当前位置:首页 >> 数学 >>

100测评网09级高三数学总复习讲义——向量


欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.
09 级高三数学总复习讲义——向量 知识清单 一、向量的有关概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法: ⑴字母表示法:如 a, b, c, 等.

⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如 AB , CD 等. ⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量 OA 的起点 O 为在坐标原点,终点 A 坐标为 ? x, y ? ,则 ? x, y ? 称为

OA 的坐标,记为 OA = ? x, y ? .
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具. 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量 .向量可以自由平移,平移前后的向量相等 .两向量 a 与 b 相等,记为

a ? b.
注:向量不能比较大小,因为方向没有大小. 4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的. 5.单位向量:长度等于 1 个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定: 0 与任 一向量共线. 注:共线向量又称为平行向量. 7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算 (一)运算定义 ①向量的加减法,②实数与向量的乘积,③两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”,它们 都有明显的物理学的意义及几何意义. 其中向量的加减法运算结果仍是向量, 两个向量数量积运算结果是数量。 研究这些运算,发现它们有很 好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用 坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化. 刻划每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下: 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言
???

加法与 减法

OA + OB = OC OB ? OA = AB
??? ???

???

???

记 OA =(x1,y1), OB =(x1,y2) 则 OA ? OB =(x1+x2,y1+y2)

???

???

???

OB ? OA =(x2-x1,y2-y1)
OA + AB = OB
???

???

???

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.
实数与 向量的 乘积 两个向 量的数 量积 (二)运算律 加法:① a ? b ? b ? a (交换律); ② (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) (结合律)
???

AB =λ a

?

记 a =(x,y) 则λ a =(λ x,λ y) 记 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) 则 a ? b =x1x2+y1y2
? ?

?

λ ∈R

?

a ? b ? a ? b cos a, b

实数与向量的乘积:① ? (a ? b) ? ? a ? ?b ; ② (? ? ? ) a ? ? a ? ? a ;③ ? (? a) ? (?? )a

c + b ?c 两个向量的数量积: ① a ? b = b ? a ; ②(λ a )? b = a ?(λ b )=λ ( a ? b );③( a + b )? c = a ·

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

注:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运 算性质可以简化向量的运算, 例如( a ± b ) = a ? 2 a? b ? b
2
? ?

?2

? ?

?

2

(三)运算性质及重要结论 ⑴平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量 a ,有且只 有一对实数 ?1 , ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ,称 ?1 e1 ? ?2 e2 为 e1 , e2 的线性组合。 ①其中 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的基底; ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量 e1 , e2 的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.
' 这说明如果 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 且 a ? ?1' e1 ? ?2 e2 ,那么 ?1 ? ?1? ? ?2 ? ?2? .

③当基底 e1 , e2 是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是 平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标, 即若 A(x,y),则 OA =(x,y);当向量起点不在原点时,向量 AB 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若 A (x1,y1),B(x2,y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1) ⑵两个向量平行的充要条件 符号语言: a// b ? a ? ? b ( b ? 0 ) 坐标语言为:设非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ∥ b ? (x1,y1)=λ (x2,y2), 即?
? ? ? ? ? x1 ? ? x2 ,或 x1y2-x2y1=0, 在这里,实数λ 是唯一存在的,当 a 与 b 同向时,λ >0;当 a 与 b 异向时,λ <0。| ? y1 ? ? y2 ? ?

???

???

???

?

?

?

? ?

?

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.
|a| |b|
? ?
? ? ? ?

λ |=

,λ 的大小由 a 及 b 的大小确定。因此,当 a , b 确定时,λ 的符号与大小就确定了.这就是实数乘向

量中λ 的几何意义。 ⑶两个向量垂直的充要条件 符号语言: a ? b ? a ? b ? 0 坐标语言:设非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ⑷两个向量数量积的重要性质: ① a ?| a | 2 即 | a |?
? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?2

?

?

?2

a (求线段的长度);

② a ? b ? a ? b ? 0 (垂直的判断); ③ cos ? ?

a ?b a?b

(求角度)。

以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价 值. 注:①两向量 a , b 的数量积运算结果是一个数 a ? b cos ? (其中 ? ? a, b ),这个数的大小与两个向量的长 度及其夹角的余弦有关. ② b cos? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影(如图). 数量积的几何意义是数量积 a b 等于 a 的模与 b 在 a 方向上的投影的积. ③如果 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则 PP 1 2 = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) , ∴ PP 1 2 ? 课前预习 1.在
? ?

( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ,这就是平面内两点间的距离公式.

ABCD 中, BC ? CD ? BA ? (



( A)BC

(B)DA

(C )AB
?? ?

(D)AC
?? ?

2.平面内三点 A(0, ?3), B(3,3), C ( x, ?1) ,若 AB ∥ BC ,则 x 的值为( ) (A)-5
? ?

(B)-1
?

(C)1

(D)5

3. 设 a , b , c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则: ①( a ? b ) c ? ( c ? a ) b =0 ③( b ? c ) a ? ( c ? a ) b 不与 c 垂直 真命题是( )(A)①② (B)②③
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

②| a |-| b |<| a ? b | ④(3 a +2 b )?(3 a ? 2 b )=9| a |2- 4 b |2 中, (C)③④ (D)②④
? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.
?? ?
?

4. △OAB 中, OA = a , OB = b , OP = p ,若 p = t ( (A)∠AOB 平分线所在直线上 (C)AB 边所在直线上

?? ?

?

?? ?

?

?

?

a

?

|a| |b|
(B)线段 AB 中垂线上 (D)AB 边的中线上
?? ? ?? ?
?? ?

?

?

b

?

) ,t∈R,则点 P 在(

)

5. 正方形 PQRS 对角线交点为 M, 坐标原点 O 不在正方形内部, 且 OP = (0, 3) ,OS = (4, 0) , 则 RM =( (A)( ?

)

7 1 7 1 , ? ) (B)( , ) 2 2 2 2

(C)(7,4)

7 7 (D)( , ) 2 2

6.已知 a ? ? x,3? , b ? ? ?2, 4 ? , a ? b ,则实数 x=_______. 7.已知 a ? b ? ? 2, ?8? , a ? b ? ? ?6, ?4 ? , 则 a ? _____, b ? ______, a 与 b 的夹角的余弦值是_____. 8.在△ OAB 中, OA ? (2cos ? , 2sin ? ) , OB ? (5cos ? ,5sin ? ) ,若 OA ? OB ? ?5 ,则 S?OAB = 9. 已知 ▲ .;

ABC 的三个顶点分别为 A 3, ? 3 , B ? 6,0 ? , C 5, ? 3 , 求 ?ACB 的大小.
???

?

?

?

?

10. 已知△ABC 中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC 边上的高为 AD,求点 D 和向量 AD 坐 标。 11.在△OAB 的边 OA、OB 上分别取点 M、N,使| OM |∶| OA |=1∶3,| ON |∶| OB |=1∶4,设线段 AN 与 BM 交于点 P,记 OA = a , OB = b ,用 a , b 表示向量 OP .
?? ?
?

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?

?

?

???

典型例题
一、平面向量的实际背景与基本概念 EG1.如图 1,设 O 是正六边形的中心,分别写出图中与 OA 、 OB B 、 OC 相等的向量。 A 变式 1:如图 1,设 O 是正六边形的中心,分别写出 图中与 OD 、 DC 共线的向量。 解: 变式 2:如图 2,设 O 是正六边形的中心,分别写出图中与 DA D 的模相等的向量以及方向相同的向量。 解: C 二、平面向量的线性运算 EG2.如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? a , AD ? b , 你能用 a,b 表示向量 AC , DB 吗? D 图2 C A B E D O F B 图1 E A C O F

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.

