S1= ⑵S1/S2=

1 2 2 a 2 sin 2 2? a sin 2θ,正方形边长为 x,xcotθ+xtanθ=a,S2= 4 4 ? 4 sin 2? ? sin 2 2?

1 4 1 4 ( +sin2θ+4),设 sin2θ=t∈ ?0,1? ,y=S1/S2= (t+ +4)↓,t=1 时,最小, 4 sin 2? 4 4

此时θ=π/4 21 ⑴ 设 |PA|+|PB|=2a ( a>
2

3 ) ,E:

x2 y2 + =1 , 设 |PA|=m,|PB|=n,cos θ a2 a2 ? 3

2 2 2 2a ? 6 = m ? n ? 12 = 2a ? 6 -1≥ -1=1-6/a2,m=n 时等号成立,此时 a2=4,E:x2+4y2=4 a2 mn 2m n

⑵MN:y=k(x- 3 )代入 E 方程得(1+4k2)x2+8 3 k2x+12k2-4=0, mn=4- 3 (x1+x2)+

3 45 x1x2=……=4+33/4是 k2 的增函数,当 k=0 时,mn 最小=1 4 4(4k 2 ? 1)

? ? ? ? |= cos ≧θ1、 ∈(0,π) ? =θ1, 2 2 2 2 ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? 同 理 cos θ 2=cos( ? ? ), θ 2= ? ? , θ 1- θ 2= + = , =, 2 2 2 2 2 2 2 6 3 ??? sin =-1/2 4
22(文)cosθ1=|cos ⑴设 n=(x,y),x+y=1,x2+y2=1,n=(-1,0)或(0,-1) ⑵n=(0,-1),A+C=π-B=2π/3,|p+n|2= cos2A+cos2 C =1+

? 2 5? 1 ?1 5 ? ? , cos(2A+π/3)∈ ? , ? ,|n+p|∈ ? ? 2 ?2 4 ? ? 2 2 ?
计数原理、二项式定理、概率统计

2 1,10 双中取两双成对有 C 10 种方法,余下的鞋必不成对有 16×14×12×10/4! ,选 A

- 40 -

2, (文)y=0 时,不含 y,(1-3x)n 系数和为 x=1 时的值,选 C ( 理 ) x=0 时 为 系 数 和 26 , x=-2 时 为 奇 数 项 与 偶 数 项 系 数 差 ( -2 ) 6 , 所 求 为 [26+(-2)6-2a0]/2=26-a0,a0 即 x=-1 时的值 1,选 C
4 4 3 2 3,C 3 4 p (1-p)+C 4 p >p 选 B

1 3 C3 A3 4, 或 1-3!/4!选 C 4 A4

2 3 5,C 3 ×0.052×0.95+C 3 3 ×0.05 =0.00725 选 C 2 3 3 6,(文)三个数中有一个或三个奇数(C 1 5 C4 ? C5 )/C 9 选 D

(理)pk=pk,选 C 7,推理选 C 8, (文)分层抽样 40:500=2000:x,选 D (理)根据概率和为 1 求出 x=1/18,所求为 40x 选 C
2 9, 由已知既会独唱又能跳舞的有 2 人, 这样仅有 1 人只会独唱设为 a。 a 当选时有 C 5 =10 2 种方法;a 不当选时需从既会独唱又能跳舞的有 2 人中选人独唱,此二人选一人有 C 2 C 3 =6
1

种方法,二人均当选有 3 种方法, (10+6+3)/C 3 6 ,选 D 10(文)第五次取出最后一件次品,前四次测出三件次品、一件正品 4×5×4!选 C
2 (理)含 0 时,0 占末位 C 9 ,不含 0 时可增可减有 2C 3 9 种方法,相加选 C

11,n=1 时举例可得选 C;[方法二]P(甲正 ? 乙正 )=P(甲反≤乙反)=P(甲正>乙正) ,选 C 12,lnx=1 时,可以解得 n=7,从而选 C 13, (文)以 9 点为原点,两人到的时间分别为 x,y 分,则|x-y|≤20,0≤x,y≤60

y A 60 D

20 C -20 B -20
20

60

x

其概率 P=阴影面积/ABCD 面积=5/9 (理)P=(6+2x+y)/36,x,y 为 0 到 6 之间的自然数,x+y≤6,x=6,y=0 时 2x+y 最大,A 中放 6 个红球 14(文)①②③④ (理)左右移动是对称的。期望值为 0 15,常数项为第 5 项,a=±2,系数和为 1 或 38
- 41 -

16(文)第一行第一列为 1,第三行第三列为 9,第二行第一列与第一行第二列的数 2 或 3 可以互换,余下的随意填,2!×3!=12 种方法 (理)列举法 10 17(文)⑴P1=2/3,P2=(2/3)2+1/3=7/9 ⑵分两类,第一类先按 a 平移概率为 2Pn+1/3, 第 二 类 先 按 b 平 移 概 率 为 Pn/3 , ? Pn+2=Pn/3+2Pn+1/3 ,Pn+2-Pn+1=-(Pn+1-Pn)/3 ⑶ 迭 加 Pn=3/4+(-1/3)n/4
5 ( 理 ) ⑴ 1-1/32-C 1 5 (1/2) =13/16

⑵ 设 为 n 次 , 1-(1/2)n-n(1/2)n>90%,(1+n)/2n<0.1, 数 列

{(1+n)/2n}↓,n 最小值为 7 18(文) (1)当乙连胜四局时,对阵情况如下:第一局:甲对乙,乙胜;第二局:乙对 丙, 乙胜; 第三局: 乙对甲, 乙胜; 第四局: 乙对丙, 乙胜. 所求概率为 P1 = (1? 0.4)2 × 0.5 = 0.3 =0.09? 乙连胜四局的概率为 0.09.
2 2

(2)丙连胜三局的对阵情况如下:第一

局:甲对乙,甲胜,或乙胜.当甲胜时,第二局:甲对丙,丙胜.第三局:丙对乙,丙胜; 第四局:丙对甲,丙胜.当乙胜时,第二局:乙对丙,丙胜;第三局:丙对甲,丙胜;第四

5 . 局: 丙对乙, 丙胜. 故丙三连胜的概率 P2 =0.4× 0.6 ×0.5+ (1-0.4) ×0
(理)⑴ ξ P 0 1-p 1 p

2

2

×0.6=0.162.

分布列为 Eξ=p,Dξ=p(1-p)≤1/4,p=1/2 时等号成立,Dξ最大值 为 1/4 ⑵

2 D? ? 1 =2p+1/p-2≥2 2 -2,p= 2 /2 时等号成立,最小 E?

值为 2 2 -2
3 19(文)⑴n<3 时不满足条件,n≥3 时(C 3 n +10+120)/C 20 =131/1140,n=3 3 ⑵1-C 17 /C 3 20 =23/57

(理)⑴投掷一次 P1=1/4,投掷二次回 A,有(1,3),(2,2),(3,1),P2=3×(1/4)2=3/16;投掷三次 回 A,有(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),P3=3×(1/4)3=3/64;投掷四次回 A 有 P4=(1/4)4=1/256 ? P1+P2+P3+P4=125/256 ⑵结果共 4,(1,3),(2,2),(3,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(1,1,1,1)八种情况,分布列为: ξ P 1 1/8 2 3/8 3 3/8 4 1/8

Eξ=2.5 20⑴(文)P(x≥6)=P(x=6)+P(x=7)+P(x=8)+P(x=9)=3/20+1/5+1/10+1/10=3/4 (理)分布列为 x P 4 1/10 5 3/20 6 3/20 7 2/5 8 1/10 9 1/10

Ex=13/2 ⑵P(x=4)+P(x=5)≤0.15,加的一条最大信息量为 3 时,有 8/35>0.15,不满足条件;增加的 最大信息量为 4 时,有(2+1+2)/35=1/7〈0.15 最少为 4
- 42 -

21⑴甲中 10 环 P1=1-0.15-0.2-0.3=0.35;乙中 8 环 P2=1-0.2-0.35-0.2=0.25 ⑵(文)P(甲 9 环之上)+P(乙 9 环之上)=(0.3+0.35)×(0.2+0.35)=0.3575 (理)E 甲=8.8,E 乙=8.1,甲好 22⑴P (A 中 10 元与 B 中 10 元互换) +P (A 中 5 元与 B 中 5 元互换) =(2+1)/(2×3)=1/2 ⑵(文)1-P(A 无 10 元)=1-1/6=5/6 (理)互换后 A 中的金额为 x 元 x P Ex=95/6 元 空间几何 1,B 2, (文)M 在 AB 垂直平分线上,MA=MB= 10 1/6 15 1/2 20 1/3

2 6 ,MG= MA2 ? AG2 = ,选 D 2 6 2 , 2
可求体

(理)EF⊥DE,EF∥AC?AC⊥DE,又 AC⊥BD?AC⊥面 ABCD,AB=AC=AD=

积选 B / / / / 2 2 3,过 P 作 PE⊥AD 于 E,过 E 作 EF⊥A D 于 F,则 PF⊥A D ,PF -PM =1,PE=PM,P 到点 M 的距离与到直线 AD 的距离相等,选 C 4(文)设 MN 的中点为 E,MN =4ME =4(OM -OE )=4[
2 2 2 2

a2 2 2 -(OP -PE )]=a2/2 选 D 4

(理)设球半径为 r,AQ=S,AB:EF=BC:FR,OA:OD=ER:FR,如图
A Q D O H E

G

B

F

R

C

?(2+2r+S):2=9.8:4.8,(r+S):r= 4.82 ? 22 :4.8,r=1 选 A 5, (文) cosα=cos∠(EF,BD)cos∠(BD,AB)≤cos450?α≥450, 同理β≥450?α+β≥900, 选C (理)作 EG∥AC 交 BC 于 G,则 CG:GB=AE:EB=λ=CF:FD,GF∥BD,∠GEF= α,∠GFE=β,α+β=π-∠EGF=π-∠(AC,BD)=π-π/2 选 C 6,SC 中点为 D,BD⊥平面 A/AC/C,∠BA/D 为 A/B 与平面 AA/C/C 的成角,sin∠ BA/D=BD:A/B< 7,D

3 ,?0<∠BA/D=π/3,选 C 2

- 43 -

8,A 在底面内射影不可能在三角形 BCD 之外,面积不可能大于

3 ,选 B 4

9,取 DD1 上的点 G,使 DG=CF,A1E⊥AF,由三垂线定理 A1E⊥AG,AE=DE=CF, 选C 10(文)V 求=V 柱-(VP-ABC+VP-A1B1C1)=V 柱-V 柱/3,选 A (理)V=1/3×1/2Sh,选 A 11,取 AN 的中点 S,则 PN2+PT2=TS2+SN2=TN2?PN⊥PT,又 PN⊥PC?PN⊥平面 CMP,选 D 12,设球心为 O,则 VA-BCD=4VO-BCD,h=4r,选 B 13,A1ABC 14(文)①③; (理)V=VQ-PEF=VC1-PEF,填常量 15(文)②③; (理)1/2 16, 已知高为 4, D 为 AB 的中点, 过 O 向 PD 作垂线, 垂足为 E, OE 即所求, [等体积法],VO-PBC=VP-BOC,解出填

4 17 ; 17

4 17 17

17⑴若 F 为 PD 的中点,证明 BE∥AF,BE∥平面 PAD ⑵证出 DE 是所求,过 P 作 PO⊥DC 于 O,PO⊥平面 ADC,∠PDC=1200,可求得 DE=1 18,取 AD 的中点 G,连结 VG,CG. (1)≧ △ADV 为正三角形,? VG⊥AD.又平面 VAD⊥平面 ABCD.AD 为交线, ? VG⊥平面 ABCD,则∠VCG 为 CV 与平面 ABCD 所成的 角 . 设

AD = a , 则 VG ?

3 a , DC ? 2a . 在 Rt △ GDC 中 , 2
在 Rt△VGC 中, tan ?VCG ?

GC ? DC 2 ? GD2 ? 2a 2 ?
?

a2 3 ? a. 4 2

VG 3 . ? GC 3

?VCG ? 30? .

即 VC 与 平 面 ABCD 成 30 ° .( 2 ) 连 结 GF , 则

GF ?

AG 2 ? AF 2 ?

3 a. 2



FC ? FB2 ? BC 2 ?

6 a. 2

在△GFC 中,

GC 2 ? GF 2 ? FC2 . ? GF⊥FC.

连结 VF,由 VG⊥平面 ABCD 知 VF⊥FC,则∠VFG

VG ? GF ? 即为二面角 V-FC-D 的平面角. 在 Rt△VFG 中,

3 a. ? ∠VFG=45°. 二 2

面角 V-FC-B 的度数为 135°. (3)设 B 到平面 VFC 的距离为 h,当 V 到平面 ABCD 的距离 是 3 时,即 VG=3. 此时 AD ? BC ? 2 3 , FB ?

6 , FC ? 3 2 ,VF ? 3 2 .?


1 1 S ?VFC ? VF ? FC ? 9 , S ?BFC ? FB ? BC ? 3 2 . 2 2 1 1 1 ?VG ? S ?FBC ? ? h ? S ?VFC .? ? 3 ? 3 2 ? 1 ? h ? 9 . 3 3 3 3
- 44 -

VV ?FCB ? VB?VCF , ?

?

h? 2

即 B 到面 VCF 的距离为 2 .

19, ⑴证出∠B1GB 即为所求, 为 arctan2 2 ; ⑵只要 D1M⊥B1E, 只要 A1M⊥B1E, B1M: MB=1;⑶过 D1 向 B1G 作垂线,垂足为 H,D1H 即为所求,为 4a/3; 20,⑴取 CC1 的中点 D,EF∥AC∥DG,则 EFDG 是平面图形,C1B∥DF,C1B∥平面 EFG;⑵取 A1C1 中点 H,∠FEH 即为所求,是 arccos

3 ;⑶[方法一]过 C 作 CK⊥DF 于 K, 6

CK 即为所求,

2 2 ;[方法二]等体积法 VA-EFG=VG-AEF,求出高为 2 2

21,⑴(文)设 G 为 AB 的中点,DE∥CG,DE∥平面 ABC (理)设 AB=a=AA1, AF⊥B1F,tan∠B1FB= 2 =tan∠CEF?∠B1FB+∠CFE=900,B1F⊥EF,B1F⊥平面 AEF ⑵(文)∠B1FB 为所求,为 arctan 2 (理)过 F 作 FH⊥AE 于 H,由三垂线定理,AE⊥B1H,∠B1HF 即为所求,为 arctan 5 ⑶VF-B1AE=VA-B1EF=a3/8 22,⑴y=

x2 ?1 x2 ? 5 x2 ? 2

(0≤x≤1);

⑵设 x 2 ? 1 =t,则 y=

t t ? 4 t ?1
2 2

=

1 4 t ? 2 ?5 t
2



1 2 2t ? 5 t

=1/3, 等号成立当且

仅当 t=2/t 即 x=1,ymax=1/3 ⑶V=1/3 解析几何 1, kAC≤a≤kCB,选 B; 2,|x|/5+|y|/9=1 在椭圆 x2/25+y2/9=1 内部或边界,选 C; 3, (文)S 为点(-1,1)到可行域内点距离平方的最小值,即到直线 x-y=0 的距离平方, 选B (理)MN⊥直线 x+y=0,圆心在直线 x+y=0 上,k=1,m=-1,选 D 4,交点 ?

? m ? 1 m ?1? , ? 在正方形|x|<1,|y|<1 内部,选 D 2 ? ? 2

5(文)e1=1/(cos300+sin300),e2=1/(cos300-sin300),选 A (理)e1= 3 +1=e3,e2=

10 ? 2 ,选 C 2

6,圆至少覆盖 f(x)的半个周期,|k|≥ 3 ?
- 45 -

k2 ,选 B 4

7(文)将 l 向右平移 1/2 个单位得 l/,有|AO|=A 到 l/的距离,选 C (理)|OP|+|PF|=|PO|+|PM|=r 选 A 8, (文)设左焦点为 F1,PF 的中点为 C,则圆心距|OC|=|PF1|/2=(|PF|+2a)/2=|PF|/2+a 选 B ( 理
P E F



|PF1|-|PF2|=2a=|PE|+|EF1|-(|PF|+|FF2|)=|F1D|-|PF2|=x+c-(c-x)



A

D F1 第8 题理 科图

F2

9,各段最高作为其图象,选 B 10,l 是抛物线 PQ 的准线,A 为焦点,过 B 向 l 作垂线,垂线段最短,选 C 11, (文)设 P(x,y),原式=

2e | x | x2 ? y2

选D

(理)12×11/2+6 选 B 12,900<θ<1350,选 B 13,曲线 y2=x-5(y≥0)与 y=kx+2 无公共点,作图 k>1/10 或 k<2/5 14(文)d=

4
2 x0 ? y 0 2

<2,相交

(理)x2-4xtan

?t +4=0,△=0,3 秒 12

15,loga8>9 时,9/loga8=3/4,a= 4 2 ; o<loga8<9 时, loga8/9=3/4,a= 9 16
2 2 16,|CP|=|PB|= r ? | OP | ,方程为 2x2+2y2-2cx+c2-r2=0

17,⑴设 C(x,y),x≠0 则 G(x/3,y/3),M(x/3,0),|MA|=|MC|,x2/3+y2=1(x≠0) ⑵设 L:y=kx+m 代入椭圆方程得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0,△>0 得 3k2>m2-1①

6km 3km m ,PQ 的中点为(),A 在 PQ 的垂直平分线上,所以: 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 2 m 1 3km -1=- (0+ )代入①得-1<k<1 2 k 1 ? 3k 1 ? 3k 2
x1+x2=18,⑴设 M(x1,y1),N(x1,-y1) x12-2y12=2 A1M:

y 0 x0 ? 2 = y1 x1 ? 2

①A2N:-

y 0 x0 ? 2 = ② y1 x1 ? 2

①×②得:

y0

2 2

? y1

=

x0 ? 2 x1 ? 2
2

2

=

x0 ? 2 2 y1
2

2

?2y02+x02=2 定值

⑵l:y-y0=-

x0 2 2 2 (x-x0),x0x+2y0y-2=0,d=2/ x0 ? 4 y 0 = ,y0=1 时 dmin=1 2 2 y0 1 ? y0
- 46 -

19(1)双曲线 C 的右准线 l 的方程为:x=

b a2 ,两条渐近线方程为: y ? ? x . a c

?

两交点坐标为

P(

ab ab a2 a2 ). , ) 、 Q( , ? c c c c



△PFQ 为等边三角形,则有 | MF |?

3 a2 3 ab ab .? c ? | PQ | (如图) ? ?( ? ) , 2 c 2 c c



c c2 ? a2 3ab 解得 b ? 3a ,c=2a.? e ? ? 2 . ? a c c
(2)由(1)得双曲线 C 的方程为把

x2 y2 ? ? 1 . 把 y ? ax ? 3a 代 入 得 a 2 3a 2

2 ? ?a ? 3 ? 0, 2 ? a ?6 ,且 (a ? 3) x ? 2 3a x ? 6a ? 0 . 依 题 意 ? 4 2 2 ? ?? ? 12a ? 24(a ? 3)a ? 0

2

2

2

2

a 2 ? 3 .?双曲线 C 被直线 y=ax+b 截得的弦长为 l ? (1 ? a 2 )

12 a 4 ? 24(a 2 ? 1)a 2 ≧ (a 2 ? 3) 2

b 2c 2 72a 2 ? 12a 4 4 2 2 2 l? ? 12a .? 144a ? (1 ? a ) ? .整理得 13a ? 77a ? 102 ? 0 . 2 2 a (a ? 3)
51 x2 y2 13x 2 13y 2 ? ?1或 ? ? 1. ? a ? 2或a ? .?双曲线 C 的方程为: 13 2 6 51 153
2
2

(文) (1)设 B 点的坐标为(0, y0 ) ,则 C 点坐标为(0, y0 +2) (-3≤ y0 ≤1) , 则 BC 边的垂直平分线为 y = y0 + 1 ① y?

y0 3 3 ? (x ? ) 2 y0 2

②由①②消去 y0 ,得

y 2 ? 6x ? 8 .≧ ? 3 ? y0 ? 1 ,? ? 2 ? y ? y0 ? 1 ? 2 .故所求的△ABC 外心的轨迹方程为: y 2 ? 6 x ? 8(?2 ? y ? 2) .
(2)将 y ? 3x ? b 代入 y ? 6x ? 8 得 9 x ? 6(b ?1) x ? b ? 8 ? 0 .由 y ? 6 x ? 8 及
2 2 2 2

- 47 -

?2? y ? 2 , 得

4 4 ?x?2 . 所 以 方 程①在 区 间 [ , 2 ] 有 两 个 实根 . 设 3 3 4 f ( x) ? 9x 2 ? 6(b ?1) x ? b2 ? 8 ,则方程③在 [ , 2 ] 上有两个不等实根的充要条件是: 3
?3

?? ? [6(b ? 1)]2 ? 4 ? 9(b 2 ? 8) ? 0, ? ? f ( 4 ) ? 9 ? ( 4 ) 2 ? 6(b ? 1) ? 4 ? b 2 ? 8 ? 0, 得?4 ? b ? ? 3 3 3 ? 2 2 ? f (2) ? 9 ? 2 ? 6(b ? 1) ? 2 ? b ? 8 ? 0, ? 4 ? 6(b ? 1) ? 2. ? ? 2?9 ?3

2 2 ≧ | x ? x |? [ 2 (b ? 1)]2 ? 4 ? b ? 8 ? 2 ? 2b ? 7 ? | EF |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 2

3

9

3

2 10 ? ? 2b ? 7 3

又原点到直线 l 的距离为 d ?

|b| , 10

1 1 1 ? | EF | ? 20 ? 2b ? 7 ? 20 ? 7 ? 2 ? 20 ? 7( 1 ? 1 ) 2 ? 1 ≧ ? 4 ? b ? ?3 ,? ? ? ? ? . 2 2
d 3 b 3 b b 3 b 7 7

3

b

4

?当

1 1 EF 5 ? ? ,即 b ? ?4 时, | |max ? . b 4 d 3

20,⑴AB:y=k(x-1)(k≠0),M(

k2 ? 2 2 ,2/k),y =2x-2(y≠0) 2 k

|3
⑵d=

k2 ? 2 2 ?4 ?m| 2 k k =1/5,0<1/k<1/2 得-9/2<m<-2 5
①由 x1 x2

21⑴设 AB 方程为 y=kx+m 代入 x2=2py 得 x 2 ? 2 pkx ? 2 pm ? 0
-2pm=-p2∴2m=p,即 m ? ⑵(文)设 |

? ? p2 得

p 2
2t ? t (2t ? t ) 2 ? t 2 ? 2 故 AB 方 4

AA1 |?| AM |? t ,则 | BB1 |?| BM |? 2t ∴ tan ? ?

程为 y ?

2 p x? 4 2

p y1 ? | AA1 | tan ? ? x1 ? p 2 ? ? ? (理) ? ? 由①得 p tan ? ? x2 ? p MB | BB1 | y ? 2 2 AM

sec? ? tan? 1 ? sin? x1 ? p tan? ? p sec? x2 ? p tan? ? p sec? ? ? tan ? ( p tan ? ? p sec? ) ? p ? ? tan ? ( p tan ? ? p sec? ) ? p sec? ? tan? 1 ? sin?
22, (文)⑴以 O 为原点, OA 为 x 轴正方向,建立直角坐标系,

- 48 -

A(1,0),M(x,y),x-1=a,

( x ? 1) 2 ? y 2

-x+1=2,y2=4x

⑵kOFKOE=-2,OE:y=kx,E(4/k2,4/k),F(k2,-2k),EF:y+2k=2k(x-k2)/(2-k2)恒过(2,0)点 (理)⑴P(x,y),

PF1 ? PF2 =x2+y2-c2=c2x2/a2+b2-c2,当 x2=a2 时,c2≤b2≤3c2,1/2≤e≤ 2 /2

⑵e=1/2,C2:3x2-y2=3c2,A(2c,0),B(x0,y0)( x0,y0>0),AB⊥x 轴时,λ =2,猜想λ =2;x0≠2c 时 tan∠BAF1=-

y0 y0 ,tan∠BF1A= ,由倍角公式得出结论,存在λ x0 ? 2c x0 ? c

=2 满足条件

- 49 -


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