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2011年高考数学理科试题解析(北京卷)


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2011 年普通高等学校招生全国统一考试 数学( (北京卷) 数学(理) 北京卷) (北京卷
本试卷共 5 页, 分。 150 考试时间长 120 分钟。 考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合 P={x︱x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是 (A)(-∞, -1] +∞)
【答案】C 【解析】 P = {x | x 2 ≤ 1} = {x | ?1 ≤ x ≤ 1} , P U M = P ? a ∈ [ ?1,1] ,选 C。 :

(B)[1, +∞)

(C)[-1,1]

(D)(-∞,-1] ∪[1,

(2)复数 (A) i
【答案】A

i?2 = 1 + 2i

(B) -i

4 3 (C) ? i ? 5 5

4 3 (D) + i ? 5 5

i ? 2 (i ? 2)(1 ? 2i) i ? 2i 2 ? 2 ? 4i i ? 2(?1) ? 2 + 4i 【解析】 : = = = = i ,选 A。 1 + 2i (1 + 2i)(1 ? 2i) 1 ? 4i 2 1 ? 4(?1)

(3)在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 (A) (1, ) 2 (D)(1, π )
【答案】B 【解析】 ρ = ?2sin θ ? x 2 + ( y + 1) 2 = 1 ,圆 心直角坐标为(0,-1) : ,极坐标为 (1, ? 选 B。

π

(B) (1, ? ) 2

π

(C)

(1,0)

π
2

),

(4)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 (A)-3 (B)1 2
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(C)

1 3

(D)2
【答案】D 【解析】 :循环操作 4 次时 S 的值分别为 , ?

1 3

1 , ?3, 2 ,选 D。 2

(5)如图,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F,延长 AF 与圆 O 交于另 一点 G。给出下列三个结论: 1 ○AD+AE=AB+BC+CA;

2 ○AF·AG=AD·AE ③△AFB ~△ADG 其中正确结论的序号是 (A)①② (C)①③ (B)②③ (D)①②③

【答案】A. 【解析】 :①正确。由条件可知,BD=BF,CF=CE,可得 AD + AE = AB + BC + CA 。 ②正确。通过条件可知,AD=AE。由切割定理可得 AF ? AG = AD = AD ? AE 。
2

③错误。连接 FD(如下图) ,若 △ AFB ∽△ ADG ,则有 ∠ABF = ∠DGF 。通过图像可知 ∠ABF = ∠BFD + ∠BDF = 2∠DGF ,因而错误。答案选 A.

(6)根据统计,一名工作组装第 4 件某产品所用的时间(单位:分钟)为

(A,C 为常数) 。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装 第 A 件产品用时 15 分钟,那么 C 和 A 的值分别是 (A)75,25
【答案】D
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(B)75,16

(C)60,25

(D)60,16

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【解析】由条件可知, x ≥ A 时所用时间为常数,所以组装第 4 件产品用时必然满足第一个分 段函数, f (4) = 即 选D。

c 60 = 30 ? c = 60 ,f ( A) = = 15 ? A = 16 , 4 A

(7)某四面体的三视图如图所示, 该四面体四个面的面积 中,最大的是

(A) 8

(B) 6 2

(C)10

(D) 8 2

【答案】C 【解析】由三视图还原几何体如下图,该四面体四个面的面积中最大的是 ? PAC,面积为 10, 选 C。 P

(8)设 A ( 0, 0 ) , B ( 4,0 ) ,

C ( t + 4, 4 ) , D ( t , 4 )( t ∈ R ) .记
形 ABCD 内部(不含边界)的整点 是指横、纵坐标都是整数的点, 域为 (A) {9,10,11} (C) {9,11,12}

4 2 4 5 A 4 B 3

C

N ( t ) 为平行四边
的个数, 其中整点 则函数 N ( t ) 的值

(B) {9,10,12} (D) {10,11,12}

【答案】C 【解析】如下图,在 t=0,0<t<1,t=1 时分别对应点为 9,11,12,选 C。

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C(t,4)

D(t+4,4)

A(0,0)

B(4,0)

图1 t=0时时时时时时(9时)

C(t,4)

D(t+4,4)

C(t,4)

D(t+4,4)

A(0,0)

B(4,0)

图 2 t=2 时情况点分布(11 点)

