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两点斜率公式



§ 两点的斜率公式

两点的斜率公式

已知直线上两点的坐标,如何计算直线的斜率? 给定两点P1 ( x1 ,y1), P2 ( x2 ,y2), 并且 x1 ≠x2,如何计算直线P1 P2的斜率k.

两点的斜率公式
设直线P1 P2的倾斜角为α ( α ≠90° ),当直线P1 P2的 方向(即从P1指向P2的方向) 向上时,过点P1作 x 轴的平行 线,过点P2作 y 轴的平行线, 两线相交于点 Q,于是点Q的 坐标为( x2,y1 ).

?

当 ? 为锐角时,? ? ? QP 1 P2 , x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 . 在直角 ? P1 P2 Q 中
tan ? ? tan ? QP 1 P2 ? | QP 2 | | P1 Q | ? y 2 ? y1 x 2 ? x1

两点的斜率公式

?

? ? 为钝角时, ? 180 ? ? QP 1 P2 , x 1 ? x 2 , ? 当 y 1 ? y 2 . tan ? ? tan( 180 ? ? ? ) ? ? tan ?

在直角 ? P1 P2 Q 中
tan ? ? | QP 2 | | P1 Q | ? y 2 ? y1 x1 ? x 2 ? ? y 2 ? y1 x 2 ? x1

tan ? ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

.

两点的斜率公式

同样,当 P 2 P1 的方向向上时,也有
tan ? ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 .

两点的斜率公式
经过两点 P1 ( x 1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 )的直线的斜率公式 k ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 ( x1 ? x 2 ) :

公式的特点:
(1)与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过 直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直 线的倾斜角; (3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴 垂直,α=900

两点的斜率公式

1.已知直线上两点 P1 ( x1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) ,运用 上述公式计算直线 AB?斜率时,与 P1 , P2 两点坐标的顺 序有关吗?

无关

2.当直线平行于y 轴,或与y 轴重合时,上述斜 率公式还适用吗?为什么?

不适用

两点的斜率公式
当直线 P 2 P1 与 x 轴平行或重合时,上述式子还成 立吗?为什么? 成立

经过两点 P1 ( x1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 )( x1 ? x 2 ) 的直线的 斜率公式为:
tan ? ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 . (x ? x ) 1 2

例1:已知点

A 3 , 2 ) , B - 4 , 1 ) , C ( 0, 1) ( ( ?



(1).求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这 些直线的倾斜角是锐角还是钝角 (2).过点C的直线 l 与线段AB有公共点, 求 l 的斜率k的取值范围
y A B O C
解:( )k AB ? 1 k BC ? kCA ? ?1 ? 1 0 ? ( ?4) ?1 ? 2 0?3 1? 2 ?4 ? 3 1 2 ? 1 7

锐角 钝角 锐角

??

x

?1

1 (2)k ?[1,+?)?(-?,- ] 2

典型例题
例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率 分别为1,-1,2及-3的直线 l 1 , l 2 , l 3 及 l 4 . y 解:取 l 1上某一点为 A 1 的 坐标是 ( x 1 , y 1 ) ,根据斜率公式 有: y1 ? 0 x 1? ,
l3
A3

l1

A1

x1 ? 0

A2

l4 l2 A4

即 x1 ? y1 .

设 x 1 ? 1 ,则 y 1 ? 1 ,于是 A 1的坐标是 ( 1 ,1 ) .过 原点及 A 1 ( 1 ,1 ) 的直线即为 l 1 . l 2是过原点及 A 2 ( x 2 , y 2 ) 的直线,l 3 是过原点及 A 3 ( x 3 , y 3 ) 的直线, l 是过原点及 A 4 ( x 4 , y 4 ) 的直线. 4

例3: 已知 P1 (1, 2 ), P2 ( x , 3 ), P3 ( ? 3 , ? 1 ) 在一条

直线上 , 求 x 的值 .

解: ? P1 , P2 , P3 在一条直线上
? kPP ? kP
1 2 2 P3



3?2 x ?1

?

?1? 3 ?3? x

x ?

7 3

.

例 4 从 M ( 2 , 2 )射出一条光线, 经过 x 轴反射

典型例题

后过点 N( ? 8 , 3 ) , 求反射点 P 的坐标
解:设 P ( x , 0 )

y

因为入射角等于反射角
?K
MP

? ?K
? 3

P N

N(-8,3)
2 -2

2 2? x

M(2,2)
O
2

8? x

x

P

解得 x ? ? 2

? 反射点 P ( ? 2 ,0 )

练习
1.求经过下列两点的斜率倾斜角

(1)
(2)

C (1 8 , 8 ) P (0, 0)

D (4, ?4) k ?
Q ( ? 1,

6
3

7 3) k ? ?

2.已知a,b,c是两两不等的实数,求经过 下列两点直线的倾斜角.

(1) A ( a , c )
(2) C ( a , b )

B (b, c )

? ? 0

?

D (a , c ) ? ? 90? c) Q (a , a ? c ) ? ? 45?
back

(3) P ( b , b ?

知识小结

倾斜角

斜率

两点间斜率公式

课堂作业

P89T3 T4


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