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数学理卷·2014届吉林省实验中学高三上学期第三次阶段检测(2013.11)


全品高考网 吉林省实验中学 2013-2014 学年度高三上学期第三次阶段检测 数学(理) 试题 命题人: 高志才 审题人:刘乙
一、选择题:第小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.已知全集 U ? R , A ? {x x ? 1 ? 0} , B ? {x x ? 3 ? 0} ,那么集合 (CU A) ? B ?

( A. {x ? 1 ? x ? 3}
2



B. {x ? 1 ? x ? 3}

C. {x x ? ?1}

D. {x x ? 3} (
2

2.求曲线 y ? x 与 y ? x 所围成图形的面积,其中正确的是



? (x C. S ? ?(y
A. S ?
0 1

1

2

? x)dx

B. S ?

2

0

? y)dy

3. 将函数 y ? sin( x ?

?
6

? ( x ? x )dx D. S ? ?(y ? y )dy
0 1

1

0

)( x ? R) 的图象上所有的点向左平移

? 个单位长度,再把图象上各 4
( )

点的横坐标扩大到原来的 2 倍,则所得的图象的解析式为 A. y ? sin(2 x ? C. y ? sin( ? 4.函数 y ? ln |

x ? )( x ? R) 2 12

5? )( x ? R) 12

B. y ? sin( ?

x 5? )( x ? R) 2 12 x 5? D. y ? sin( ? )( x ? R) 2 24
( )

1 | 与y ? ? ? x 2 ? 1 在同一平面直角坐标系内的大致图象为 x

5.已知 F1 和 F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 是双曲线左支的 a 2 b2
( )

一点, PF1 ⊥ PF2 , PF1 ? c 则该双曲线的离心率为 A. 5 ? 1

B.

3 ?1 2

C. 3 ? 1

D.

5 ?1 2

6.如图,设 A、B 两点在河的两岸, 一测量者在 A 的同侧所在的河岸边 选定一点 C,测出 AC 的距离为 50m,∠ACB=45o,∠CAB=105o 后,就可 以计算出 A 、B 两点的距离为 ( )
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A. 50 2m B. 50 3m

B. 25 2m

D.

25 2 m 2
??? ??? ???? ? ?
( )

7. 已知 P 是边长为 2 的正 ?ABC 边 BC 上的动点, AP ? ( AB ? AC ) 则 A.最大值为 8 8.函数 f ( x) ? 2sin( B.最小值为 2 C.是定值 6

D.与 P 的位置有关

?

x ? ) ,若对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) ( x1 , x2 ? R) 2 5
( C.1 D. )

?

成立,则 x1 ? x2 的最小值为 A.4 9.已知 p : B.2

1 2


x ?1 ? 0, q : 4 x ? 2 x ? m ? 0 ,若 p是q 的充分条件,则实数 m 取值范围是( x
B. m ? 2 ? 2 C. m ? 2 D. m ? 6

A. m ? 2 ? 2

10.已知各项为正数的等差数列 ?an ? 的前 20 项和为 100,那么 a7 ? a14 的最大值为(



A.25 B.50 C.100 D.不存在 11.已知三边长分别为 4、5、6 的△ ABC 的外接圆恰好是球 O 的一个大圆,P 为球面上一 点,若点 P 到△ ABC 的三个顶点的距离相等,则三棱锥 P-ABC 的体积为 A.5 12.函数 y =f(x)定义域为 B.10 C.20 ,f(1) =f(3) =1 ,f(x)的导数. ( )

D.30 ,其中 a 为

常数且 a>0,则不等式组

所表示的平面区域的面积等于





A.

B.

C.

D. 1

二、填空题(本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合 体,其三视图如右图,若图中圆的半径为 l,等 腰三角形的腰长为 5 ,则该几何体的表面积 是
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14.有下列说法: ① S n 是数列 {an } 的前 n 项和,若 S n ? n ? n ? 1 ,则数列 {an } 是等差数列;
2

②若实数 x,y 满足 x ? y ? 4 ,则
2 2

xy 的最小值是 1? 2 ; x? y?2

③在 ?ABC 中, b, 分别是角 A、 C 的对边, a cos A ? b cos B , ?ABC 为 a, c B、 若 则 等腰直角三角形; ④ ?ABC 中,“ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件. 其中正确的有 15.根据下面一组等式 S1=1 S2=2+3=5 S3=4+5+6=15 S4=7+8+9+10=34 S5=11+12+13+14+15=65 S6=16+17+18+19+20+21=111 S7=22+23+24+25+26+27+28=175, 可得 S1+S2+…+S99= .(填上所有正确命题的序号)

?5 x ?1 ?1, x ? 0, ? 16.设定义域为 R 的函数 f ?x ? ? ? 若关于 x 的方程 ? x 2 ? 4 x ? 4, x ? 0, ?
f
2

?x ? ? ?2m ? 1? f ?x ? ? m 2 ? 0 有 7 个不同的实数根,则实数 m ?