变式 1:如图,在五边形 ABCDE 中, AB ? a , BC ? b ,

CD ? c , EA ? d ,试用 a ,b , c , d 表示向量 CE 和 DE .
E

D C

A 变式 2:如图,在平行四边形 ABCD 中,若, OA ? a , OB ? b 则下列各表述是正确的为( A. OA ? OB ? AB C. CD ? ? a + b ) B. OC ? OD ? AB D. BC ? ? (a + b) A

B

D O B

C

变式 3:已知 OA =a, OB =b, OC =c, OD =d, 且四边形 ABCD 为平行四边形,则( ) A. a+b+c+d=0 C. a+b-c-d=0 B. a-b+c-d=0 D. a-b-c+d=0 )

1 变式 4:在四边形 ABCD 中,若 AB ? ? CD ,则此四边形是( 2
A.平行四边形 B.菱形 C.梯形

D.矩形 ( )

变式 5:已知 a、b 是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的 A.充分但不必要条件 C.充要条件 B D.既不充分也不必要条件

变式 6: 在四边形 ABCD 中,AB =a+2b,BC =-4a-b,CD =-5a-3b, 其中 a、 b 不共线, 则四边形 ABCD 为( ) A.平行四边形

B.矩形

C.梯形

D.菱形

变式 7:已知菱形 ABCD,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A、C),则 AP 等( ) A.λ ( AB + AD ),λ ∈(0,1) C.λ ( AB - AD ),λ ∈(0,1) B.λ ( AB + BC ),λ ∈(0,

2 ) 2 2 D.λ ( AB ? BC ),λ ∈(0, ) 2

变式 8:已知 D、E、F 分别是△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点,且 BC = a , CA = b ,

AB = c ,则下列各式:① EF =

1 1 1 c - b ② BE = a + b 2 2 2


③ CF =-

1 1 a + b 2 2

④ AD + BE + CF = 0 其中正确的等式的个数为(

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.
A.1 B.2 C.3 D.4 b

EG3.如图,已知任意两个非零向量 a 、b ,试作 OA ? a + b, OB ? a + 2b,

OC ? a + 3b,你能判断 A、B、C 三点之间的位置关系吗?为什么?

a

变式 1:已知 OA ? a + 2b, OB ? 2a + 4b, OC ? 3a + 6b (其中 a 、b 是两个任意非零向量) ,证明:A、B、C 三点共线. 证明:∵ AB ? OB ? OA ? a + 2b, AC ? OC ? OA ? 2a + 4b, ∴ AC ? 2 AB 所以,A、B、C 三点共线.

变式 2:已知点 A、B、C 在同一直线上,并且 OA ? a + b, OB ? (m ? 2) a + 2b, OC ? (n ? 1) a + 3b (其 中 a 、b 是两个任意非零向量) ,试求 m、n 之间的关系.

EG4.已知四边形 ABCD,点 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,求证: EF ? HG

变式 1:已知任意四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F, 求证: AB ? DC ? 2EF . E 三、平面向量的基本定理及坐标表示 EG4.已知 a = (4,2),b = (6,y),且 a // b ,求 y . 变式 1:与向量 a = (12,5) 平行的单位向量为( A. ? ) A D C F B

5? ? 12 ,- ? 13 ? ? 13

B. ? ?

5? ? 12 ,- ? 13 ? ? 13 5? ? 12 5 ? ? 12 , ? 或 ? ,- ? 13 ? ? 13 13 ? ? 13


C. ?

5? ? 12 ? 12 5 ? , ? 或 ? ? ,- ? 13 ? ? 13 ? 13 13 ?

D. ? ?

变式 2:已知 a ? (1, 2) ,b ? ? x,1? ,当 a+2b 与 2a-b 共线时, x 值为 ( A.1 B .2 C.

1 3

D.

1 2
)

变式 3:已知 A(0,3) 、B(2,0) 、C(-1,3) 与 AB ? 2 AC 方向相反的单位向量是( A.(0,1) B.(0,-1) C. (-1,1) D.(1,-1)

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.
变式 4:已知 a = (1,0),b = (2,1) .试问:当 k 为何实数时, ka-b 与 a+3b 平行, 平行时它们是同向还 是反向?

EG5.设点 P 是线段 PP ,y1 ? , ? x2,y2 ? . 1 2 上的一点, P 1、 P 2 的坐标分别为 ? x1 (1) 当点 P 是线段 PP 1 2 上的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 PP 1 2 的一个三等分点时,求 P 的坐标 变式 1:已知两点 M ? 3, 2? , N ? ?5, ?5? , MP ? A. ? ?8,1? B. ? ?1, ? ?

1 MN ,则 P 点坐标是 ( 2
D. ?8, ?1?
B



? ?

3? 2?

C. ?1, ?

? 3? ? 2?

