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3.2


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已知:α的三角函数值,求sin2α、 cos2α、tan2α ?
利用已知的和(差)

角公式,能否找到解决问
题的线索呢?

复习:两角和的正弦、余弦、正切公式:

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

? 若上述公式中 ,

??

你能否对它进行变形?

能否通过上述公式利用单角表示: cos 2? , tan 2? ? sin 2? ,

sin?? ? ? ? ? sin? cos? ? cos? sin?
cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin? sin?
tan? ? tan? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan? ? tan?
由此得到二倍角公式.

二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos?
cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

? ?R
? ?R
k? ? ? ,且 2 4

2 tan? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

??

? ? ? k? ? , ?k ? Z ?
2

对于 C 2? 能否有其它表示形式?

cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1

cos 2? ? 1 ? 2 sin ?
2

公式中的角是否为任意角?

注意:
(1)二倍角公式的作用在于用单角的三角 函数来表达二倍角的三角函数,它适用于二倍角 与单角的三角函数之间的互化问题.

(2)二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形 式,其它如4α是2α的两倍,α/2是α/4的两倍,3α是 3α/2的两倍,α/3是α/6的两倍等,所有这些都可 以应用二倍角公式.因此,要理解“二倍角”的含 义,即当α=2β时,α就是β的二倍角.凡是符合二 倍角关系的就可以应用二倍角公式.

(3)二倍角公式是从两角和的三角 函数公式中,取两角相等时推导出来,记 忆时可联想相应角公式.

5 π π 例1:已知 sin2α = , < α < , 求 13 4 2

sin4α,cos4α,tan4α

的值. 解:由
π π <α< , 4 2

π 得 < 2α < π 2 5 , 13
2 2

又因为 sin2α =

12 ?5? cos2α = - 1- sin 2α = - 1- ? ? = 13 ? 13 ?

5 ? 12 ? 120 于是 sin4α = 2sin2αcos2α = 2 ? ? ? - ? = 13 ? 13 ? 169

? 5 ? 119 cos4α = 1- 2sin 2α = 1- 2 ? ? ? = ? 13 ? 169
2

2

120 sin4α 120 169 tan4α = = =119 cos4α 119 169

5 ? 例2:已知 sin ? ? , ? ? ( , ? ) 13 2

求sin2?,cos2?,tan2?的值.
? 5 解: ∵ sin? ? , ? ? ( ,? ) 13 2

12 ∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 13 120 ∴sin2? = 2sin?cos? = ? 169
2

cos2? = 1 ? 2 sin 2 ? ? 119 169

120 ? tan2? = 119

sin 2? ? sin ? 例3:证明: ? tan ? 2 2cos 2? ? 2sin ? ? cos?
2sinθcosθ + sinθ 证明: 左边 = ( 2 cos 2θ - sin 2θ) + 2sin 2θ + cosθ sinθ(2cosθ + 1) = = tanθ = 右边 cosθ(2cosθ + 1)

1 1 例4:化简: 1- tan ? 1+ tan ?
1 + tanθ 1- tanθ 解:原式 = (1- tanθ)(1 + tanθ) (1- tanθ)(1 + tanθ) 1 + tanθ -1 + tanθ 2tanθ = = = tan2θ 2 (1- tanθ)(1 + tanθ) 1- tan θ

引申:公式变形:

1 ? sin2? ? (sin ? ? cos? )
1 ? cos2? ? 2 cos ?
2

2

1 ? cos2? ? 2 sin ?
2

? ?

升幂降角公式

1 ? cos 2? cos ? ? 2 1 ? cos 2? 2 sin ? ? 2
2

降幂升角公式

例5:求值:

sin22?30’ 1、
2 cos 2、
2

cos22?30’=

2 4

?

2 ?1 ? 2 8

3、2

sin2157.5?

?1=

2 2

5? 1 4、 sin sin ? 12 12 4
5、 sin
2

?

?
8
?

? cos
?

2

?
8

?
?

2 2

1 6、 8 sin cos cos cos ? 48 48 24 12 2

?

例 6:化简

5? 5? 5? 5? ? cos )(sin ? cos ) 1、 (sin 12 12 12 12
5π 5π 3 2 5π = sin - cos = -cos = 12 12 6 2
2

? 4? 2、 cos ? sin 2 2
4

骣 2α 骣 2α 2 α鼢 2 α 珑 =珑 cos + sin 鼢 cos - sin = cosα 鼢 珑 桫 2 2 桫 2 2

3、

1 ? 2 cos ? ? cos 2?
2

= 1 + 2cos θ - 2cos θ +1 = 2

2

2

例7:若tan ? = 3,求sin2? ? cos2? 的值. 解:sin2? ? cos2? 2 sin cos ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ?
2 tan ? ? tan 2 ? ? 1 ? 1 ? tan 2 ? ?7 5

1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? 例8:求证: ? tan? 1 ? sin 2? ? cos 2?
1 + 2sinθcosθ - (1- 2sin 2θ) 证明:左边 = 2 1 + 2sinθcosθ + (2cos θ -1)
2sinθ(cosθ + sinθ) sin θ = = 2cosθ(cosθ + sinθ) cosθ
= tanθ = 右边

∴原式成立.