.

三、解答题: 17.(满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ) 证明数列 {
x , 若数列 {a n } (n∈N)满足: a1 ? 1 , a n ?1 ? f (a n ) x ?1

1 } 为等差数列,并求数列 {a n } 的通项公式; an
2n ,求数列 {c n } 的前 n 项的和 S n . an

(Ⅱ)设数列 {c n } 满足: c n ?

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18. (满分 12 分)如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面 ABCD , AF // DE ,

DE ? 3 AF , BE 与平面 ABCD 所成角为 60 ? .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求二面角 F ? BE ? D 的余弦值; E

F

D

C

A

B

19.(满分 12 分)某学校实施“十二五高中课程改革”计划,高三理科班学生的化学与物理水平 测试的成绩抽样统计如下表.成绩分 A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级,设 x 、 y 分别 表示化学、 物理成绩. 例如: 表中化学成绩为 B 等级的共有 20+18+4=42 人.已知 x 与 y 均 为 B 等级的概率为 0.18. (Ⅰ) 求抽取的学生人数; (Ⅱ)若在该样本中,化学成绩的优秀率是 0.3, 求 a, b 的值; (Ⅲ)物理成绩为 C 等级的学生中,已知

x
y
A B C

A 7 9

B 20 18 4

C 5 6

a ? 10 , 12 ? b ? 17 , 随机变量 ? ? a ? b ,
求 ? 的分布列和数学期望.

a

b

20. (满分 12 分) 设 C1 是以 F 为焦点的抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) , 2 是以直线 2 x ? 3 y ? 0 C 与 2x +

3 y = 0 为渐近线,以 0,

(

7 为一个焦点的双曲线.

)

(I) 求双曲线 C2 的标准方程; (II) 若 C1 与 C2 在第一象限内有两个公共点 A 和 B ,求 p 的取值范围,并求 FA ? FB 的最大值.

21.(满分 12 分)已知函数 (I)若直线 l1 交函数 f(x)的图象于 P,Q 两点,与 l1 平行的直线
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与函数

的图象切于点 R,

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求证 P,R,Q 三点的横坐标成等差数列; (II) 若不等式 (III) 求证: 恒成立,求实数 a 的取值范围; 〔其中
, e 为自然对数的底数).

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时必 须用 2B 铅笔将选作题目对应题号后面的方框图涂满、涂黑,请勿多涂、漏涂。 选修 4-1:几何证明选讲 22. (本题满分 10 分) 如图,AB 是⊙O 的弦,C、F 是⊙O 上的点,OC 垂直于弦 AB, 过 F 点作⊙O 的切线交 AB 的延长线于 D,连结 CF 交 AB 于 E 点。 (I)求证:DE2=DB· DA. (II)若 BE=1,DE=2AE,求 DF 的长.

选修 4—4:坐标系与参数方程 23.(本题满分 l0 分) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标

? ?x ? ? 方程为 ? sin(? ? ? ) ? 2 .圆 O 的参数方程为 ? ? 4 2 ?y ? ? ? ?

2 ? r cos ? 2 , ? 为参数, r ? 0 ) ( 2 ? r sin ? 2

(I)求圆心的一个极坐标; (Ⅱ)当 r 为何值时,圆 O 上的点到直线 l 的最大距离为 3.

选修 4-5:不等式选讲
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24(本题满分 10 分) 已知 | x1 ? 2 |? 1 , | x2 ? 2 |? 1 . (I)求证: 2 ? x1 ? x2 ? 6 , | x1 ? x2 |? 2 ; (II)若 f ( x) ? x ? x ? 1 x1 ? x 2 ,求证: | x1 ? x2 |?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 5 | x1 ? x2 | . ,
2

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吉林省实验中学 2013-2014 学年度高三上学期第三次阶段检测答案
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 C 5 C 6 A 7 C 8 B 9 D 10 A 11 B 12 D

二.填空题(本大题共 20 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13. (2 ? 5)? 三、解答题: 17.解: (1)? f ( x) ? 14. ②④ 15. 18145 16. 2

x x ?1

? an ?1 ? f (an ) ?

an 1 ? an ? 1 1 ? 1 an
……5 分

?

1 1 ? ?1 an ?1 an

{

1 1 } 是等差数列, ? an ? an n

(2) cn ?

2n 2n ? ? n?2n 1 an n

? sn ? 1? 2? 2 22? ? ? n? n 2 ?
2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1)2n ? n?2n ?1
? 2Sn ? Sn ? Sn ? ?2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? n2
2 3 n n ?1

2(1 ? 2n ) ?? ? n?2n ?1 1? 2
……12 分 E

? Sn ? (n ? 1)2n ?1 ? 2
18.解:(Ⅰ)证明: 因为 DE ? 平面 ABCD ,所以 DE ? AC . 因为 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD , 从而 AC ? 平面 BDE . ………………………………(5 分)

(Ⅱ)解: 因为 DA, DC , DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系

D ? xyz 如图所示.
因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 60 0 ,即 ?DBE ? 60? ,

F

D

C

ED 所以 ? 3. DB
由 AD ? 3 ,可知 DE ? 3 6 , AF ?
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A z E

B

6.

F

D

C y

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则 A(3, 0, 0) , F (3, 0, 6) , E (0, 0,3 6) , B(3,3, 0) , C (0,3, 0) , 所以 BF ? (0, ?3, 6) , EF ? (3, 0, ?2 6) . 设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

??? ?

??? ?

??? ? ??3 y ? 6 z ? 0 ?n ? BF ? 0 ? ? ,即 ? . ??? ? ? ?n ? EF ? 0 ?3x ? 2 6 z ? 0 ? ?
令 z ? 6 ,则 n ? (4, 2, 6) . 因为 AC ? 平面 BDE ,所以 CA 为平面 BDE 的法向量, CA ? (3, ?3, 0) .

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? n ? CA 6 13 所以 cos? n, CA? ? . ? ??? ? ? n CA 3 2 ? 26 13
因为二面角为锐角,所以二面角 F ? BE ? D 的余弦值为 19.

13 .……………………(12 分) 13

18 解: (Ⅰ)依题意, ? 0.18 , n
得 n ? 100 ..……………………………(2 分)

x
y
A B C

A 7 9

B 20 18 4

C 5 6

a

b

7?9?a ? 0.3 ,得 a ? 14 . 100 ∵ 7 ? 9 ? a ? 20 ? 18 ? 4 ? 5 ? 6 ? b ? 100 ,∴ b ? 17
(Ⅱ)由 (Ⅲ)由题意,知 a ? b ? 31 ,且 a ? 10, 12 ? b ? 17 ,

.…………………………(6 分)

∴满足条件的 (a, b) 有:(14,17),(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12),共 6 组. ∵ ? ? a ? b ,∴ ? 的取值为 1,3,5,7.

P(? ? 1) ?

2 1 2 1 1 1 ? , P(? ? 3) ? ? , P(? ? 5) ? , P(? ? 7) ? . 6 3 6 3 6 6

故 ? 的分布列为

?
P

1

3

5

7

1 3

1 3

1 6

1 6

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∴ E? ? 1 ?

1 1 1 1 10 ? 3? ? 5? ? 7 ? ? 3 3 6 6 3

.……………………………(12 分)

2 ?a y 2 x2 ?b ? 3 20.解: (1)设双曲线 C2 的标准方程为: 2 ? 2 ? 1 则据题得: ? a b ?c ? 7 ?
又 a 2 ? b2 ? c 2 ? ?

?a ? 2 ? ?b ? 3 ?
…………………(4 分)

y 2 x2 ?双曲线 C2 的标准方程为: ? ? 1 4 3
(2)将 y 2 = 2 px ( p > 0) 代入到

y 2 x2 ? ? 1 中并整理得: 2 x 2 ? 3 px ? 6 ? 0 .……(5 分) 4 3

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )其中x1 ? 0, x2 ? 0, y1 ? 0, y2 ? 0 则

?? ? (?3 p) 2 ? 4 ? 2 ? 6 ? 0 ? 3p ? ?0 . ? x1 ? x2 ? 2 ? ? x1 x2 ? 3 ?
?p? 4 3 3
又 F(

……………………………(8 分)

p , 0) 2

??? ??? ? ? p p2 p p ? 2 p x1 x2 .………(10 分) ? FA?FB ? x1 - (x2 - ) 1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( ) +y 2 4 2 2

??

1 2 1 p ? 2 3 p ? 3 ? ? ( p ? 2 3) 2 ? 9 ? 9 2 2
??? ??? ? ?
.……………………………(12 分)

?当且仅当 p ? 2 3 时 FA×FB 的最大值为 9
21.解:(Ⅰ) 则 kl1

f ?( x) ? ?4 x ? 4 ,设切点 R(x0,y0)

? kl 2 ? ?4 x0 ? 4 .

令 l2:y=(-4x0+4)x+b. 联立 ?
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? y ? (?4 x0 ? 4) x ? b,
2 ? y ? ?2 x ? 4 x,

消去 y 得 2x2-4x0x+b=0.

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令 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=2x0, 即 R、R、Q 三点的横坐标成等差数列. ……………………………………4 分 (Ⅱ)由已知有 f (x)+g(x)-4x=-2x2+alnx≤0 恒成立, 令 F(x)=2x -alnx(x>0),则 F ?( x) ? 4 x ?
2

a 4x2 ? a ? . x x

由 F ?( x) ? 0 ,得 x ? 当 0<x< 当x?

a . 2

a a 时 F ?( x) ? 0 ,F(x)在区间(0, )上递减; 2 2

a a 时, F ?( x) ? 0 ,F(x)在区间( ,+∞)上递增. 2 2

∴ Fmin ? F (

a a a ) ? ? a ln ≥0,得 0<a≤4e. …………………………7 分 2 2 2
ln x 1 1 ≤ ? x4 e x 2

(Ⅲ)由(2)知当 a=2e 时有 2x2-2elnx≥0,得 ∴

1 1 1 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 1 ? 4 ? 4 ? ?? 4 ≤ ( 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) e 2 3 4 n 24 3 4 n 1 1 1 1 ? ??? ) < ( e 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 1 1 1 = (1 ? ) < . …………………………………………………12 分 e n e

选做题 22.解: (I)连结 OF,∵OC=OF, ∵∠OCF=∠FOC,∵DF 是⊙O 的切线,

? OF ? DF , 又 ? OC 垂直于弦 AB,
? ?AEC ? ?DFE,? ?DEF ? ?DFE,
∴DE=DF,∵DF 是⊙O 的切线,

? DF 2 ? DB ? DA,? DE 2 ? DB ? DA
(II)设 AE=x,则 DE=2x,DF=2x,

………8 分

? DF 2 ? DB ? DA,? (2 x) 2 ? 3x(2 x ? 1),
解得 2x=3,? DF 的长为 3。 …………10 分

23.解: (1)因为圆心坐标为 (?
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2 2 ,? ) 2 2
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------ 1 分

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设圆心的极坐标为 ( ? ,? ) 则 ? ? (?

2 2 2 2 ) ? (? ) ?1 2 2

-----2 分

? ? ?1 5? ? 所以 ? ? 5? , 圆心O的极坐标为(1, ) 4 ?? ? 4 ?

所以圆心的极坐标为 (1,

5 ?) 4
2 2 2 sin? ? cos? ) ? 2 2 2

------ 5 分

(2)直线 l 的极坐标方程为 ? (

?直线 l 的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0
|? 2 2 ? r cos? ? ? r sin? ? 1 | 2 2 2

---- 6 分

?圆上的点到直线 l 的距离 d ?

即d ?

| ? 2 ? 2r sin(? ? 2

?
4

) ?1|
-----7 分

?圆上的点到直线 l 的最大距离为

2 ? 2r ? 1 ?3 2

----- 9 分

?r

?

4? 2 2
x1 ? 2 ? 1, x1 ? 2 ? 1;? 2 ? 1 ? x1 ? 2 ? 1, 2 ? 1 ? x2 ? 2 ? 1;

……10 分

24.(1)?

即1 ? x1 ? 3,1 ? x2 ? 3;

x1 ? x2 ? ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? x1 ? 2 ? x1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2;即 x1 ? x2 ? 2;

? 2 ? x1 ? x2 ? 6, x1 ? x2 ? 2.
(2)?

………………………5 分

f ( x) ? x 2 ? x ? 1? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ? x1 ? x2 2 ? x2

? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 1 .

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? 2 ? x1 ? x2 ? 6, x1 ? x2 ? 0

? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? 5 x1 ? x2 ;
即 x1 ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 5 x1 ? x2 .
…………10 分

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