变式 2:如图,设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点,若 OA =a,
OB =b,则 OP =

Q P A b a O

, OQ =

(用 a、b 表示)

四、平面向量的数量积 EG6.已知|a|=6,|b| =4 且 a 与 b 的夹角为 60 ? ,求 (a + 2b)?(a ?3 b) . 变式 1:已知 a ? 3, b ? 4, a ? b

?

? ?a ? 2b ? ? 23, 那么 a 与 b 夹角为

A、 60 ? B、 90 ? C、 120? D、 150? 变式 2:已知向量 a 和 b 的夹角为 60°,| a | = 3,| b | = 4,则(2a – b)?a 等于 (A)15 (B)12 (C)6 (D)3 变式 3:在△ABC 中,已知| AB |=4,| AC |=1,S△ABC= 3 ,则 AB ? AC 等于( A.-2 B.2 C.±2 D.±4 )

变式 4:设向量 2t e1 ? 7e2 与向量 e1 ? t e2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

EG7.已知|a|=3,|b| =4 且 a 与 b 不共线,k 为何实数时,向量 a + kb 与 a ? k b 互相垂直? 变式 1:已知 a⊥b ,|a|=2,|b| =3,且向量 3a + 2b 与 ka ? b 互相垂直,则 k 的值为( ) A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

3 2

D.1 .

变式 2:已知|a|=1,|b| = 2 且(a-b)⊥a,则 a 与 b 夹角的大小为

EG8.已知 a = (4,2),求与向量 a 垂直的单位向量的坐标. 变式 1:若 i = (1,0), j =(0,1),则与 2i+3j 垂直的向量是 ( A.3i+2j B.-2i+3j C.-3i+2j ) D.2i-3j )

变式 2:已知向量 a ? (1 , 1) , b ? (2 , ? 3) ,若 k a ? 2b 与 a 垂直,则实数 k =(

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.
A.1 B.-1 C.0 D.2 ( )

变式 3:若非零向量 a, b 互相垂直,则下列各式中一定成立的是 A. a ? b ? a ? b C. (a ? b)(a ? b) ? 0 B. | a ? b |?| a ? b | D. (a ? b)2 ? 0

变式 4:已知向量 a=(3,-4),b=(2,x), c=(2,y)且 a∥b,a ? c.求|b-c|的值. EG9.已知 A (1,2),B (2,3),C ( ?2 ,5),试判断 ?ABC 的形状,并给出证明. 变式 1: O 是 ?ABC 所在的平面内的一点,且满足 OB ? OC ? OC ? OA ? 0 ,则 ) A.正三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形

?

??

?

?ABC 一定为(

D.斜三角形 )

变式 2:已知 A、B、C 三点不共线,O 是△ ABC 内的一点,若 OA + OB + OC =0,则 O 是△ ABC 的( A. 重心 B. 垂心
2

C. 内心

D. 外心 ( D.等腰直角三角形 )

变式 3:已知 AB ? BC ? AB ? 0 ,则△ABC 一定是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

变式 4:四边形 ABCD 中, AB ? (6,1), BC ? ( x, y),CD ? (?2,?3) (1)若 BC // DA ,试求 x 与 y 满足的关系式; (2)满足(1)的同时又有 AC ? BD ,求 x, y 的值及四边形 ABCD 的面积。

五、平面向量应用举例 EG10.题目意图: 用平面向量的方法证明平面几何命题: 平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的 平方和的两倍 变式 1:如图,矩形 ABCD 内接于半径为 r 的圆 O,点 P 是圆周上任意一点, 求证:PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.

变式 2:已知△ABC 中, BC ? a, CA ? b, AB ? c ,若 a ? b ? b ? c ? c ? a ,求证:△ABC 为正三角形.

变 式 3 : 已 知 平 行 四 边 形 ABCD 的 两 条 对 角 线 AC 与 BD 交 于 E , O 是 任 意 一 点 , 求 证

OA ? OB ? OC ? OD ? 4OE .

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.
变式 4:四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F, 求证: EF ?

1 ( AB ? DC ) 2

实战训练 1.(08 全国一 3)在 △ ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? A.

2 1 b? c 3 3

B. c ?

5 3

2 b 3

C.