A(0,0)

B(4,0) 图3 t=1时时时时时时(12时)

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上面 4 种情形涵概了 t 的所有可能取值,所以 N (t ) 的值域为{ 9,11,12 },如图所示,故选 C

第二部分

(非选择题

共 110 分)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)在 ?ABC 中。若 b=5, ∠B = a=_______________。
【答案】

π
4

,tanA=2,则 sinA=____________;

2 5 5

2 10
sin A 1 = 2 ? cos A = sin A , 又 sin 2 A + cos 2 A = 1 所 以 cos A 2 5× 2 5 5 则 2 2

【 解 析 】 由 tan A = 2 ?

1 2 5 a 5 sin 2 A + sin 2 A = 1 解 得 sin A = ,正弦定理得 ,a = = 4 5 2 5 sin π 4 5

a = 2 10 。

(10)已知向量 a=( 3 ,1) b=(0,-1) c=(k, 3 ) ,b ,c 。若 a-2b 与 c 共线, b 则 k=___________________。
【答案】 1 【解析】 a ? 2b = ( 3, 3) 由 a ? 2b 与 c 共线得 3 ? 3 = 3k ? k = 1

r

r

r

r

r

(11)在等比数列{an}中,a1=

1 ,a4=-4,则公比 q=______________; 2

a1 + a2 + ... + an = _________________。

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【答案】 ?2

2n?1 ?

1 2
3

【解析】由 {an } 是等比数列得 a4 = a1q ,又 a1 =

1 1 , a4 = ?4, 所以 ?4 = q 3 ? q = ?2 , 2 2 1 1 {| an |} 是以 为首项,以 2 为公比的等比数列, | a1 | + | a2 | + L + | an |= 2 n ?1 ? 。 2 2

(12)用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共 有__________个。 (用数字作答)
【答案】 14
4 【解析】个数为 2 ? 2 = 14 。

?2 x≥2 ? , (13)已知函数 f ( x) = ? x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实 ?( x ? 1)3 , x < 2 ?

根,则数 k 的取值范围是_______
【答案】 (0,1) 【解析】 f ( x ) =

2 ( x ≥ 2) 单调递减且值域为(0,1], f ( x) = ( x ? 1)3 ( x < 2) 单调递增且值域 x

为 ( ?∞,1) , f ( x ) = k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是(0,1) 。

(14)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于 常数 a2 (a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论: ① 曲线 C 过坐标原点; ② 曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则△F 1 PF 2 的面积大于 其中,所有正确结论的序号是
1 2 a 。 2



【答案】② ③ 【解析】:①曲线 C 经过原点,这点不难验证是错误的,如果经过原点,即么 a = 1 ,与条件 不符;②曲线 C 关于原点对称,这点显然正确,如果在某点处 | PF1 || PF2 |= a , 关于原点的对
2

称点处也一定符合 | PF1 || PF2 |= a ;
2

③三角形 F1 F2 P 的面积

Svm in

1 1 a2 = | PF1 || PF2 | sin ∠F1 PF2 ≤ | PF1 || PF2 | = 2 2 2

三、解答题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分)
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已知函数 f ( x) = 4 cos x sin( x + ) ? 1 。 6 (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期:
? π π? (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值。 ? 6 4?
【解析】(Ⅰ)因为 f ( x ) = 4 cos x sin( x + :

π

π
6

) ? 1 = 4 cos x(

3 1 sin x + cos x) ? 1 2 2

= 3 sin 2 x + 2 cos 2 x ? 1 = 3 sin 2 x + cos 2 x = 2 sin(2 x +

π
6

) 所以 f (x) 的最小正周期为

π
(Ⅱ) 因为 ?

π
6

≤x≤

π
4

, 所以 ? 6 =?

π
6

≤ 2x +

π
6



取得最大值 2;当 2 x +

π

π

, 即x = ? 时, f ( x) 取得最小值—1. 6 6

π

2π π π π . 于是, 2 x + = , 即x = 时,f (x) 当 3 6 2 6

P

(16) (本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥ 平面 ABCD ,底面
ABCD 是菱形, AB = 2, ∠BAD = 60o .
A B D C

(Ⅰ)求证: BD ⊥ 平面 PAC ; (Ⅱ)若 PA = AB, 求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.
【解析】 :证明: (Ⅰ)因为四边形 ABCD 是菱形,所以 PA ⊥ BD 又因为 PA ⊥ 平面 ABCD 。 所以 PA ⊥ BD , 所以 BD ⊥ 平面 PAC 。 (Ⅱ) 设 AC I BD = 0 ,因为 ∠BAD = 600 , PA = AB = 2 所以 BO = 1, AO = CD =

3 ,如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则
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uuu r uuur p (0, ? 3, 2), A(0, ? 3, 0), B (1, 0, 0), C (0, 3, 0) 所 PB = (1, 3, ?2), AC = (0, 2 3, 0) 设

uuu uuur r PB ? AC 6 6 = PB 与 AC 所成角为 θ ,则 cos θ = uuu uuur = r 4 2 2 ×2 3 PB ? AC
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 BC = ( ?1, 3, 0), 设 P = (0, ? 3, t ) (t > 0) 。则 BP = ( ?1, ? 3, t ), 设平面

uuu r

uuu r

PBC 的法
向量 m = ( x, y , z ), 则 BC ? m = 0, BP ? m = 0 ,所以 ?

uuu r

uuu r

? ? x + 3 y = 0, ? ?? x ? 3 y + tz = 0 ?

令 x = 3, 则

y = 3, z =

6 , t 6 t 6 t

所以 m = (3, 3, ) 同理,平面 PDC 的法向量 n = ( ?3, 3, ) ,因为平面 PBC ⊥ PDC ,所 以 m ? n = 0 ,即 ?6 +

6 = 0 解得 t = 6 ,所以 PA = 6 t

(17)本小题共 13 分 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数 据模糊,无法确认,在图中以 X 表示。

(Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植 树总棵树 Y 的分布列和数学期望。 (注:方差 s 2 = 注
xn 的平均数)
【解析】(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, : 所以平均数为 x =
2 2 2 1? x1 ? x + x2 ? x + K + xn ? x ? ,其中 x 为 x1 , x2 ,…… ? ? ? n?

(

) (

)

(

)

8 + 8 + 9 + 10 35 = ; 4 4

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方差为 s =
2

1 35 35 35 35 11 [(8 ? ) 2 + (8 ? ) 2 + (9 ? ) 2 + (10 ? ) 2 ] = . 4 4 4 4 4 16

(Ⅱ)当X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同学的植 树棵数是:9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4×4=16 种可能 的结果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21 事件“Y=17”等价 于“甲组选出的同学植树 9 棵,乙组选出的同学植树 8 棵”所以该事件有 2 种可能的结 果,因此 P(Y=17)=

2 1 = . 16 8 1 1 1 1 同理可得 P (Y = 18) = ; P (Y = 19) = ; P (Y = 20) = ; P (Y = 21) = . 4 4 4 8
所以随机变量 Y 的分布列为: Y P 17 18 19 20 21

1 8

1 4

1 4

1 4

1 8

EY = 17 × P (Y = 17) + 18 × P (Y = 18) + 19 × P (Y = 19) + 20 × P (Y = 20) +21× P (Y = 21)
= 17 ×

1 1 1 1 1 + 18 × + 19 × + 20 × + 21× =19 8 4 4 4 8

(18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) = ( x ? k ) 2 e k 。 (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;
1 (Ⅱ)若对于任意的 x ∈ (0, +∞) ,都有 f ( x) ≤ ,求 k 的取值范围。 e
【解析】(Ⅰ) f ′( x) = : 况如下:
x 1 2 ( x ? k 2 )e k ,令 f ′( x) = 0, x = ± k ,当 k > 0 时, f ( x), f ′( x) 的情 k

x

x
f ′( x) f ( x)

(?∞, ?k )
+

?k
0

(?k , k )

k
0 0

(k , +∞ )
+

?

4 k 2 e ?1

所以, f ( x) 的单调递增区间是 ( ?∞, ?k ) 和 ( k , +∞ ) :单调递减区间是 ( ?k , k ) ,当 k < 0 时,

f ( x) 与 f ′( x) 的情况如下 :

x

(?∞, k )

k

(k , ?k )

?k

(?k , +∞ )

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f ′( x) f ( x)

?

0 0

+

0

?

4k 2 e ?1

所以, f ( x ) 的单调递减区间是 ( ?∞, k ) 和 ( ?k , +∞ ) :单调递减区间是 ( k , ?k ) 。 (Ⅱ)当 k > 0 时,因为 f ( k + 1) = e
1+1 k

1 1 > ,所以不会有 ?x ∈ (0, +∞), f ( x) ≤ . 当 k < 0 时, e e
4k 2 1 所以 ?x ∈ (0, +∞), f ( x ) ≤ 等价于 e e

由(Ⅰ)知 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上的最大值是 f (? k ) =

4k 2 1 1 1 f (? k ) = ≤ , 解得 ? ≤ k < 0. 故当 ?x ∈ (0, +∞), f ( x) ≤ 时, k 的取值范围是 e e 2 e
[?

1 ,0]。 2

(19) (本小题共 14 分) 已知椭圆 G : 两点. (I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值.
【解析】 ::(Ⅰ)由已知得 a = 2, b = 1. 所以 e =

x2 + y 2 = 1 .过点(m,0)作圆 x 2 + y 2 = 1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 4

a 2 ? b 2 ? 3 所以椭圆 G 的焦点坐标为

(? 3, 0), ( 3, 0). ,离心率为 e =

c 3 = a 2

(Ⅱ) (Ⅱ)由题意知, | m |≥ 1 .当 m = 1 时,切线 l 的方程 x = 1 ,点 A、B 的坐标

分别为 (1, 当

3 3 ), (1,? ), 此时 | AB |= 3 当 m=-1 时,同理可得 | AB |= 3 2 2
时 , 设 切 线 l 的 方 程 为

| m |> 1

y = k ( x ? m),



? y = k ( x ? m), ? 2 得(1 + 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 mx ?x 2 ? + y = 1. ?4
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+4 k 2 m 2 ? 4 = 0 设

A 、 B

两 点 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 )( x 2 , y 2 ) , 则

4k 2 m 2 ? 4 , x1 x 2 = x1 + x 2 = 1 + 4k 2 1 + 4k 2 8k 2 m
x 2 + y 2 = 1相切, 得
| km | k +1
2





l





= 1, 即m 2 k 2 = k 2 + 1. 所以 | AB |= ( x 2 ? x1 ) 2 + ( y 2 ? y1 ) 2

= (1 + k 2 )[

64k 4 m 2 4( 4 k 2 m 2 ? 4) = 4 3 | m | . ? ] m 2 + 3 由于当 m = ±3 时,| AB |= 3 , (1 + 4k 2 ) 2 1 + 4k 2
| AB |= 4 3|m| , m ∈ (?∞,?1] U [1,+∞) m2 + 3
. 因 为





| AB |=

4 3|m| = m2 + 3

4 3 3 |m|+ |m|

≤ 2,

且当 m = ± 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2

(20)(本小题共 13 分) 若数列 An = a1 , a2, ..., an (n ≥ 2) 满足 ak +1 ? ak = 1(k = 1, 2,..., n ? 1) ,数列 An 为 E 数 列,记 S ( An ) = a1 + a2 + ... + an . (Ⅰ)写出一个满足 a1 = as = 0 ,且 S ( As ) 〉0 的 E 数列 An ; (Ⅱ)若 a1 = 12 ,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an =2011; (Ⅲ)对任意给定的整数 n(n≥2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得

S ( An ) =0?如果存在,写出一个满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由。
【解析】(Ⅰ)0,1,2,1,0 是一具满足条件的 E 数列 A5。 : (答案不唯一,0,1,0,1,0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5) (Ⅱ)必要性:因为 E 数列 A5 是递增数列,所以 a k +1 ? a k = 1( k = 1,2,L ,1999) .所以 A5 是首项为 12,公差为 1 的等差数列.所以 a2000=12+(2000—1)×1=2011.充分性,由 于 a2000—a1000 ≤ 1,a2000—a1000 ≤ 1……a2—a1 ≤ 1 所以 a2000—a ≤ 19999,即 a2000 ≤ a1+1999.又 因为 a1=12, 2000=2011,所以 a2000=a1+1999.故 a n +1 ? a n = 1 > 0( k = 1,2,L ,1999), 即An 是 a 递增数列.综上,结论得证。
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