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数学:第三章《不等式》复习课件(苏教版必修五)


不等式及不等式选讲

不等式的综合应用

培养不等式在数列、函数、方 程中的应用及利用不等式解决实际 问题的能力.

1.已知f(x)=-2x+1,对任意的正数ε,使得 |f(x1)-f(x2)|<ε成立的一个充分但不必要 条件是( ) C A.|x1-x2|<ε

C.|x1-x2

|<

? 4

? B.|x1-x2|< 2 ? D.|x1-x2|> 4

|f(x1)-f(x2)|=2|x1-x2|<ε的充要条 ? 件是|x1-x2|< ,所以选C.
2

2.已知方程x2-2x+lg(2a2-a)=0有一正根与一负 根,则a的取值范围是( C )
1 A.- <a<0 2 1 B.0<a< 2 1

C.D.-

1 2 <a<0或 2 <a<1 1 1 <a≤0或 ≤a<1 2 2

? ? - <a<1 2-a>0? a<0或a> 1 2a ?
lg(2a2-a)<0?
??
1 2 1 <a<0或 2

2a2-a<1?
2

1 2

<a<1.

1 3.设M=( a

1 -1)( b

1 -1)( c

-1)且a+b+c=1,其中a、 )D
1 B.[ 8

b、c∈R+,则M的取值范围是(
1 A.[0,] 8

,1)

C.[1,8)
b M=( a c +a

D.[8,+∞)
a )( b c +b a )( c b +c

)

≥2

bc ·2 2 a

ac ·2 2 b

ab =8. 2 c

4.已知△ABC,∠C=90°,a、b、c为三
a?b 边,则 的取值范围是( C ) c a?b a ? b <2 A.0< B.0< ≤ c c a?b a?b C.1< ≤ 2 D.1≤ ≤ c c

2 2

a?b 在△ABC中,a+b>c? >1.又a2+b2=c2, ? c a?b 2 a 2 ? b2 a?b 所以 ≤ = c? ≤ ,2 ? 2 2 c 2 a?b 所以1< ≤ 2. c

? sin2x+3cos2x的取值 5.已知x∈(0, ),则M=3 2

范围是( D )

A.[ 3 ,3 3] C.[2 3 ,4]

B.[3,2 3 ) D.[2 3 ,4)

sin2x+3cos2x≥2 M=3

“=”号. 令t=sin2x,t∈(0,1), M=3t+31-t=3t+ 令y=3t∈(1,3),
3 3t

? ,当且仅当x= 取 3 4

.

3 所以M=y+ y 在(1, 3 )上单调递减,在 ( 3 ,3)上单调递增, 3 3 所以M<max{1+ ,3+ }=4. 1 3

1.不等式与数学各知识点联系紧密,主 要有:①运用不等式研究函数问题(单调性、 最值等);②运用不等式研究方程解的问题; ③运用不等式研究几何关系问题(如相切、 相交、相离,圆内、圆外). 2.数学有关知识点转化为不等式问题, 其转化的途径有:①利用几何意义;②利用 判别式;③应用变量的有界性;④应用函数 的单调性;⑤应用均值不等式.

3.不等式应用题,即创设了一个实际情境,应 用数学相关知识来解决问题.在解题中要注意: ①读懂题目,收集相关的数据(包括图形、 数据、表格);其次,能理解和把握有关量之 间的关系,能用代数式表示出来. ②确定数学模型.在有的应用题中,数学模 型已经告知,解题时利用模型即可;有的应用 题中用自然语言告知了数学模型,用数学语言 翻译即成(或用待定系数法确定模型);有的 应用题虽然没有告知数学模型,但这种实际问 题可以联想与转化为熟悉的数学问题. ③解与不等式有关的数学问题.

典例精讲
题型一 不等式与函数、方程的综合
1 例1 已 知 集 合 P={x| 2

≤x≤2},y=log2(ax2-

2x+2)的定义域为Q.

(1)若P∩Q≠?? ,求实数a的取值范围; 2-2x+2)=2在[1 ,2]内有 (2)若方程log2(ax 2 解,求实数a的取值范围.

(1)由已知Q={x|ax2-2x+2>0},
若P∩Q≠?,则说明在[ ? 使不等式ax2-2x+2>0,即

1 ,2]内至少有一个x值, 2

1 在[2 ,2]内至少有一个x值,使a>2x-2x2成立. 2 2 令u= - 2 ,则只需a>umin. x x 1 1 1 1 1 2 1 又u=-2( - ) + ,当x∈[ ,2]时, ∈[ 2 ,2], 2 2 x x 2 1 从而u∈[-4, 2].所以a>-4.

(2)因为方程log2 内有解,

2-2x+2)=2在[ 1 (ax

2

,2]

所以ax2-2x+2=4即ax2-2x-2=0在[1 ,2]内 2 有解,分离a与x,
2 2 得a= x + 2 =2( 1 + 1 )2- 1 , x x 2 2 3 12 1 1 因为 ≤2( + ) - ≤12, 2 2 2 x 3 所以 ≤a≤12,即a的取值范围是[ 2

3 ,12]. 2

点评 本题用的是参数分离的思想.

题型二 不等式与数列的综合 例2 设数列{an}满足a1=2,an+1
(1)求证:an> an ? 1 (n∈N*); an (2)令bn= (n∈N*),试比较bn与bn+1的大小.
n

1 =an+ an

(n=1,2,3,…).

(1)由已知a1=2>0,
1 又an+1=an+ an

可得an>0,
2=a 2+ n-1

当n≥2时,an

1 an ?1

2

+2, +2,

从而an-12=an-22+ a an2=a12+ a
1
2 1

1
2 n?2

上面各式相加整理得
1 +a 2 2

1 +2,…,a22=a12+ a 2 1 1
2 n ?1

+…+ a

+2(n-1)

>a12+2(n-1)=2n+2>2n+1.
又n=1时,a1=2> 2 ?1 ? 1 , 故对任意n∈N*,an> 2n ? 1 .

1 bn?1 an ?1 n n (2)(方法一) = =(1+ a 2 ) bn n an n ? 1 n ?1 1 <(1+ ) n 2n ? 1 n ?1

2(n ? 1) = · n = 2 n(n ? 1) (2n ? 1) n ?1 2n ? 1 n ? n ?1 < =1, 2n ? 1

故bn+1<bn.

an ?12 an 2 (方法二)bn+12-bn2= n 2 n ?1 1 1 an 2+ = (an 2 +2)n ?1 an n 2 1 1 = (2+ 2 - an ) an n ?1 n 1 2n ? 1 1 < (2+ ) n ?1 n 2n ? 1 1 1 1 = ( - )<0. n ? 1 2n ? 1 n

故bn+12<bn2,因此bn+1<bn.

题型三 不等式的实际应用问题
例3 设计一幅宣传画,要求画面面积为
4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画 面的上、下各留8cm的空白,画面的左、 右各留5 cm的空白. (1)怎样确定画面的高与宽的尺寸,能使 宣传画的纸张面积最小? (2)如果要求λ∈[ 能使宣传画所用纸张面积最小?
2 , 3 3 ],那么λ为何值时, 4

(1)设画面高为x cm,宽为λx cm, 则λx2=4840.设所用纸张面积为Scm2,则 S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160, 将x=
22 10

?

代入上式,得
5

S=5000+44 10 (8 ? + ≥5000+44 ·2 10
5
8 ??

?
5

)

?

=6760.
5 <1时取等号. 8

当且仅当8 ? = ,即λ= ? 所以Smin=6760 cm2,此时x=88 cm,λx=55 cm. 故当画面高为88 cm,宽为55 cm时,能使宣传 画所用纸张面积最小.

(2)设S(λ)=5000+44
2 取 ≤λ1<λ2≤ 3

(8 10 + ?1

+ ? -8 ?
1

5

S(λ1)-S(λ2)=44

3 ,则 4 (8 10

?

), -?2
5

5

=44 10 ( ?1 - ?2 )(8). ?1?2 5 2 3 因为 ?1?2 > > ,所以8>0. ?1?2 3 4 点评用均值不等式求最值时,如果满足 又 “一正、二定、三相等”,则可直接求 ?1 - ?2<0,所以S(λ1)-S(λ2)<0, 即S(λ1)<S(λ2). 解;如果不符合条件中的相等,则应先 2 3 判断函数的单调性后再求解. 所以函数S(λ)在[ , ]上单调递增.
故当λ=

5

?2

)

3 4 2 时,能使宣传画所用纸张面积最小. 3

备选题
某地区有四个村庄A、B、C、D恰好坐 落在边长为2km的正方形顶点上,为发展经 济,政府决定建立一个使得任何两个村庄都 有通道的道路网,道路网有一条中心道及四 条支道组成,使各农庄到中心道的距离相等, 如图所示. (1)若道路网总长度不超过5.5km, 试求中心道长的取值范围; (2)问中心道长为多少时,道路网 总长度最短.

1 依题意得2x+4 1 ? (1 ? x) ≤5.5,解得 4 ≤x≤ 所以中心道长的取值范围为[ 1 , 7]. 6 2 2 (2)令y=2x+4 1 ? (1 ? x) ,
2

(1)设中心道长为2x km(0<x<1),

7 , 12

则(y-2x)2=16(x2-2x+2), 即12x2+(4y-32)x+32-y2=0. 由Δ≥0,且y>0,得y≥2+2 . 3 点评 解答本题首先要理解题意并 3代入,求得x=1将y=2+2 正确列出函数式. 3 ,
所以当中心道长为2(13 ) 3

km时,道路网总长最短.

3

方法提炼
1.求参数取值范围的问题是通过几何知 识列出不等式,然后求解不等式或分离变量 或数形结合,从而得出参数的取值范围. 2.几何中距离、面积等最值问题,可以 用重要不等式求解.3.不等式应用题要通过阅 读、理解所给定的材料,寻找量与量之间的 内在联系,抽象出事物系统的主要特征与关 系,建立起相应的能反映其本质属性的数学 结构,从而建立起数学模型,然后利用不等 式的知识求出题中的问题(如解不等式、不 等式的证明、均值不等式等).

走进高考
宁夏/海南卷)已知函数 学例1 (2009·

f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3.
(1)设a=1,求函数f(x)的极值;
1 (2)若a> ,且当x∈[1,4a]时, 4

|f′(x)|≤12a恒成立,试确定a的取值范围.

(1)当a=1时,对函数f(x)求导数,得 f′(x)=3x2-6x-9. 令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.

列表讨论f(x),f′(x)的变化情况:
x
f′(x)

(-∞,-1)
+

-1
0

(-1,3)
-

3
0

(3,+∞)
+

f(x)

极大值6

极小值-26

所以,f(x)的极大值是f(-1)=6,极小值是f(3)=-26.

(2)f′(x)=3x2-6ax-9a2的图象是一条开口向上的 抛物线,关于x=a对称. 若 <a≤1, 则f′(x)在[1,4a]上是增函数, 从而f′(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)=3-6a9a2,最大值是f′(4a)=15a2. 由|f′(x)|≤12a,得-12a≤3x2-6ax-9a2≤12a, 于是有f′(1)=3-6a-9a2≥-12a, 且f′(4a)=15a2≤12a.
1 4

由f′(1)≥-12a得-

由f′(4a)≤12a得0≤a≤ .

1 ≤a≤1, 3

1 4

1 1 所以a∈( ,1]∩[- ,1]∩[0, 4 3 即a∈( 1 , 4 ]. 4 5

4 ], 5

若a>1,则|f′(a)|=12a2>12a.

故当x∈[1,4a]时|f′(x)|≤12a不恒成立. 所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a 的取值范围是( ,
4 1 ]. 4 5


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