2 1 b? c 3 3

D. b ?

1 3

2 c 3


2. (08 安徽卷 3) . 在平行四边形 ABCD 中, AC 为一条对角线, 若 AB ? (2, 4) ,AC ? (1,3) ,则 BD ?( A. (-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)

3.(08 湖北卷 1)设 a ? (1,?2) , b ? (?3,4) , c ? (3,2) 则 (a ? 2b) ? c ? C A. (?15,12) B. 0 C. ?3 D. ?11

4. (08 湖南卷 7) 设 D、 E、 F 分别是△ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点, 且 DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB, 则 AD ? BE ? CF 与 BC ( A.反向平行 C.互相垂直 ) B.同向平行 D.既不平行也不垂直

5.(08 陕西卷 15)关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题:

,k ),b ? (?2, 6) , a ∥ b ,则 k ? ?3 . ①若 a b = a c ,则 b ? c .②若 a ? (1
③非零向量 a 和 b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 60 . 其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号)

AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 6. (08 广东卷 8) 在平行四边形 ABCD 中,
交于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? ( A. )

1 1 a? b 4 2

B.

2 1 a? b 3 3

C.

1 1 a? b 2 4

D. a ?

1 3

2 b 3

7.(08 浙江卷 9)已知 a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 c 的 最大值是 (A)1 (B)2 (C) 2 (D)

2 2


8. (08 辽宁卷 5) 已知 O, A, B 是平面上的三个点, 直线 AB 上有一点 C, 满足 2 AC ? CB ? 0 , 则 OC ?(

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.
A. 2OA ? OB B. ?OA ? 2OB C.

2 1 OA ? OB 3 3


D. ? OA ?

1 3

2 OB 3

9.(08 海南卷 8)平面向量 a , b 共线的充要条件是( A. a , b 方向相同 C. ?? ? R ,

B. a , b 两向量中至少有一个为零向量 D. 存在不全为零的实数 ?1 , ?2 , ?1 a ? ?2 b ? 0

b ? ?a

b ? 2 且 a 与 b 的夹角为 10.(08 上海卷 5)若向量 a , b 满足 a ? 1,

? ,则 a ? b ? 3

. .

11.(08 全国二 13)设向量 a ? (1 ,, 2) b ? (2, 3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, ? 7) 共线,则 ? ?

12. ( 08 北 京 卷 10 ) 已 知 向 量 a 与 b 的 夹 角 为 120 , 且 a ? b ? 4 , 那 么 b (2a ? b) 的 值 为 .

13.(08 天津卷 14)已知平面向量 a ? (2, 4) , b ? (?1, 2) .若 c ? a ? (a ? b )b ,则 | c |? _____________. 14.(08 江苏卷 5) a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 5a ? b ? ▲ .

15.(08 江西卷 13)直角坐标平面上三点 A(1, 2)、B(3, ?2)、C (9,7) ,若 E、F 为线段 BC 的三等分点, 则 AE ? AF = .

16.(08 海南卷 13)已知向量 a ? (0, ?1,1) , b ? (4,1,0) , | ? a ? b |? 29 且 ? ? 0 ,则 ? = _____ 17(08 福建卷 17)已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m?n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小;(Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域. 18.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,已知向量 m ? (cos

3A 3A ,sin ), 2 2

n ? (cos

A A ,sin ), 且满足 m ? n ? 3 , 2 2

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 b ? c ? 3a, 试判断 ?ABC 的形状。

19.已知向量 b ? (m,sin 2x), c ? (cos2x, n), x ? R, f ( x) ? b ? c ,若函数 f ( x) 的图象经过点 (0,1) 和 ( ,1).

?

4

(I)求 m、n 的值; (II)求 f ( x) 的最小正周期,并求 f ( x) 在 x ?[0, ] 上的最小值;

?

4

(III)当 f ( ) ? ,? ?[0, ? ] 时,求 sin ? 的值.

?

