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湖南省师大附中2013届高三第6次月考数学文试题


湖南师大附中 2013 届高三月考试卷(六) 数学(文科)
命题:湖南师大附中高三数学备课组
(考试范围:高中文科数学全部内容)

一.选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
2 4 1.已知集合 M ? y y ? i (i 为虚数单位) N ? y y ? x ,x ? R ,则 M ? N ? (C) ,

?

?

?

?

A. (0, ?) ?

B.

? ?0, ??

C. (1 ? ?) ,

D. ?1 ? ?? ,

解析:? M ? y y ? 1 , N ? y y ? 0 ,? M ? N ? y y ? 1 ,选 C. 2.设命题 p: m ? 7 ,命题 q:函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 9(m ? R) 有零点,则 p 是 q 的 (A) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件,
2

?

?

?

?

?

?

解析:函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 9(m ? R) 有零点,则 ? ? m ? 36 ? 0 ,即 m ? 6 或 m ? ?6 ,显然, P 可以推出 q,而 q 不能推出 P,故选 A. 3.曲线 y ? lg x 在 x ? 1 处的切线的斜率是 (A) D. ?

A.

1 ln10
'

B. ln10

C. ? lg e

1 lg e

1 1 1 ' ,? y x ?1 ? ,即切线的斜率为 ,选 A. x?ln10 ln10 ln10 ? 1 ? 4.若 sin( ? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) 的值为 (B) 6 3 3
解析:? y ? A. ?

1 3

B.

1 3

C.

2 2 2

D. ?

2 2 3

解析: cos(

?

? 1 ?? ? ? ? ? ) ? cos ? ? ( ? ? ) ? ? sin( ? ? ) ? ,选 B. 3 6 3 ?2 6 ?
(C)

5.若 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S8 ? S3 ? 10 ,则 S11 ? A.12 B.18 C.22 D.44

8? 7 3? 2 d ? (3a1 ? d ) ? 10 ,即 a1 ? 5d ? 2 , 解析:? S8 ? S3 ? 10 ,? 8a1 ? 2 2 (a ? a 1 1)? 1 1 ? S1 1 ? 1 ? 1 1 6? 1 ? a (? d 5? ) ,故选 C. a 1 1 22 2 6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45? ,腰和上底均为 1 的等腰梯形,则

原平面图形的面积为 A.

(D)

1 2 ? 2 2

B. 1 ?

2 2

y

C. 1 ? 2

D. 2 ? 2

45?
解析:原图形是上底为 1,下底为 1 ? 2 ,高为 2 的直角梯形. 0 45 x

? S原 ?

(1 ? 1 ? 2) ? 2 ? 2 ? 2 .选 D. 2

7.已知点 P( x,y ) 的可行域是如图阴影部分(含边界) ,若目标函数 z ? 2 x ? ay 取得最小值的最 优解有无数个,则 a 的取值为 (C) A. ?2 B.0 C.6 D.8 解析:①当 a ? 0 时, z ? 2 x 的最小值在点 B 处取得,故舍去; ②当 a ? 0 时,有 y ? y C(4,2)

A (1,1)

B (5,1) x

2 z 0 x? , a a 2 1 ? (i ) 当 a ? 0 时, ? 0, ? 0 , z ? 2 x ? ay 只在点 A 处取得最小值,故舍去; a a 2 1 2 2 ?1 ? ? a ? 6 时,目标函数 z ? 2 x ? ay 在线段 (ii ) 当 a ? 0 时, ? 0, ? 0 ,若 ? k AC ? a a a 4 ?1 AC 上的所有点处都取得最小值,? a ? 6 ,选 C.
8.如图所示,A、B、C 是圆 O 上的三点,线段 CO 的延长线与线 段 BA 的延长线交于圆 O 外的一点 D,若 OC ? mOA ? nOB , 则 m ? n 的取值范围是 (D) C

??? ?

??? ?

??? ?

·
B

O

D A

1) A. (0,
? C. (??, 1)

, B. (1 ? ?)

, D. (?1 0)

O 解析: 线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线的交点为 D, O ?C 则 D t ?

? ? ? ?

? , D 在圆外, t ? ?1 , ?

C O ?B 又 D、A、B 共线,故存在 ?、? ,使得 OD ? ?OA ? ?OB ,且 ? ? ? ? 1 ,又 O ?m A nO

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?



??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 0) ?tmOA ? tnOB ? ?OA ? ?OB .? m ? n ? ,? m ? n ? (?1, .选 D. t
9.在计算机语言中有一种函数 y=int(x)叫做取整函数(也叫高斯函数) ,它表示不超过 x 的最 大整数,如 int(0.9)=0,int(3.14)=3,已知
? ? ? ? ? ? 1 10n ? 0.1 4 2 8 5 7 . 令 a n ? int( ), b1 ? a1 , 令当 7 7

n>1



,

bn ? an ? 10an?1 (n ? N*),





n>1

时 D. 2

,



b2013 ?

( D ) A. 2009 B. 1 C. 2010 解析:由题意可知, n, an , bn 地对应情况如下表: n

an bn

1 1 1

2 14 4

3 142 2

4 1428 8

5 14285 5

6 142857 7

7 1428571 1

8 14285714 4

9 142857142 2

… … …

观察上表可知: {bn } 是一个周期为 6 的周期函数,所以 b2013 ? b335?6?3 ? b3 ? 2, 故选 D. 二.填空题:本大题共 7 个小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡 中对应题号后的横线上. (一)选做题:从下列两题中任意选做一题,若两题全做,则只按第 9 题记分. 10.在直角坐标系 xoy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知射线 ? ? 与曲线 ?

?

4

?x ? t ?1 ? y ? (t ? 1)
2

(t 为参数)相交于 A、B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为 ( , )

5 5 2 2

解 析 : 记 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , 将 ? ?

?
4

转 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 y ? x( x? 0) , 曲 线 为

y ? ( x ? 2)2 ,联立上述两个方程得 x2 ? 5x ? 4 ? 0 ,故 x1 ? x2 ? 5 ,? 线段 AB 的中点坐标为
5 5 ( ,). 2 2
11. (优选法与试验设计初步) 0.618 法寻找实验的最优加入量时, 用 若当前存优范围是 ?628, ? , 774 好点是 718,则此时要做试验的加入点值是 684 . 解析:此时要做实验的加入点的值是 628 ? 774 ? 718 ? 684 . (二)必做题(11~16 题) 12.在区间 ? ??,? ? 内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函数 f ( x) ? 4 x ? 4ax ? b ? ? 有零
2 2 2

点的概率为 1 ?

? 4
2 2 2

2 2 2 解析:若使函数有零点,必须满足 ? ? (4a) ?16(?b ? ? ) ? 0 ,即 a ? b ? ? ,于是函数有

?? 2 ? ? ? 1? . 零点的概率为 1 ? 2 4? 4
13.由“半径为 R 的圆的内接矩形中,以正方形的面积为最大,最大值为 2R2”,类比猜想关于球的 相应命题为: __________________________________________________ 解析:半径为 R 的球的内接长方体中以正方体的体积为最大,最大值为

8 3 3 R 9

14. 直线 l 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F,且交抛物线于 P、Q 两点,由 P、Q 分别向准线 引垂线 PR、QS,垂足分别为 R、S,如果|PF|=a,|QF|=b,M 为 RS 的中点,则|MF|= ___________

1 1 RS ? (a ? b) 2 ? (a ? b) 2 ? ab . 2 2 1 cos 15.在 ?ABC 中,已知 AB ? 4, B ? ,角 B 的平分线 BD 交 AC 于点 D,且 BD ? 6 ,则 3
解析: 易证明 ?RFS ? 90?, 故 MF ?

sin A ?

3 . 3
B s : ?c o ?
2 A ?B





1 3



? cos

B 6 ? 2 3



sin

B 3 ? 2 3





?ABD





A 2D ?

B 22 B ? D ? c A B, ? AD ? 6 , 又 BD ? 6 , ??A ? ?ABD , ? o s ? 6 B D 2

? sin A ? sin

B 3 . ? 2 3

16. 设函数 f ( x) ? x ? a ? ax, 其中 a 为常数若函数 f (x) 存在最小值的充要条件是 a ? A, 则 (1)集合 A ? _______;(2)当 a ? A 时,函数 f (x) 的最小值为_________. 解析: (1) [?1,1] 当 x ? a 时, f ( x) ? (1 ? a) x ? a; 当 x ? a 时, f ( x) ? a ? (1 ? a) x; 要使

f (x) 有最小值,需满足 1 ? a ? 0, 即 ? 1 ? a ? 1 时, f (x) 存在最小值.
(2) ? a
2

当 x ? a 时, (2) f (x) 取得最小值 ? a .
2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)汽车是碳排放量比较大的行业之一.欧盟规定,从 2012 年开始,将对 CO2 排放量超过 130g/km 的 M1 型新车进行惩罚(视为排放量超标) .某检测单位对甲、乙两 M1 型品牌车各抽取 5 辆进行 CO2 排放量检测,记录如下(单位:g/km)

经测算发现,乙品牌 CO2 排放量的平均值为 X 乙=120g/km. (1)从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆,则 CO2 排放量都不超标的概率是多少? (2)若 80<x<130,试比较甲、乙两类品牌车 CO2 排放量的稳定性. 解析: (1)从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆,共有 10 种不同的 CO2 排放量结果: (80,110)(80,120)(80,140)(80,150)(110,120)(110,140)(110,150) ; ; ; ; ; ; ; (120,140)(120,150)(140,150) ; ; ,…………………………………3 分 设“CO2 排放量都不超标”为事件 A, 则事件 A 包含以下 3 种不同的结果: (80, 110) ; (80, 120) ; (110,120) ? P ( A)= ;

3 ………………………………………………6 分 10

(2)由题可知 x甲 ? x乙 =120 , x+ y = 220

5S 2甲 ? (80 ?120)2 ? (110 ?120)2 ? (120 ?120)2 ? (140 ?120)2 ? (150 ?120)2 ? 3000 5S 2乙 ? (100 ?120)2 ? (120 ?120)2 ? ( x ?120)2 ? ( y ?120)2 ? (160 ?120)2
? 2000 ? ( x ?120)2 ? ( y ?120)2 ……………………………………………8 分
? x ? y ? 220

?5S 2乙 ? 2000 ? ( x ?120)2 ? ( x ?100)2 ? 2x2 ? 440x ? 26400 ?5S 2乙 ? 5S 2甲 ? 2x2 ? 440x ? 24400 ? 2( x2 ? 220x ?11700) ? 2( x ? 90)( x ?130)
? 80 ? x ? 130

? 当 80 ? x ? 90 时, S 2乙 ? S 2甲 ;当 x ? 90 时, S 2乙 =S 2甲 ;当 90 ? x ? 130 时, S 2乙 ? S 2甲 又

x甲 ? x乙 =120
? 当 80 ? x ? 90 时,甲类品牌车碳排放量的稳定性好;
当 x ? 90 时,两类品牌车碳排放量的稳定性一样好; 当 90 ? x ? 130 时,乙类品牌车碳排放量的稳定性好.…………………………12 分 18.如图,斜三棱柱 ABC – A1B1C1 的底面是直角三角形,∠ACB=90°,点 B1 在底面内的射影恰好 是 BC 的中点,且 BC=CA=2 B1 (I)求证:平面 ACC1A1 ⊥平面 BCC1B1; (Ⅱ )若 A1A=2,求点 B 到平面 B1CA 的距离. 解析: (1)取 BC 中点 M,连接 B1M,则 B1M ? 面 ABC, C1

A1

? 面 BB1C1C ? 面 ABC ? BC=面 BB1C1C ? 面 ABC,AC ? BC ? AC ? 面 BB1C1C ? AC ? 面 ACC1A1 ? 面 ACC1A1 ? 面 BB1C1C………………………………… 6 分
(2)设点 B 到平面 B1CA 的距离为 h, 由 VB? B1CA ? VB1 ?BCA 有 ( ? 2 ? 2)h ? B A B

1 1 3 2

1 1 ( ? 2 ? 2) ? 3 , 3 2
12 分

? h ? 3 …………………………………

3an 2, 19.已知数列 {an } 的首项 a1 ? t ? 0 , an ?1 ? , n ? 1, ? 2an ? 1
(1)若 t ?

?1 ? 3 ,求证 ? ? 1? 是等比数列并求出 {an } 的通项公式; 5 ? an ?

(2)若 a n ?1 ? a n 对一切 n ? N * 都成立,求 t 的取值范围.

解析: (1) 由题意知 a n ? 0,

1 a n ?1

?

2a n ? 1 1 1 2 , ? ? , a n 3a n 3 3a n

? 1 2 1? 1 ? 0, …………………………………… 3 分 ?1 ? ? 1 ? ? ? 1? , ?a ? a1 3 an ?1 3? n ? ?1 ? 2 1 所以数列 ? ? 1? 是首项为 ,公比为 的等比数列;……………………… 4 分 3 3 ? an ? 1

1 ? 5 ?? 1 ? ? 1 ? ? ? 1?? ? an ? 3 ?? 3 ?
(2)由(1)知

n ?1

?

3n 2 , an ? n 3 ?2 3n

………………………………6 分
n ?1

? 1 1? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? ? 1? , ? 1 ? ? ? 1?? ? ……………… 8 分 ?a ? a an ?1 3? n ? t ?? 3 ? n ? 3an 1 1 由 a1 ? 0, an ?1 ? 知 an ? 0 ,故 an?1 ? an 得 …………………… 10 分 ? 2an ? 1 an?1 an 1 1 1 n 1 1 n ?1 即 ( ? 1)( ) ? 1 ? ( ? 1)( ) ? 1 得 ? 1 ? 0 ,又 t ? 0 ,则 0 ? t ? 1 ……… 12 分 t t 3 t 3 1
20.在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线(记作 MA)的变化情 况来决定买入或卖出股票. 股民老王在研究股票的走势图 时,发现一只股票的 MA 均线近期走得很有特点:如果按 如图所示的方式建立平面直角坐标系 xoy,则股价 y(元) 和 时 间 x 的 关 系 在 ABC 段 可 近 似 地 用 解 析 式

y ? a sin(

?
72

x ? ? ) ? 19 (0 ? ? ? ? ) 来描述,从 C 点走

到今天的 D 点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明显的筑 底结束的标志,且 D 点和 C 点正好关于直线 l : x ? 34 对 称.老王预计这只股票未来的走势如图中虚线所示,这里 DE 段与 ABC 段关于直线 l 对称,EF 段是股价延续 DE 段的趋势(规律)走到这波上升行情的最高 点 F.现在老王决定取点 A(0,22) ,点 B(12,19) ,点 D(44,16)来确定解析式中的常数 a,b, ? (1)请你帮老王算出 a,b, ? ,并回答股价什么时候见顶(即求 F 点的横坐标) ; (2)老王如能在今天以 D 点处的价格买入该股票 5000 股,到见顶处 F 点的价格全部卖出,不计 其它费用,这次操作他能赚多少元? 解:(1)∵C,D 关于直线 l : x ? 34 对称∴C 点坐标为(2×34-44,16), 即(24,16),…………………………………………………………2 分

? ?a sin ? ? 19 ? 22..........................1) ? ? ? 把 A、B、C 的坐标代入解析式,得 ?a sin( ? ? ) ? 19 ? 19.................2) 6 ? ? ? ?a sin( 3 ? ? ) ? 19 ? 16.................3) ?

2) ? 1) : 3) ? 1) :

a(sin( ? ? ) ? sin ? ) ? ?3.........................4) 6 a(sin( ? ? ) ? sin ? ) ? ?6 ..........................5) 3
又? 0 ? ? ? ?

?

?

5) 3 ,整理得 tan? ? ? 4) 3
将? ? ?

?? ?

5? ……………6 分 6

5? 代入 1)得 a ? 6 ……………………………………………………7 分 6 ? 5? x ? ) ? 19 …………………… 8 分 于是, ABC 段的解析式为 y ? 6 sin( 72 6 ? 5? ] ? 19 由对称性得, DE 段的解析式为 y ? 6sin[ (68 ? x) ? 72 6 ? 5? ? (68 ? x) ? ? ,得 x ? 92 ………………………………… 10 分 所以,由 72 6 2 所以当 x ? 92 时,股票见顶. ……………………………… ………… 11 分
(2)由(1)可知, y F ? 25 ,故这次操作老王能赚 5000×(25-16)=45000 元.… 13 分 21.已知抛物线 y 2 ? 4 x ,过点 M (0, 2) 的直线 l 与抛物线交于 A 、 B 两点,且直线 l 与 x 轴交于点

C.
(1)求证: | MA | , | MC | , | MB | 成等比数列; (2)设 MA ? ? AC , MB ? ? BC ,试问 ? ? ? 是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明 理由. 解析: (1)设直线 l 的方程为: y ? kx ? 2 (k ? 0) 联立方程 ?

????

??? ?

????

??? ?

? y ? kx ? 2 ? y ? 4x
2

得 k 2 x 2 ? (4k ? 4) ? 4 ? 0

设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), C (?

2 4k ? 4 4 ,0) , 则 x1 ? x 2 ? ? , x1 ? x 2 ? 2 2 k k k

①…2 分

2 2 | MA | ? | MB |? [ x12 ? ( y1 ? 2) 2 ] ? [ x 2 ? ( y 2 ? 2) 2 ] ? (1 ? k 2 ) 2 x12 x 2 ? (1 ? k 2 ) x1 x 2

4(1 ? k 2 ) ? k2
……………………………………………………………………………………… 4分

2 4(1 ? k 2 ) | MC | 2 ? (? ) 2 ? 2 2 ? k k2
所以 | MC | ?| MA || MB |
2

…………………………………………5 分

即 | MA | , | MC | , | MB | 成等比数列…………6 分

(2)由 MA ? ? AC, MB ? ? BC ,得,

( x1 , y1 ? 2) ? ? (? x1 ?

2 2 ,? y1 ), ( x 2 , y 2 ? 2) ? ? (? x 2 ? ,? y 2 ) k k
………10 分

kx1 kx2 ? 2k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) 即得: ? ? 则? ? ? ? 2 ,? ? kx1 ? 2 kx2 ? 2 k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4

将①代入得 ? ? ? ? ?1 ,故 ? ? ? 为定值且定值为 ?1 ………………………12 分 22.已知函数 f ( x) ? ln x ? px ? 1 ( p ? R) . (1) p ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 p ? 0 时,若 f (x) 在区间 [1, e] 上的最大值为-1,求 p 的取值; (3)若对任意 x1, x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? x1 ? f ( x2 ) ? x2 恒成立,
2 2

求 p 的取值范围。 解析: (1)当 p ? 1 时, f ' (1) ? 0 , f (1) ? 0

? 曲线在点 (1, f (1)) 处的切线方程为: y ? 0 .
(2)函数 f ( x) ? ln x ? px ? 1的导函数为 f ( x ) ?
'

1 ? p, x

令 f ( x) ?
'

1 1 1 ? p ? 0 得 0 ? x ? ,所以函数 f ( x) ? ln x ? px ? 1在 (0, ) 上单调递增; x p p 1 1 1 ? p ? 0 得 x ? ,所以函数 f ( x) ? ln x ? px ? 1在 ( , ??) 上单调递减. x p p

令 f ( x) ?
'

① 当 0?

1 ? 1 , 即 p ? 1 时 , f (x) 在 区 间 [1, e] 上 的 最 大 值 为 f (1) ? ? p ? 1 , 由 p

f ( 1 ? ? p ? ? ? 得 p ? 2 ,符合题意; ) 1 1
②当 1 ?

1 1 1 ? e ,即 ? p ? 1 时, f (x) 在区间 [1, e] 上的最大值为 f ( ) ? ? ln p ,由 e p p

1 f ( ) ? ? ln p ? ?1 得 p ? e ,不符合题意,舍去; p
③当 e?

1 1 ? , 即 0 ? p ? 时 , f (x) 在 区 间 [1, e] 上 的 最 大 值 为 f ( e)? 2 p e 由 , e p

f (e) ? 2 ? pe ? ?1 ,得 p ?
综上所述, p ? 2 .

3 ,不符合题意,舍去. e

(3)设 g ( x) ? f ( x) ? x2 ,则 g ( x) ? ln x ? x2 ? px ? 1,只要 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增即可. 而 g ( x) ?
'

1 2 x 2 ? px ? 1 ? 2x ? p ? ,所以只需 g ' ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立即可. x x
2

2 x2 ? 1 1 ? 2 x ? 即可.而 因为 x ? 0 ,所以只需 2 x ? px ? 1 ? 0 在 (0, ??) 恒成立即可. 即 p ? x x
2x ? 1 1 2 ? 2 2 当且仅当 2x ? 即 x ? 时,最小值为 2 2 x x 2

所以 p ? 2 2 ,即 p 的取值为 (??, 2 2] .


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