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综合测试四


综合检测四
一、选择题。
1.设 D ?

?? x, y ? x
? 4 0

2

? y 2 ? 2 x, x 2 ? y 2 ? 2 y ,函数 f ? x, y ? 在 D 上连续,则

?

?? f ? x, y ?dxdy ?
D

( )

(A)

? ?

d? ? d? ?
1

2cos?

0

f ? r cos ? , r sin ? ?rdr ? ??2 d? ?
4

?

2sin ?

0

f ? r cos ? , r sin ? ?rdr f ? r cos ? , r sin ? ?rdr

(B)

? 4 0

2sin?

0
x

f ? r cos ? , r sin ? ?rdr ? ??2 d? ?
4

?

2cos?

0

(C) 2 dx
0

? ?
1 0

1? 1? x2

f ? x, y ? dy

(D) 2 dx

? ?

2 x ? x2

x

f ? x, y ? dy

?1 ? ?1 1 1 ? ? ? ? ? 2.设矩阵 A ? ? 1 2 a ? , b ? ? d ? .若集合 ? ? ?1,2? ,则线性方程组 Ax ? b 有无穷多解 ? ? ?1 4 a 2 ? ?d2 ? ? ? ? ?
的充分必要条件为 ( (A) a ? ?, d ? ? (C) a ? ?, d ? ? ) (B) a ? ?, d ? ? (D) a ? ?, d ? ?

2 2 2 3.设二次型 f ? x1, x2 , x3 ? 在正交变换 x ? Py 下的标准形为 2 y1 ,其中 ? y2 ? y3

P ? (e1, e2 , e3 ) ,若 Q ? (e1, ?e3 , e2 ) 则 f ? ( x1, x2 , x3 ) 在正交变换 x ? Qy 下的标准形为
( ) (A) 2 y1 ? y2 ? y3
2 2 2 2 2

(B) 2 y1 ? y2 ? y3
2 2 2

2

2

2

(C) 2 y1 ? y2 ? y3

(D) 2 y1 ? y2 ? y3

2

4.设 a1 , a2 , a3 均为 3 维向量,则对任意常数 k , l ,向量组 ?1 ? k?3 , ?2 ? l?3 线性无关是向量 组 ?1 , ? 2 , ?3 线性无关的( )

(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件

5. A. B. C. D.

设 A,B,C 均为 n 阶短阵,若 AB=C,且 B 可逆,则( 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价

)

? 1 a 1 ? ? 2 0 0? ? ? ? ? 6. 矩阵 ? a b a ? 与 ? 0 b 0 ? 相似的充分必要条件为( ? 1 a 1 ? ?0 0 0? ? ? ? ?
A. a=0,b=2 C. a=2,b=0 二、填空题 B. a=0,b 为任意常数 D. a=2,b 为任意常数



1.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2, ?2,1 , B ? A2 ? A ? E, 其中 E 为 3 阶单位矩阵,则行列式

B?

.

2 2 2.设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? x1 ? x2 ? 2ax1x3 ? 4x2 x3 的负惯性指数为 1,则 a 的取值范围



.

三、解答题。
?a 1 0 ? ? ? 1. 设矩阵 A = ? 1 a ?1? ,且 A3 ? O . ?0 1 a ? ? ?
(I) 求 a 的值;
2 2

(II)若矩阵 X 满足 X ? XA ? AX ? AXA ? E ,其中 E 为 3 阶单位矩阵,求 X .

? 0 2 ?3 ? ? 1 ?2 0 ? ? ? ? ? 2.设矩阵 A ? ? ?1 3 ?3 ? 相似于矩阵 B = ? 0 b 0 ? . ? 1 ?2 a ? ?0 3 1? ? ? ? ?
(I) 求 a , b 的值;
?1

(II)求可逆矩阵 P ,使 P AP 为对角矩阵.

? 1 ?2 3 ?4 ? ? ? 3.设 A ? ? 0 1 ?1 1 ? , E 为 3 阶单位矩阵。 ? 1 2 0 ?3 ? ? ?
①求方程组 Ax ? 0 的一个基础解系; ②求满足 AB ? E 的所有矩阵 B

4. 设 A ? ?

?1 a ? ?0 1? 当 a,b 为何值时, 存在矩阵 C 使得 AC-CA=B,并求所有矩阵 C。 ?, B ? ? ?, ?1 0 ? ?1 b?

? a1 ? ? ? 5. 设 二 次 型 f ( x1, x2 , x3 ) ? 2(a1x1 ? a2 x2 ? a3 x3 ) ? (b1x1 ? b2 x2 ? b3 x3 ) , 记 ? ? ? a2 ? , ?a ? ? 3?
2 2

? b1 ? ? ? ?? ? b2 ? 。 ?b ? ? 3?
(1) 证明二次型 f 对应的矩阵为 2?? T ? ?? T ;
2 2 (2) 若 ? , ? 正交且均为单位向量,证明 f 在正交变换下的标准形为 2 y1 。 ? y2


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