2

1 5

20.在 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对边分别为 a, b, c .已知 m ? (sin C,sin B cos A),

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.

n ? (b, 2c) ,且 m n ? 0 .
(Ⅰ)求 ? A 大小. (Ⅱ)若 a ? 2 3, c ? 2, 求 ?ABC 的面积 S 的大小. 21.已知向量 a ? (1 ? tan x,1) , b ? (1 ? sin 2 x ? cos 2 x,0) ,记 f ( x) ? a ? b . (1)求 f(x)的解析式并指出它的定义域;

π 2 π (2)若 f (? ? ) ? ,且 ? ? (0, ) ,求 f (? ) . 8 5 2
22.已知向量 m ? (cos x, ? sin x) , n ? (cos x,sin x ? 2 3 cos x) , x ? R ,设 f ( x) ? m ? n . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期. (Ⅱ)若 f ( x) ?

24 ? ? ,且 x ?[ , ] ,求 sin 2 x 的值. 13 4 2

23.(2007 年陕西卷理 17.)设函数 f(x)=a-b,其中向量 a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数 y=f(x)的图象经 ?? ? 过点 ? ,2 ? , ?4 ? (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合. 24.(07 年陕西卷文 17).设函数 f ( x) ? a、b .其中向量

π a ? (m, cos x), b ? (1 ? sin x,1), x ? R, 且f ( ) ? 2 . 2
(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值.

===================================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新版,外研版,新起 点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小四,小五,小六,初 一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti,教学,教学研究,在线教学,在线学习,学习,测 评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育,在线教育,中考,高考,中小学,中 小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线练习,小学教育,初中教育,高中教育,小升初复 习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料,课外辅导资料,在线辅导资料,作文,作文辅导,文档,教学文档, 真题,试卷,在线试卷,答案,解析,课题,复习资料,复习专题,专项练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科网,在 线题库,试题库,测评卷,小学学习资料, 中考学习资料,单元测试,单元复习,单元试卷,考点,模拟试题,模拟试卷,

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.
期末考试,期末试卷,期中考试,期中试卷 ===================================================================== 本卷由《100 测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测,练习与提升.


相关文章:
100测评网09级高三数学总复习讲义——基本函数1
欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 09 级高三数学总复习讲义——基本函数 1 知识清单: 1.一元一次函数: y ? ax ? ...
100测评网09高三数学总复习讲义——导数概念与运算
欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 09 高三数学总复习讲义——导数概念与运算 知识清单 1.导数的概念 函数 y=f(x),...
高三数学总复习_三角函数性质与图像
09 级高三数学总复习讲义——三角函数性质与图像 ...f ( x) 的图象按向量 a 平移后,得到函数 y ?...《100 测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测、...
100测评网2009届高三数学第一轮复习资料——平面向量
100测评网2009高三数学第一轮复习资料——平面向量_数学_高中教育_教育专区。由100测评网上传提供,一线特高级教师整理编辑,非常有助于中小学生的学业提升欢迎...
100测评网高三数学复习重庆市高2009级学生学业质量调研...
100测评网高三数学复习重庆市高2009级学生学业质量调研抽测试卷(第一次)_数学_...将函数 y ? f ( x) cos x 的图象按向量 a ? ( ? 4 1 4 D.2 ,1...
100测评网高三数学复习绵阳市高中2009级第二次诊断考试
100测评网高三数学复习绵阳市高中2009级第二次诊断考试_数学_高中教育_教育专区。...? 4 对称; ⑤将 f ( x) 的图像按向量 a ? ( ? 2 ,0) 平移得到 g...
09级高三数学总复习讲义——解三角形
09级高三数学总复习讲义——解三角形_初三数学_数学_初中教育_教育专区。09 级...2009届高三数学总复习讲... 5页 免费 100测评网09级高三数学总... 暂无评价...
09级高三数学总复习讲义——三角函数性质与图像x
2 6 π 09 级高三数学总复习讲义——三角函数性质...(2) 当 t = 0, 200 100 200 50 rad / s ...( , 0) 中 3 12 心对称,则向量 α 的坐标...
100测评网高中数学复习平面向量
100测评网高中数学复习平面向量_数学_高中教育_教育专区。由《100测评网》上传提供,一线特高级教师整理编辑,非常有助于中小学生的学业提升今日...
100测评网高三数学复习2008—2009学年度高三年级第四次...
100测评网高三数学复习2008—2009学年度高三年级第四次月考_数学_高中教育_教育...充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设 a, b是非零向量 , x ?...
更多相关标签: