当前位置:首页 >> 数学 >>

三垂线定理及逆定理


三垂线定理及逆定理

练:1、已知平面α内有一个点M(1, -1, 2),平面α的一个法向量是

? 则下列点P中在平面α内的是( n )
A.P(2, 3, 3) C.P(-4, 4, 0)

=(6,-3, 6),

B.P(-2, 0, 1) A D.P(3,-3, 4)


练:1、已知平面α内有一个点M(1, -1, 2),平面 α的一个法向量是 在平面α内的是( A.P(2, 3, 3) C.P(-4, 4, 0) 的法向量为(1, =(6,-3, 6),则下列点P中 ) A B.P(-2, 0, 1) D.P(3,-3, 4)

2、已知l//α,且l的方向向量为(2, m, 1),平面α

1 , 2), 则m= 2

-8 .

3、已知l⊥α,且l的方向向量为(2, 1, m),
1 平面α的法向量为(1, 2 , 2), 则m=

4

.

求平面法向量的步骤: ? ⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z ) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 ? ? 坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 ? ? ?n ? a ? 0 ? 组 ?? ? 待定系数法 并解方程组 ?n ? b ? 0 ?

(4)取其中的一个解,即得法向量.

斜线



PA是平面α的斜线, A为斜足;
垂线

PO是平面α的垂线, O为垂足; AO是PA在平面α内的射影.





a

?
斜线在平面上的射影

如果a α, a⊥AO,

思考a与PA的位置关
系如何?

什么叫平面的斜线、垂线、射影?
1

PA 已知:如图, PO 、 分别是平面 ? 的垂线、斜线, AO 是 PA 在平面 ? 内的射影,l ? ? , l ? OA , 且 求证:l ? PA

分析: 用向量来证明两直线垂直, 只需证明两直线的方向 向量的数量积为零即可!

? ??? ? ? 证明:在直线l上取向量 a ,只要证 a ? PA ? 0 ? ??? ? ? ??? ? ?a ? PO ? 0 , a ? OA ? 0 ? ??? ? ??? ??? ? ? ? ?P ? a ? PA ? a ? ( PO ? OA) ? ? ??? ? ??? ? ? O? ?A a ? a ? PO ? a ? OA l ? ?0 ? ??? ? ? a ? PA, 即l ? PA . 适当取向量尝试看看!

三垂线定理

三垂线定理:在平面内的一条直线,如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也 和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理:

在平面内的一条直线,如果和这个平面的 一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂 直。
P
a α o

A

三垂线定理

对三垂线定理的说明:

PO(斜线)、AO(射 影)与a(平面内一直线)

1、三垂线定理及逆定理描述的是哪三线之 间的垂直关系? 2、直线a不在平面内时,定理成立吗? 3、三垂线定理的图形是由“几线几面”组成 的?
垂线、斜线、射影、面内一线、平面

4、三垂线定理及逆定理发生的前提条件是什

么?

线面垂直

三垂线定理

对三垂线定理的说明:
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 影)与a(平面内一直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交,也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。 4、三垂线定理的图形是由“四线一面”五 个部件组成——垂线、斜线、射影、面内一线、 平面

关于三垂线定的应用:关键是找出平面(基准面)
及垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的,因而是第 二位的。

第一、定平面(基准面) 第二、找平面垂线(电线杆)
第三、看斜线,射影可见 第四、平面内一直线a与斜线、射影中一者垂直,可得 a与另一者也垂直

强调:1°四线是相对同一个平面而言。
2°定理的关键是找“基准面”和“电线 杆”。

三垂线定的作用:用来证线线垂直 (例:课后巩固1)

???? ? 例.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求证: DB1 是 平面 ACD1 的一个法向量.

变式:求证:

DB1 ? 平面ACD1
证:设正方体棱长为 1, 以 D 为坐标原点 O 建立空间直角坐标系 ??? ???? ???? ? ? [O; DA, DC , DD1 ],如图所示,则 ??? ? ???? ? DB1 ? (1,1,1) , AC ? (?1,1,0) , ???? ? AD1 ? (?1,0,1) ???? ??? ? ? ???? ??? ? ? DB1 ? AC ? 0 ,所以 DB1 ? AC , ???? ???? ? ? 同理 DB1 ? AD1 又因为 AD1 ? AC ? A ???? ? ???? ? 所以 DB1 ? 平面 ACD1 ,从而 DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.

课后巩固 3: ⑴在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中 , E 、F 分别是 BB1 、 的中点, CD 求证: D1F ? 平面ADE

D1 A1 D A F B B1 E

C1

C

练习.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中 , E 、F 分别是 BB1 、 的中点,求证: D1F ? 平面ADE . CD z 证明: 设正方体的棱长为1,

? AD ? D1F . 又 AE ? (0,1, ), 2 ??? ???? ? ? 1 1
2 2

??? ? ???? ? 1 则 AD ? ( ?1,0,0), D1F ? (0, , ?1), ??? ???? ? ? 1 2 AD ? D1F ? (?1,0,0) ? (0, , ?1) ? 0. ??? ???? ? ? ??? 2 1 ?

建立如图的空间直角坐标系

??? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ? DA ? i , DC ? j , DD1 ? k .

D1

C1 B1

A1 D A

E F
B C

y

x

??? ???? ? ? AE ? D1 F ? (0,1, ) ? (0, , ?1) ? 0. ? AE ? D1F .

又A D ? A E= A , D1F ? 平面ADE . ?
另证 : 可以用三垂线定理证D 1F ? AD, AE ? AD得证.

小结
1.直线与平面垂直的定义 2. 平面的法向量: 3. 平面的向量表示: 4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件

5.求平面法向量的方法:
6.有关平面的斜线概念, 三垂线定理及其逆定理 P104

巩固性训练1
1.设

a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直

列条件,判断l1,l2的位置关系.

(1)a ? (2,?1,?2), b ? (6,?3,?6) (2)a ? (1,2,?2), b ? (?2,3,2) (3)a ? (0,0,1), b ? (0,0,?3)

平行

巩固性训练2
1.设

u, v

分别是平面α,β的法向量,根据

下列条件,判断α,β的位置关系.

(1)u ? (?2,2,5), v ? (6,?4,4) (2)u ? (1,2,?2), v ? (?2,?4,4) (3)u ? (2,?3,5), v ? (?3,1,?4)

垂直 平行

相交

巩固性训练3
1、设平面 ? 的法向量为(1,2,-2),平面 ? 的法向量为 (-2,-4,k),若 ? // ? ,则k= ;若 ? ? ? 则 k= 。 2、已知 l // ? ,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 ? 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 ? 的法向量为 (1,1/2,2),且 l ? ? ,则m= .

4、已知空间四边形OABC,OB ? OC, ?AOB ? ?AOC ? ?,求证:OA ? BC
??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? 证明:因为OA?BC ? OA?(OC ? OB ) ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? O ??????????????????????? ? OA?OC ? OA?OB ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ????????????????????? ?| OA | ? | OC | cos ? ? | OA | ? | OB | cos ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ????????????????????? ?| OA | ? | OB | cos ? ? | OA | ? | OB | cos ? C ????????????????????? ? 0
B

A

? OA ? BC

练习:用空间向量来解决下列题目
1.如图,正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, E为 DD?的中点, 证明:BD? //平面AEC
A?

D?

C?
B?

E
D

C

2、在正方体AC ?中,E、F、G、P、 Q、R分别是所在棱AB、BC、BB? A?D? 、D? C? 、DD?的中点, 求证:⑴平面PQR∥平面EFG。 ⑵ BD?⊥平面EFG

A
D? P A? R Q

B
C? B? G D F

C
E B

A

例.

在空间直角坐标系内,设平面 ? 经过

点 P( x0 , y 0 , z 0 ) ,平面 ? 的法向量为 e ? ( A, B, C),
M ( x, y, z ) 为平面 ? 内任意一点,求 x, y, z

满足的关系式。 ???? 解:由题意可得 PM ? ( x ? x0 , y ? y0 , z ? z0 ), e ? PM ? 0

即( A, B, C ) ? ( x ? x0 , y ? y0 , z ? z0 ) ? 0
化简得:A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? C ( z ? z0 ) ? 0


相关文章:
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理_高二数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档三垂线定理及其逆定理_高二数学_数学_高中教育_教育专区。 ...
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理_数学_高中教育_教育专区。三垂线定理及其逆定理【学习内容分析】“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。它是...
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理 知识点: 1.三垂线定理; ; 2.三垂线定理的逆定理; 3.综合应用; 教学过程: 1.三垂线定理:平面内一条直线,如果和这个平面的一条斜线在...
《三垂线定理及其逆定理》教案
三垂线定理及其逆定理板 书设计一、温故知新 二、定理探索 三、定理证明 四、定理分析 五、例题分析 六、课内联系 七、知识总结 八、作业设计 教后 学记 ...
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理_数学_高中教育_教育专区。习题三垂线定理及其逆定理习题课 1.已知 P 是平面 ABC 外一点, PA ? ABC, AC ? BC 。 求证: PC ? BC ...
《三垂线定理及其逆定理(应用)》教案及说明
教案:三垂线定理及其逆定理(复习课) (教材:人教版全日制普通高级中学(必修)数学第二册(下 A) ) 课题:三垂线定理及其逆定理(复习课) 教学目的: 1、知识目标:...
三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀
三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀_高一数学_数学_高中教育_教育专区。三垂线定理及逆定理 中小学教育资源交流中心 http://www.k12zy.com 提供 三垂线定理及...
三垂线定理及其逆定理 导学案
总课时数 主备人 课题名称 1 科目 丁恩安 高一数学 使用时间 2014.5.14 李文祥 使用人 丁恩安 王生峻 三垂线定理及其逆定理 学习目标 1、通过导学了解三垂线...
第一章直线和平面 三垂线定理及其逆定理的练习
高中立体几何教案 第一章 直线和平面 三垂线定理及其逆定理的练习课之二教案 教学目标 1.进一步理解、巩固并应用三垂线定理及其逆定理; 2.应用上一节课上所讲的...
更多相关标签:
三垂线定理及其逆定理 | 三垂线定理的逆定理 | 三垂线定理逆定理 | 三垂线定理 | 三垂线定理求二面角 | 三垂线定理的应用 | 三垂线定理ppt | 三垂线定理证明 |