思考1:tanα与sin2α,cos2α之间是 否存在某种关系?

1 - cos2a tan a = 1 + cos2a
2

sin2α 1 - cos2α tanα = = 1 + cos2α sin2α

思考2:sin2α,cos2α能否分别用 tanα表示?

1 - tan a cos2a = 2 1 + tan a

2

2tana sin2a = 2 1 + tan a

课堂小结
1、二倍角正弦、余弦、正切公式. sin 2? ? 2 sin ? cos? α?R 2 2 cos 2? ? cos ? ? sin ? α?R 2 tan? k? ? ? tan 2? ? ? ? ? ,且 ? ? k? ? ,?k ? Z ? 2 1 ? tan ? 2 4 2 2、注意正用 、逆用、变形用

cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ?
2

1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos ? )
1 ? cos 2? ? 2cos ?
2

2

1 ? cos 2? ? 2sin ?
2

? ?

升幂降角公式

1 ? cos 2? cos ? ? 2 1 ? cos 2? 2 sin ? ? 2
2

降幂升角公式

高考链接
1(2004广西)已知α为锐角,且 tan ? ? 1 求

sin 2? cos ? ? sin ? 的值 sin 2? cos 2?

2

.

解析: 本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二 倍角公式等基础知识以及三角恒等变形的能力
sin ? cos 2? , 原式 ? 2 sin ? cos ? cos 2? 1 因为 tan ? ? 时, sin ? ? 0, cos 2? ?? 0, 2 所以 原式 ? 1 ?因为 2 cos ?

为锐角,由
所以 原式

tan? ?

?

5 . 4

1 2 得 cos? ? , 2 5

2(2004广西)已知
2

求 sin ?、 tan ?

sin 2? ? sin 2? cos ? ? cos 2? ? 1, ? ? (0, ), 2

?

解析:

由sin 2? ? sin 2? cos ? ? cos 2? ? 1
2

sin 2? ? sin 2? cos? ? 1 ? cos2? ? 2 cos ?
2


2

? 4 sin ? cos ? ? 2 sin ? cos ? ? 2 cos ?
2 2 2 2


? ? (0, ),? cos ? ? 0,?? ?
2

?

?
6

2

? 2 sin ? ? sin ? ? 1 ? 0
2

1 ? sin ? ? ?(舍)或 1 sin ? ? 2

1 3 ? sin ? ? , tan ? ? 2 3

课堂练习
1、判断:

3? 3? (1)sin 3? ? sin cos 错 2 2 2 (2) cos 2? ? 2 sin ? ? 1 错
3? 2 tan 3? (3) tan ? 2 2 1 ? tan 3? 2 cot ? (4) cot 2? ? 2 1 ? cot ?

错 错

2、用二倍角公式展开下列各式:
1、 sin ? 2、cos

?

2 sin
2

?
2

cos

?
2
2

?
2

? cos

?
4

? sin

?
4

3? 3、tan ? 2
4、cos

3? 2 tan 4 2 3? 1 ? tan 4

???
2

? 2 cos

2

? ??
4

?1

1 3、已知 tan2α = , 求 tan α 的值 3

2tanα 1 = 解: tan2α = 2 1- tan α 3
2 tan α + 6tanα -1 = 0 由此得

解得 tanα = -2 + 5 或 tanα = -2 - 5

4、求值:tan70 cos10 ( 3tan20 -1)

o

o

o

3 1 o sin 20 ? cos 20o 2 解:原式 ? 2 tan 70o cos10o 2 o cos 20 o ? sin10 o o ? 2 tan 70 cos10 o cos 20 sin 70o ? sin 20o ? ? o o cos 70 cos 20 ? ?1

sin2x x (1 + tanx ? tan ) = tanx 5、证明: 2cosx 2
证明: 左边 = 2sinxcosx (1 + sinx ? 1- cosx ) 2cosx cosx sinx 1- cosx = sinx(1 + ) = tanx = 右边 cosx x x tanx - tan sin sin2x 2sinxcosx 2 2 左边 = ? = ? x x 2cosx tan(x - x ) 2cosx cosxcos tan 2 2 2 = tanx = 右边

教材习题答案
习题3-2A(第147页)
7 1.因 sin ? ? 0.28 ? , 90 <? <180 , 25 24 ? 故 cos ? ? ? . ? (45 ,90 ), 25 2 即

?

2

是第一象限角,

所以 cos tan

?
2

?

?
2

2 ? 7 2 , sin ? , 10 2 10

? 7.


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